借助赋值法理解函数性质的本质*

2024-03-04方明

中学数学月刊 2024年2期

方明

(北京市第一〇一中学 100098)

函数的教学在高中数学教学中有着突出重要的地位和作用．在必修课程中,学生需要学习函数的概念和性质,并总结研究函数的基本方法,掌握一些具体的基本函数类,探索函数的应用[1]37．要求学生能够从两个变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等多个角度,理解函数的意义和数学表达;理解函数符号表达和抽象定义之间的关联,知道函数抽象概念的意义[1]24．

1 问题缘起与背景

授课中,在解决上述问题的基础上,笔者给学生提出了两个问题:(1)研究奇偶性、单调性、对称性、周期性等性质时,有没有共性的思维和方法?(2)对于不是用解析式呈现的函数,是否也可以遵循上述研究函数的方法?

笔者结合一节复习课,让学生进一步巩固函数的研究方法,理解函数性质背后的共性思维和方法,并设计评价量规反馈学习效果．

2 基于生态智慧课堂理念选择合适载体

数学生态智慧课堂突出学生学习的主体地位,借助恰当的教学设计、和谐的课堂生态,让学生的学习真实发生．数学生态智慧课堂不仅关注学生基础数学知识和基本数学技能的掌握,还要关注学生的学习方法、学习习惯,更要将重心放在学生数学学科核心素养水平的发展上[2]164．下面将结合合适的载体,设置恰当的问题,让学生真实理解函数性质的共性思维和方法,更好地促进学生数学素养的发展．

学生具备解决这道问题的能力,从操作层面将解法称为赋值法,具体如下:

从思维层面,为什么这样赋值?需要学生用文字语言概括函数的性质,表述如下:

(1)函数的奇偶性,研究的是自变量互为相反数时,函数值是否一定相等?或者是否一定互为相反数?

(2)函数的单调性,研究的是某个区间的两个自变量x1>x2时,函数值是否一定有f(x1)>f(x2)?或者是否一定有f(x1)

进而引导学生总结:函数的概念突出对于自变量x的每一个值,都有唯一确定的因变量y的值与之对应,而函数的性质则是突出自变量满足某种规律变化时,引起因变量有规律的变化．因此,在研究函数的性质时,赋值的方向是得到具有特殊关系的两个自变量的值．

基于上述结论,在实际授课中,学生还想到用另一种赋值方式来探索函数的单调性:

第二种方法,避开了奇偶性的判断,有更好的推广性,也有利于学生理解函数f(x)自变量的值是括号中的整体,而不局限于括号中字母的值．

例1中的赋值法,能很好地体现函数性质的共性:当函数的自变量x满足某种规律的变化时引起函数值y的有规律变化[3]．这种观点同样适合函数对称性和周期性的相关表述,可以选择以下问题作为研究的载体,帮助学生进一步理解函数性质的共性思维和方法:

已知常数a,b(a≠0),满足下面单一条件的函数f(x),分别具有函数的什么性质?

∀x∈R,都有f(a-x)=f(a+x)．

∀x∈R,都有f(a-x)+f(a+x)=2b．

∀x∈R,都有f(x+a)=-f(x)．

∀x∈R,都有f(x+a)=f(x)．

∀x∈R,都有f(x)+f(x+a)=b．

∀x∈R,都有f(x)f(x+a)=b(b≠0)．

3 突破思考问题的套路化

例1的赋值法,有利于学生理解函数性质的本质,但简单的赋值方式依然可能让学生的思维模式化．需要借助新的载体,突破思考问题的套路化,帮助学生进一步理解函数性质的本质．

例2已知函数f(x)的定义域为R,且同时满足以下两个条件:①f(1)=1>f(-1); ② ∀x,y∈R,都有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).试研究函数f(x)的性质,并解决以下问题:

(1)求f(-1),f(2)的值;

(2)求f(1-8x)+2[f(4x)]2的值;

(3)是否存在常数a,b,c,使不等式|f(x)+f(2-x)+ax2+bx+c|≤2对一切x∈R恒成立?如果存在,求a,b,c的值,如果不存在,说明理由．

本题的题干比较复杂,如果没有分析函数的性质,无方向地直接赋值,解决问题的难度很大．尤其是后两个问题,难度更大．通过赋值过程,学生理解如何赋值更合适,进一步加深了对函数性质本质的理解．在具体思考中,学生可以尝试x,y之间特殊的关系,或者考虑x,y的特殊值．并在赋值过程中观察与自变量值的特殊关系伴随而来的函数值的特殊关系,及时发现和应用函数的性质．赋值过程如下:

(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).

取y=x,得f(1)=f2(x)+f2(x-1)(所以函数f2(x)有周期性,2为周期)．

令x=1,得f(1)=f2(1)+f2(0),所以f2(0)=0,由周期性进而f2(2n)=0,n∈Z.

令x=0,得f(1)=f2(0)+f2(-1),由此可得f(-1)=-1．

取y=-1,得f(-x)=f(x)f(-1)+f(x-1)f(-2),从而f(-x)=-f(x)．可知f(x)为奇函数．

取y=1,得f(2-x)=f(x)f(1)+f(x-1)f(0),从而f(2-x)=f(x)．可知f(x)的对称轴为x=1．

取x=-1,得f(y+2)=f(-1)f(y)+f(-2)f(y-1),从而f(y+2)=-f(y),f(y)有周期性,4为周期．

在分析的基础上,得到了函数的相关性质,从而更容易解决后续问题．对于第(2)题,要理解其中的x与题干恒等式中的x不一定相同,理解其中自变量两个值之间的联系,有助于简化思考．设t=4x,则1-8x=1-2t,本质上第(2)题是求f(1-2t)+2[f(t)]2的值．求解过程如下:

f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).

取y=-t,x=t,得f(1-2t)=f(t)f(-t)+f(t-1)f(-t-1),从而f(1-2t)=-f2(t)-f(t-1)f(t+1)(f(x)是奇函数).

所以f(1-2t)=-f2(t)+f2(t+1)(自变量值相差2,函数值互为相反数)．

故f(1-2t)+2f2(t)=f2(t)+f2(t+1),从而f(1-2t)+2f2(t)=1(f2(x)的性质)．