基于“三个理解”开展有效答疑——一次课间答疑的观察及思考*

仝 建 徐丽娟

(江苏省南京市大厂高级中学 210044)

1 问题背景

基于培养学生的数学核心素养的视角,章建跃先生提出要在理解数学、理解学生、理解教学的基础上开展教学[1](以下简称“三个理解”)．给学生答疑解惑是教师课堂教学之外经常性的辅导活动之一．某天的一个课间,一名高一学生走进办公室向任课教师A请教一个问题．笔者旁听、观察了师生之间的问答,并对教师A进行单独访谈,引发了一些思考．遂整理成文,提出只有基于“三个理解”,才能开展有效答疑．

2 答疑简录

生:老师,我想问这道题(指例1)．

师:这道题上节课刚讲过,平方,处理一下得到差,然后用商数关系可以得到正切．我再给你理一下思路……明白了吗?

师:你解出的sinx是两个值吧?

生:不,sinx应该是一个值,因为0

师:你的那个方法容易错,会做出多个解,有时可能会出来四组解呢!不要用,不要被绕进去了．

生:可是我的方法为什么不对呢?我同桌也这么想的,也做错了,不知道为什么错．

师:别绕了,就用我教的这个方法．

生:我还是不太明白,但是马上要上课了．(带着一脸的困惑走出了办公室)

学生离开办公室后,我对A教师进行了个别访谈．

笔者:刚才那位同学的想法也有道理呀?

师:我知道他那样做有点道理,但容易错,这个学生就容易“钻牛角尖”．

笔者:你认为这位同学的解法可以执行下去吗?

师:应该是不能的,会得到多个解．

笔者:为什么会得到多个解呢?

师:反正这种通过联立方程组的方法就容易产生多个解,至于为什么会产生多个解,我还没有好好思考过．

3 疑惑追因

这名学生的疑惑解决了吗?其解法真的是“钻牛角尖”吗?

从学生的一脸茫然可知,他的疑惑显然没有解决．这名学生不仅想从老师的解答中获知这道题怎么做,更想知道自己的解法产生错误的原因．教师A教给了这名学生一个正确的解法,但并没有指出学生产生错误的深层原因,因此学生的错误也没有得到有效纠正．

学生为什么容易想到把已知的等式与平方关系联立解方程组的方法呢?

既然学生的想法是自然的、通用的,那么如何帮助学生消除疑惑,使其自然的思路畅通呢?这就是教师需要做好的“功课”了．我们先来看看问题的症结．

学生的方法为何没有求出正确答案?

学生已经掌握了二元一次方程组的求解方法,但是由一次方程和二次方程联立的二元二次方程组的求解问题,学生还鲜有触及．在求解过程中,学生会把解二元一次方程组的经验直接迁移到解二元二次方程组上,出错也就在意料之中了．

沿着学生的方法,怎样才能求出正确的答案呢?

从集合的视角看,此类方程组的解就是两个点集的交集．借助解析几何知识可知,该方程组的解对应的坐标就是一条直线与一个圆的交点坐标．关于这个视角的理解可以在后续学习了直线和圆的方程后再引导学生去发现．

4 类似问题

类似的问题还会出现在解析几何中的两个不同类别的圆锥曲线(包括圆)方程的联立中,学生遇到此类问题时也常会产生错解．比如下面的几个例子．

评注因为由y2=8x消去y时,暗含x≥0, 所以“方程3x2-8x-3=0的实数根”并不都是“方程组解中x的值”,所以导致出现增解(x取负值为增解)．

类似的问题还有2021年全国乙卷理科第11题等．

5 有效答疑

只有理解数学问题本身,多角度深入思考问题,才能指出学生的错误并给予精准的指导,使学生的疑惑得以消除．例1的解法多样,有针对小题的勾股数猜测验证法,也有由和式借助平方关系构造差、再解二元一次方程组的方法,还有前文中学生采用的联立已知等式和平方关系、再解二元二次方程组的方法．教师在答疑辅导时不仅要掌握尽可能多的方法,而且要特别留意学生所谓的“笨”方法,因为这些“笨”方法往往更自然、更通用．教师对数学问题理解通透了,才容易给予不同的学生以适当的指导,真正为学生答疑解惑．

理解学生,在解题教学中理解学生,就是需要经常性地站在学生的视角思考问题,理解学生具有怎样的认知基础、会怎样想、为什么这样想．要理解学生产生解题错误的根源、了解学生为什么会犯这样的错误,才能与学生产生共鸣,避免与学生在两个不同的“跑道”上进行低效交流．本文例1至例4中学生所犯错误有相同的原因:由于解二元一次方程组的负向迁移,误认为变形后的方程(组)与原来的方程组同解导致错误．只有弄清了学生的问题,才能设计出适合学生的答疑指导方案,帮助学生打通思路卡点,消除错误的认识,解除疑惑．