培养学生“数学理解力”的策略

唐荣芹

摘   要：在小学数学教学中，教师要引导学生经历认知过程、认知联结、认知迁移，促进学生对数学知识的“工具性理解”“关系性理解”和“创新性理解”，其过程与形式不是固化的，要遵循学生学习的认知规律。“理解性”教学，能够有效地提升学生的数学学习力，发展学生的数学学科核心素养。

关键词：小学数学   数学理解   实践性策略

学生的数学学习是一个认知、理解、应用的过程。其中，“理解”是一个中间过程，一方面是学生认知的结果，另一方面是学生应用的前提与条件。从认知主义视角来看，学生的数学理解就是一个对相关信息进行感知、接受、编码的过程。在这个过程中，学生能对学习内容进行深度的表征与加工。

一、认知过程，促成学生“工具性理解”

在传统的数学教学过程中，教师往往采用“掐头去尾烧中段”的做法，关注数学知识的结论，忽略了知识的起源和应用。笔者认为，完整的知识学习过程应从知识的发生开始，让学生对数学知识进行逐层建构与逐层抽象，即所谓的“一次建构”“二次建构”“一次抽象”“二次抽象”，引导学生经历数学知识的认知过程，促进学生对数学知识的“工具性理解”。“工具性理解”可以分为两个层面：一是“表象性理解”，二是“解释性理解”。“表象性理解”是指学生能陈述数学知识，能对数学知识进行表征，包括直观表征、符号表征；“解释性理解”是指学生能表达对数学知识的推导过程，能举例验证、解释规则、识别错误，包括意义性表征、价值性表征等。

以教学苏教版小学数学三年级上册“分数的初步认识（一）”为例，该单元主要是引导学生从日常生活中“分东西”开始，让学生逐步建构“分数”概念。在教学过程中，首先，笔者创设“平均分”的情境，引导学生分饼、分苹果，并引导学生进行操作，用圆形、长方形、正方形、三角形等不同形状的纸片代表不同形状的饼，将之平均分成两份，进而建构“[12]”这样的一个分数，与“一半”“半个”等日常概念联系起来。其次，引导学生思考：“為什么平均分的东西不同、每一份的形状与大小也不同，却表示相同的分数呢？”引导学生逐步建构“[13]”“[14]”等分数，让学生深刻认识到“分数”的“分子”“分数线”“分母”表示的含义。最后，引导学生抽象、概括出一般性的“分数”概念。

二、认知联结，促成学生“关系性理解”

建构主义认为，学生的数学学习是一种积极、主动、有意义的建构过程。所谓“建构”就是学生将数学新知识纳入已有认知结构之中。因此，在建构知识的过程中，教师要促进学生的知识关联，完善学生的自我认知结构。实践证明，认知联结有助于学生对数学知识的“关系性理解”。较之“工具性理解”，“关系性理解”更深入，要求学生不仅知道“做什么”“怎么做”，还知道“为什么这么做”，有助于促进学生对数学知识的迁移与应用。在“关系性理解”过程中，学生有两方面的学习样态：一是“同化”，二是“顺应”。当新知识能顺利纳入学生原有认知结构之中时，学生就发生了积极的认知心理同化；当新知识不能顺利纳入学生原有认知结构之中时，学生原有认知结构就会发生改变，以便让新知识纳入其中，这就是“顺应”。

以教学苏教版小学数学三年级下册“分数的初步认识（二）”为例，该单元主要是引导学生“平均分”由许多物体组成的整体。在教学过程中，笔者充分利用学生已有的知识经验，即一个数的几分之一（几分之几），引导学生建构“整体的几分之一（几分之几）”，并让学生自觉将“整体的几分之一（几分之几）”与“一个物体的几分之一（几分之几）”进行对比，深化学生对分数意义的认知，帮助学生理解“表征一个物体的分数”和“表征许多物体组成的整体的分数”的相同点。接着，笔者引导学生思考：“为什么平均分的总个数不同，却表示相同的分数？为什么平均分的总数相同或每一份表示的个数相同，却表示不同的分数？”从而通过正反的提问，让学生对分数的意义进行辨析。

“关系性理解”能发展、完善学生的认知结构，让学生原本不完整的认知结构变得完整。因此，在教学中，教师要引导学生自主建构、发展自我的认知结构，不仅要让学生认识、理解“一个物体的几分之一（几分之几）”，还要让学生认识、理解“许多物体组成的整体的几分之一（几分之几）”。只有这样，学生才能真正建构完整的“分数意义”，从而将“一个物体”“一个计量单位”和“许多物体组成的整体”抽象、提炼、概括出“单位‘1’”。“关系性理解”有助于让学生形成“数学的眼光”和“数学的大脑”。

三、认知迁移，促成学生“创新性理解”

在“创新性理解”过程中，学生会积极主动地调动自我的认知经验，对自我的认知经验进行重组与迁移。创新不仅是学生深度认知的结果，还是学生数学学习的内在动力。“创新性理解”一方面离不开学生的认知经验，另一方面离不开教师的启发、点拨与引领。学生对数学知识的“创新性理解”，是建立在学生对数学知识的“工具性理解”“关系性理解”基础之上的。“创新性理解”表现为学生能有效地应用相关的数学知识解决问题，能积极主动迁移相关的数学知识，能深度调动已有的知识经验，能形成对数学问题的解决策略等。

以教学苏教版小学数学三年级下册“分数的初步认识（二）”为例，在引导学生认识了“一个物体的几分之一（几分之几）”以及“许多物体组成整体的几分之一（几分之几）”之后，笔者对这两个方面的内容进行对比、抽象、概括，建构“分数的意义”，也就是建构“单位‘1’的几分之一（几分之几）”。同时，沟通分数与除法之间的联系，促成学生对分数意义的“创新性理解”。比如，学生认识到“分数的分子也可以大于分母”“一个物体的几分之几相当于几个物体的几分之一”“平均分的份数和表示的份数同时扩大或缩小，分数的大小不变”，等等。创新性的数学理解不仅要对数学知识“知其然”，还要“知其所以然”。如针对“分数”这一概念的教学，教师要让学生既理解“分数的定义”，又理解分数“商的定义”“比的定义”，进而帮助学生建立分数的“线段模型”“几何载体”，理解分数的“数系扩张”。只有这样，学生才能创造性地解决相关的分数问题，能对“求一个数是另一个数的几分之几”以及“一个数的几分之几”等，应用“分数的意义”“分数的内涵本质”进行分析。

在教学过程中，教师要引导学生从表象出发，让学生对相关的问题进行逐步的分析，关联自我的认知经验，对自我的认知结构进行改造与重组；要引导学生对数学知识进行多维度审视、多维度考量；要立足于多个视角，从多个层面进行认知；要从学生已有的知识经验出发，让学生的理解从表象深入本质、从本质深入关联；要设置一些富有挑战性的问题，引发的学生深度思考与充分表达。教师要通过理解性教学，让学生获得灵活运用数学知识解决问题的能力。

参考文献：

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[2]马复.试论数学理解的两种类型：从R.斯根普的工作谈起[J].数学教育学报，2001（3）：50-53.

[3]荀步章.数学理解：发展学生核心素养的教学策略[J].中小学教师培训，2022（12）：53-57.◆（作者单位：江苏省灌南县实验小学）