完善数学知识体系 培养数学核心素养

摘  要：2021年广东省中考数学第25题是一道压轴题，笔者认真研读此题，发现此题起点高、综合性强，对学生而言具有极大的挑战性．文章通过分析此题，帮助学生寻找解题思路，梳理二次函数的知识，建构函数与方程、不等式的知识体系，提升学生的思维能力．

关键词：数学知识体系；数学核心素养；函数综合题；教学启示

中图分类号：G632    文献标识码：A    文章编号：1008-0333（2024）02-0050-03

收稿日期：2023-10-15

作者简介：武也文（1985.5-），男，江苏省南京人，本科，一级教师，从事初中数学教学研究.

二次函数是初中数学的重要内容，是历年中考热点问题，承载着一定的选拔性功能，

对学生而言具有一定的难度.在2023年中考第一轮复习时，笔者借助2021年广东省中考数学第25题，帮助学生梳理二次函数的知识，建构完备的知识体系，提升学生的数学核心素养．

1 试题呈现

已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（-1，0），且对任意实数x，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若（1）中二次函數图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C.点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

本题主要考查一次函数、二次函数的图象与性质、函数与方程、不等式之间的联系等数学核心知识及函数思想、方程思想、转化思想、数形结合思想、分类思想等重要的数学思想方法，需要学生具有完备的数学知识体系，对学生的数学核心素养要求较高．

2 试题的思路突破及难点分析

2.1 思路突破

问题（1）：先将代数式4x-12设为函数y1=4x-12，另一个代数式2x2-8x+6设为函数y2=2x2-8x+6，联立这两个函数解析式得到y=4x-12，y=2x2-8x+6.从而可得4x－12=2x2-8x+6，即2x2-12x+18=0，解得x=3，所以y1=4x-12与y2=2x2-8x+6只有一个交点，且交点的坐标为（3，0），所以二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点（3，0）.又因为二次函数y3=ax2+bx+c的图象经过点（-1，0），所以得a-b+c=0，9a+3b+c=0.解得b=-2a，c=-3a.从而得到y3=ax2-2ax-3a.再列出方程ax2-2ax-3a=4x-12，整理得ax2-（2a+4）x-3a+12=0.因为函数y1、 y3的图象只有一个交点，所以根的判别式△=b2-4ac=0，从而得到［-（2a+4）］2-4a（-3a+12）=0，化简得（a-1）2=0，解得a=1．把a=1代入y3=ax2-2ax-3a中，得到二次函数的解析式为y3=x2-2x-3．

问题（2）：因为二次函数y3=x2-2x-3图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C，所以解得点A和点C的坐标分别为（3，0），（0，-3）；又因为点M是二次函数y3=x2-2x-3图象上的动点，点N在x轴上，所以设点M的坐标为（m，m2-2m-3），点N的坐标为（n，0）. 根据点A、C、M、N的位置情况讨论，构造如图2～5，进一步分析，得出点N的坐标为（1，0），（5，0），（7-2，0），（-7-2，0）.

2.2 难点分析

本题是一道压轴题，主要考查学生对初中代数核心知识的综合运用能力．虽然本题的题干简洁，学生读起来一目了然，但是题型新颖且起点较高，学生不知如何解决问题．以下从该题的主要难点给出几点反思．

难点之一：一般来说，压轴题中的问题是按照从易到难的过程来设置的，但本题的问题（1）既是本题的亮点，也是本题的难点.许多学生做不出这道题，就是没有弄清楚题目中的条件应该如何使用，如何转换成有效信息．问题（1）求该二次函数的解析式，学生最常用的方法是待定系数法，但函数y=ax2+bx+c有三个系数未知，题目中的条件只给了一个已知点（-1，0），直接用待定系数法不能解决这个问题，怎么办？

难点之二：考查一次函数、二次函数、不等式和方程等数学知识之间的内在联系，并借助函数图象分析、解决问题的能力．问题（1）对于学生而言从“4x－12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6”这个连续不等式，或许不难想到三个函数：y1=4x-12，y2=2x2-8x+6，y3=ax2+bx+c．但条件中的两个“≤”有什么作用，怎么使用呢？这就要求学生必须借助函数的图象来分析问题，通过画示意图发现函数y1=4x-12，y2=2x2-8x+6的图象只有一个交点（3，0），如图1所示；根据 “4x-12≤ax2+bx＋c≤2x2-8x+6”这个条件，y2=2x2-8x+6的图象在y1=4x-12的图象的上方且这两个图象有交点，并且y3=ax2+bx+c的图象在y2=2x2-8x+6的图象的下方且这两个图象也有交点，不难画出三个函数图象有且只有一个交点（3，0）．做到这一步，得到了y3=ax2+bx+c图象上的第二个点的坐标．由点（-1，0），（3，0）在函数y3=ax2+bx+c的图象上，只能得到系数b、c与a之间的数量关系，即b=-2a，c=-3a，从而把函数y3=ax2+bx+c写成y3=ax2-2ax-3a，问题仍没有解决．

难点之三：考查学生对于函数交点个数与方程根的个数之间的关系的理解，以及运用一元二次方程根的判别式判别方程实数根的情况．由函数y1=4x-12，y2=2x2-8x+6的图象只有一个交点（3，0），得到方程ax2-2ax-3a=4x-12，且这个方程只有一个解．再逆运用一元二次方程根的判别式b2-4ac=0，解得a＝1，得出函数的解析式为y3=ax2+bx+c，问题才得以解决．

难点之四：问题（2）是一个常见的几何分类问题，难点在于如何合理制定分类的标准．理解平行四边形的判定方法，制定合理的分类标准，使问题解决不重不漏．

3 教学启示

3.1 完善數学知识体系，提升解题能力

在中考复习的课堂教学中，教师不仅要引导学生复习巩固函数基础知识、基本方法，更要唤起学生学习函数知识的经历，知道函数知识点在初中代数知识体系中所处的地位、作用以及与方程（组）、不等式等“点状”知识点之间的联系和区别，帮助他们构建初中代数知识体系．在教学中，教师为了让学生构建初中代数知识体系，可以借助知识框图、思维导图等可视化的思维方式引导学生，把所学知识点在知识体系中的位置清晰地呈现出来，使学生形成稳固的认知结构，力争让学生的初中代数知识、解题的思想方法融会贯通，进而培养学生解决综合问题的能力．

3.2 培养核心素养，理解核心知识

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，数学素养是现代社会每一个公民应当具备的基本素养［1］.数学课程要培养的学生核心素养主要包括以下三个方面：会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界.核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同表现，小学阶段侧重对经验的感悟，初中阶段侧重对概念的理解.初中阶段，核心素养主要表现为：抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、应用意识、创新意识．

本题考查的初中数学核心知识有：一次函数、二次函数的图象与性质，函数与方程、不等式之间的联系，平行四边形的判定．

问题（1）通过“4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6”这个连续不等式，联想到这是三个函数之间的数量关系，进而从抽象的数量关系，转化为直观的函数图象，研究三个函数的图象不难发现它都相交于同一个点（3，0），体现了对数学抽象、直观想象的考查．最后运用函数与方程的内在联系，根的判别式值为0的数学核心知识，需要学生解含有字母a的一元二次方程，体现了逻辑推理、数学运算的考查［2］．

问题（2）是近几年来数学中考命题的一个热点——动态几何题．点M是二次函数图象上的动点，导致以A、C、M、N为顶点的平行四边形的形状、位置不能确定，这时就要分类讨论．本题分类的依据是平行四边形的判定定理．学生在解题时能否想到分类讨论，取决于学生对相关概念、定义、定理的理解是否透彻，在日常的学习过程中，要经历分类讨论的过程，从而积累解决分类讨论问题的经验．因此教师要努力地使学生掌握分类思想方法，要求教师认真钻研教材，研究中考试题，有意识地为学生感悟分类思想创设问题情境、组织学习活动［3］．

4 结束语

完善数学知识体系和培养数学核心素养是相辅相成的．只有掌握了扎实的数学知识，才能更好地运用数学思维解决实际问题；只有具备了较高的数学核心素养，才能更好地理解和掌握数学知识．因此，教师在教学过程中应注重数学知识与核心素养的融合，为学生的发展打下坚实的基础．

参考文献：［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］ 陈坤明.结合中考命题，谈初中数学函数教学［J］.中学数学研究（初中版），2019（10）：8-10.

［3］ 石树伟.动态几何压轴题的分析及教学启示［J］.中学数学教育（初中版），2013（9）：43-45.

［责任编辑：李  璟］