历阶而上:APOS理论下初中数学概念的阶段教学与研究

何 蕾

(江苏省苏州外国语学校 214500)

1 问渠哪得清如许——问题提出,开启概念教学盲点

概念教学是数学教学的核心所在,国内外专家从多学科角度,对数学概念教学提出了许多理论．斯根普(Skemp R．)认为,事物的理解有两种模式:工具性理解和关系性理解．盛兴林指出,结构主义理论探究了其在高中数学概念教学中的有效落实[1]．李彩虹和李祎基于APOS理论、多元表征理论及辨识教学理论整合了概念教学设计．自20世纪APOS理论创立以来,基于该理论来研究数学概念教学的论文逐渐增多,呈上升趋势,是近几年数学教学的热点话题之一,该理论也成为概念教学的主流理论(图1)．

图1 知网APOS概念教学主题发文趋势图

通过文献梳理(图2)发现,目前关于数学概念教学的研究集中在具体到单一数学概念课教学设计的制定,而关于数学概念阶段教学的研究不多．APOS理论的四个学习阶段是合理的,揭示了学生学习数学概念的认知心理和思维过程,这与当前我国新课程所倡导的理念相一致,但对于章节阶段教学、整体大单元阶段教学如何深化概念教学没有给出明确的策略．

图2 知网APOS概念教学主题学科分布

2 为有源头活水来——APOS理论,支撑概念教学研究

美国数学家杜宾斯基等提出了APOS理论,四个字母分别表示理解数学概念的四个阶段:活动阶段(Action),过程阶段(Process),对象阶段(Object),图式阶段(Schema)[2]．学生通过亲身体验、直观感知,观察出一类事物的共同特征,从而简洁并准确地抽象出数学概念.经过前三阶段循序渐进的学习,此时的概念是学生认知结构中形成的包含实例、抽象过程、定义描述、类比其他概念的核心图式(图3)．

图3 APOS理论四阶段模型

3 万紫千红总是春——理论应用,助力概念教学创新

APOS理论已经广泛应用于函数、抽象代数、数论等多个高等数学领域．此理论指明了学生建构数学概念的学习层次,同时为教师的数学概念教学提供了具体的教学策略．基于此理论,本文以概念教学所处三种不同阶段为案例,搭好阶段之“阶”,历阶而上,对该理论下的概念教学进行分析和研究,明确教学策略．

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公元1世纪,《九章算术》用文字描述的文辞代数阶段,文字描述晦涩难懂.后来数学家开始用字母或者符号来表示数量,标志着缩略代数阶段的到来．欧洲“代数学之父”韦达,第一个系统地使用字母表示已知数、未知数及其乘幂,标志着符号代数阶段真正的开始,为近世代数学的发展奠定了理论基础．从具体数字到抽象符号,是人类对数的认识的第一次大飞跃．

3.1 身临情境,感悟文化美育,探求概念本质

数学是美丽的．在教学实践中,教师应结合数学课程内容,创新教学设计,对学生进行数学美的熏陶和教育,引导学生用数学眼光去欣赏世界．在生活情境中,用数学方法去理解世界,从而探求数学概念的本质．以苏科版九年级下册第5章第5节“用二次函数解决问题”为例．苏州作为著名的江南水乡,桥梁建筑遍布,为学生提供了广泛素材,使学生身临其境,感悟姑苏千年文化底蕴,从数学角度感悟苏城之美,经历活动之“阶”．

·环节3 数形结合

通过几何画板实践,将任意三角形绕任意一点旋转任意角度即为旋转的本质意义．将旋转任意角度变为旋转180°所成图形就是中心对称图形;将任意一点移到三角形一边中点旋转180°,即得到平行四边形;将任意三角形变为直角三角形,将一个直角三角形绕斜边中点,旋转180°即得到矩形;一个等腰三角形绕斜边中点旋转180°即得到菱形;一个等腰直角三角形绕底边中点旋转180°即得到正方形．

师生共同寻访古迹,欣赏了千年古建苏州宝带桥、新建的斜港大桥和石湖三岔桥．闻名中外的苏州宝带桥初建于中国唐朝,拱形近似于抛物线,是一座53孔石拱桥,如长虹卧波,雄跨于大运河之上.与之交相辉映的是2015年建成通车的斜港大桥(图4)．石湖三岔桥又名双曲拱桥,大跨低拱,结构非常合理,看起来造型轻盈(图5)．

图4 苏州宝带桥和斜港大桥

问题1千年古建苏州宝带桥、新建的斜港大桥和石湖三岔桥都是抛物线型的拱桥建筑.三座桥结构造型差异较大,将它们的“桥拱”按照比例缩小后发现,三桥拱形均形似抛物线．其中斜港大桥桥拱形状与二次函数抛物线最为近似.那么在数据上有什么关联呢?

·环节2 跃然纸上

活动2在绘制美中建构数学．

问题2图6为斜港大桥测绘图.如果把斜港大桥拱形抽象成曲线AB,主桥宽抽象成线段AB,约为200 m,桥面到拱顶的高约40 m,据此,如何准确描述斜港大桥所呈现的这条抛物线?

天上的云静静地停那儿了。我搂着她，说：“呦呦姐，我想我们都疯了。”别呦呦说：“人活着，就要疯几回，不然活着有什么劲呢？”

图6 苏州斜港大桥及测绘图纸

·环节1 踏迹寻美

活动3在计算美中探求本质．

问题3将实际问题转化为数学问题,抽象出了曲线段AB,学生自由建立直角坐标系,确定点A和点C的坐标,从而解得函数解析式,将另外一点B代入函数解析式,确定点B是否在经过点A和点C的抛物线上.

学生通常采用表1中的四种形式建立平面直角坐标系.选择顶点位置不同,函数解析式也不同,但经过运算,点B在经过点A和点C的抛物线上．从欣赏千年古建苏州宝带桥和新建的斜港大桥入手,让学生直观感受到了桥拱的抛物线形状,经过测绘、运算等手段探寻了桥拱的本质,经历了过程之“阶”．

表1 构建函数模型

3.2 借助画板,实现图形直观,构建统一定义

(1)概念本质之探究

数学是研究数量关系和空间形式的科学．图形的平移、翻折、旋转与位似是初中平面几何学习内容的四大重要变换,是研究特殊几何图形性质和判定的重要方法．根据几何图形变换过程,培养学生想象出变换前后图形的对应变化．其中关键在于培养学生根据变换过程的语言描述刻画出图形,实现从几何语言到图形语言的跨越．发展学生推理能力和模型思想,让学生根据图形变换过程体悟、转化、归纳,发现结论,证明结论．

(2)几何画板之协助

苏科版教材八年级下册第9章《中心对称图形》涉及大量几何概念、特殊图形性质和判定:图形的旋转,中心对称与中心对称图形、平行四边形、矩形等,概念间关联薄弱,学生学习每个概念时都需要重新建构、辨析概念．教学中需要思考如何去突破概念间的束缚,化归为同一类文字语言,探究特殊几何图形动态形成的本质,形成本章节中心对称图形概念的统一定义．

本章节以旋转为基础概念,课本定义是“将一个图形绕一个定点转动一定的角度,这样的图形运动叫作图形的旋转”．借助几何画板,从旋转中心、旋转方向和旋转角这三个基本要素出发,对图形变换进行研究,发现几何图形概念在几何原理、文字描述两方面都具备一致性,得出一般思想、一般结论．

(3)追本溯源之新论

长期疾病相关心理问题是影响糖尿病治疗的另一重要因素。调查研究显示，糖尿病18个月的相关心理痛苦的发生率为38%～48%，在不同程度上影响糖尿病患者的治疗依从性、自我管理行为、血糖控制[8]。且针对住院的糖尿病患者的研究表明[2]，糖尿病新住院患者普遍存在不同程度的心理痛苦，患者的回避应对和屈服应对水平越高，心理痛苦程度越大。因此，可以从健康教育着手，提高患者对疾病的认识，消除不必要的恐惧和排斥，让患者以正性的态度对待糖尿病，减轻心理痛苦，自然能改善治疗效果。

随着我国企业的改革和创新的不断推进，公司的治理结构也不断优化，要想从财务治理结构透视财务管理目标。还需要积极转变企业的经营管理理念，在治理结构的优化过程中进一步提高对财务管理目标的关注，首先，企业的管理层要积极明确企业财务管理的重要性，并紧随公司治理结构的调整，制定明确的财务管理目标，为财务管理工作的实施提供的导向。其次，也要积极加大对财务管理的关注。积极健全和优化企业的财务管理制度。协同企业的治理结构，切实保证企业财务管理工作和企业改革的有序开展。

活动1在欣赏美中提出问题．

·表达之根——代数式

表2 中心对称图形的统一定义

3.3 寻根究底,完整框图结构,深化体系发展

(1)开启寻根之旅

需要展示的气象要素包括规则格点和离散站点两大类。规则格点资料原始数据形式由Micaps4类或13类等二维网格表示形式和Micaps2类的站点列表表示形式,Micaps4类或13类格式数据用自适应网格数据提取技术,根据显示比例和展示的样式尺寸自动计算出适合展示的网格密度,随着地图缩放自动调整。Micaps2类格式数据通过对各点坐标的分析计算出网格参数后转换成网格形式再进行后续处理。离散站点由于站点密度分布不规则,无法采用规则格点方式自动计算,本平台采用分级展示技术,根据站点级别/重要性等将站点分组,随着缩放比例自动确定显示哪些组,确保内容显示完整性和版面的可读性。

数学新概念的学习,就是一场寻根之旅和创新之旅的完美二重奏．“新概念”“新定义”题型是热门话题,需要重视新知识的“根”,找到了根也就找到了新知识的生长点和延伸点．学生感悟到了新数学概念产生的必要性,才能激发学习数学新概念的思维需求[3]．初中代数主要包含数、代数式、方程和函数四大部分,各部分之间存在联系,教学实施中应帮助学生构建完整的代数框图结构．

·学科之根——数

数是数学学科的基石,是人类在生产生活中从具体事物中抽象出来的．古时候的结绳计数,就是最初的数字抽象概念．客观上存在意义相反的两种量,当被减数小于减数时,负数就产生了．随着运算法则的发展,出现了加、减、乘、除四则运算以外的乘方和开方运算,产生了无理数,至此完成了初中阶段实数范围的数系扩充．

将旋转作为图形的一般变换方法,仅对旋转对象层层深入,即可实现中心对称图形的层层递进,完成中心对称图形统一定义的华丽蜕变．所呈现的概念性质显明,原理一致,阐明了系列中心对称图形新的统一定义,经历了对象之“阶”(表2)．

③磨矿分级流程交叉影响，旋流器分级效率低，溢流浓度低，进而使球磨机循环负荷重，磨矿效率低。一段弱磁选及强磁选混合精矿浓度很低，使得一段旋流器的分级效率很低，在20%以下，一段旋流器溢流浓度仅2%；一段旋流器的分级效率很低使得二段磨球磨机负荷重，磨矿效率低，二段旋流器与磨机匹配性不好，分级效率不高，溢流细度-0.043 mm粒级含量仅在65%左右；

·建模之根——方程

需求计划提报不严谨，随意性较大，随意变更时间或数量，从而导致部分材料数量过高与部分材料短缺同时发生，库存积压与短缺同时存在，成本上升但却效率低下。设计变更多，实际工作中，设计变更是常态，而此时如果采购已经完成，势必造成积压。现状表明：因计划调整、设计变更、工程剩余等需求计划不准确是造成企业物资积压的主要原因。

一般情况下，我们都是在两个层面上谈论核心素养问题的.一是一般意义的层面，二是学科意义的层面.本文讨论的话题主要是建立在数学学科意义层面上的，即基于学科意义下的数学素养的培养路径问题.

在解决实际问题需要比较两个代数式关系时,产生了相等和不等两种情况．有条件相等就是方程式,无条件相等就是恒等式．方程可以类比代数式的分类,分为有理方程和无理方程．同样类比代数式的分类,有理方程可以分为整式方程和分式方程．对解方程的探究历经千年,“负数”和“虚数”这两个怪物的出现,严重影响了方程体系和解方程的发展之路．

漏电保护器的装设场所；由于人手握住手持式或移动式电器时，如果该电器漏电，则人手因触电痉挛而很难摆脱，触电时间一长，就会导致死亡，而固定式电器漏电，如人体触及，会因电击刺痛而弹离，一般不会继续触电.由此可见，手持式和移动式电器触电的危险性远大于固定式电器触电，因此一般规定，安装手持式和移动式电器的回路上应装设 RCD.由于插座主要是用来连接手持式和移动式电器的，因此插座式回路上也应装设RCD.GB50096-1999 《住宅设计规范》规定，除空调机电源插座外，其它电源插座回路均应装设RCD.

·预测之根——函数

利用二元一次方程表示两个变量之间的对应关系,这就是最初的函数意识．当其中一个变量随着另一个变量的变化而变化,形成了最朴素的函数概念．从常数到变数,是人类对数的认识的第二次大飞跃．用代数式中的字母表示变数,那么这个式子就是代数函数．初中主要研究一次(二次)函数,这两个函数和二元一次(二次)方程有着密切的联系,本质就是等量关系．

(2)显现图式之根——大单元框图结构

[36] “Limits in the seas-No.143 China’s Maritime Claims in the South China Sea”, Office of Ocean and Polar Affairs, Bureau of Oceans and International Environmental and Scientific Affairs, U.S. Department of State, December 5, 2014.

从数到代数式,再到方程和函数,应用导图视角,构建完整的数学概念网络系统,明确每个知识的“根”,帮助学生形成组织良好的概念网络结构．引导学生完成代数知识结构体系构建,旨在形成组织良好的数学认知结构网络;促进学生对新概念的思考和理解,重视学生对所学概念的梳理归纳、改造重组和系统提升.一段时间教学后,需要适时帮助学生完善知识结构框图(图7),陪伴学生完整经历图示之“阶”．

图7 初中数学代数四大部分结构框图

4 结束语

概念教学是数学教学的基础和核心,让学生身临其境,直观感悟数学概念,有助于启发学生的深度思维、强化数学概念．教师在教学中要善于归纳概念的本质和研究方法,形成组织良好的数学概念认知结构网络和图式．在概念教学中经历活动之“阶”、过程之“阶”、对象之“阶”、图示之“阶”．历阶而上,从概念课教学设计入手,扩展到阶段章节概念教学,直至完成初中阶段代数整体大单元的概念教学．概念不是某节新课的专利,概念教学需要教师有大局观、整体观,有意识地进行阶段性归纳与反思,最终实现三级阶梯式的完美进阶．