部分时间延迟诱导神经网络中同步与奇异态转变现象

摘要：采用改进的Hindmarsh-Rose（HR）神经元模型构建了环状神经网络，研究了电磁场条件下部分时间延迟网络中时间延迟诱导的同步与奇异态转变现象，并通过改变时间延迟、部分时间延迟连接概率和耦合强度三个可变参数来研究网络模式的变化。研究发现，时间延迟能够诱导网络出现多重同步现象，而且在同步转变期间存在更加丰富的奇异态模式。尤其是在部分时延网络中，当部分连接概率足够大时，时间延迟能够引起多重同步现象，以及诱导非相干态与奇异态、奇异态与相干态和不同奇异态之间的相互转变。而且，在适当的时间延迟条件下，增大时延连接的比例可以诱导部分时延网络出现突变同步现象，从而实现与全时延网络相似的效果。本文的研究结果有助于了解神经系统的信息处理和传递机制，为神经系统疾病的诊断和病理的分析提供理论借鉴。

关键词：奇异态；部分时滞；神经网络；同步转变

中图分类号：N93 文献标志码：A 文章编号：1001-2443（2024）06-0527-06

引言

近年来，复杂网络在生物学、经济学、社会学等不同领域内受到广泛关注［1-2］。生物神经网络作为最自然的复杂体系之一，由于其集体动力学行为的多样性和不同的放电模式，与器官功能的外在表现有着密切的联系［3-4］，同样受到大量探究。2002年在非局域耦合相位振荡器网络中观测到另一种奇特的集体动力学行为，即相同相位的振荡器可以表现出相干（同步）和不相干（去同步）的共存的奇异态［5］现象。这种独特的现象激起了不同领域的研究人员的研究兴趣，很多的关注集中于一些特征与奇异态极其相似的生物生理现象，例如一些哺乳动物与鸟类“半脑睡眠”［6］，以及一些与奇异态密切相关的病理性脑疾病，如帕金森病、阿尔茨海默病、自闭症和精神分裂症［7］。因此，研究生物神经网络上的奇异态现象有助于对大脑疾病的诊断和病理的分析。

在实际的生物神经系统中，神经元之间的长度、直径、轴突类型、以及所处的环境会造成传播速度的差异会导致神经元之间信息传递延迟情况各不相同，也会造成一部分神经元之间的突触延迟较小可以被忽略［8］，即在神经系统中存在部分突触时间延迟，其在复杂神经系统中起着重要作用，能够诱导集体动力学产生显著的变化。例如，部分延迟能够诱导多重随机共振［9］、同步转变［10］以及相干态和非相干态之间的同步跃迁［11］。显然，与全时延情况相比，考虑部分连接被延迟更接近于实际情况，然而到目前为止，关于部分时间延迟对神经元动力学影响的研究还比较少。

除了时间延迟效应外，电磁感应效应在神经网络的神经动力学中也发挥着重要作用，这种效应源于细胞膜通道内的电荷运动或系统外部任何来源的外部电磁场。但在以往奇异态的研究中电磁场的影响往往被忽略。因此，在本文中我们通过改进存在电磁场的HR神经元模型，分别探究全时间延迟和部分时间延迟情况下，时间延迟、部分时间延迟概率（链路中存在时延的概率）和耦合强度对环状神经网络中同步、去同步以及奇异态的产生的影响。

1 神经网络模型的构建

我们采用N个HR神经元组成的环状耦合网络模型作为研究对象，神经元之间通过电突触耦合，每个神经元与其最近邻的几个神经元相连。并在传统生物神经网络中引入电场和磁场能够更好的模拟实际神经网络。根据Ma 等人改进的HR神经元模型［12］，得到以下动力学方程：

[xi=yi-ax3i+bx2i-zi+Iext+Dj=1，j≠iNcijxjt-τi，j-xit-k1ρφixiyi=c-dx2i-yi+rEizi=0.006sxi-X0-ziφi=k2xi-k3φiEi=k4yi] （1）

其中变量 [xi、yi、zi]分别表示第i个神经元在时间t的膜电位、恢复变量的快电流、慢适应电流。[Iext]为外部刺激电流，固定为[Iext=6.65]，能够使单个神经元呈现高频放电状态。其中D表示耦合强度，[cij]表示神经元之间的耦合矩阵，如果第i个和第j个神经元存在相互耦合则[cij=cji=1]，否则[cij=cji=0]。[τi，j]表示神经元 i 和 j 之间信息传递所需要的延迟时间，当第i个和第j个神经元之间连接存在时间延迟时，取[τi，j=τj，i=τ]；反之，取[τi，j=τj，i=0]，其中[i，j=1，2，…，N]。我们使用部分时间延迟概率[Pdelay]表示网络所有连边中具有时间延迟效果的连接边所占的比例。当[Pdelay=1]时，表示所有连接边都具有时间延迟效果；当[Pdelay=0]时，表示所有连接边都是瞬时耦合；当[0lt;Pdelaylt;1]时，表示神经元之间的连接边包括瞬时耦合和延迟耦合两种类型，其中瞬时耦合边是随机分布的。固定参数的值被设定为[a=1、b=3、c=1、d=5、s=4]和[X0=-1.56]。

另外[φi]表示第i个神经元的跨膜磁通量，[ρφi=α+3βφ2i]表示磁通量控制的记忆电导，[k1ρφixi]描述了磁场对膜电位的反馈调制；[k2xi]表示膜电位引起的磁通量变化，[k3φi]表示自感效应。[Ei]为电场，r 表示控制电场效应的强度 [r=5×10-5]，[k4]描述神经元的极化特性。神经元总数N设置为N=150，[k1、k2、k3、k4、α、β]分别取[k1=0.5、k2=0.4、k3=1、k4=1、α=0.4、β=0.02]。并使用Euler算法进行积分，时间步长取0.01。

2 数值模拟结果

部分时间延迟的状态，[0≤Pdelaylt;1]。首先，固定时间延迟和耦合强度分别为[τ=0.5]、D=0.004，考察部分时间延迟连接概率对网络的影响。逐一改变部分时间延迟连接概率[Pdelay]，观察网络的变化情况，结果如图1所示。

从图1（a1）中可以看出，当部分时间延迟概率很小时[Pdelay=0.1]，即网络中神经元之间的连接边只有少数具有时间延迟效应的时候，神经网络呈现不相干状态；当部分时间延迟概率增大到[Pdelay=0.5]，神经网络中出现两个相干簇和非相干簇共存的现象，意味着网络状态从不相干态转变为多簇奇异态，如图1（b1）所示；令人感到奇异的是图1（c1）～（d1）中显示部分时间延迟概率大于[Pdelay=0.5]的情况，当[Pdelay=0.6]时，网络状态从多簇奇异态转变为旅行奇异态。但是，继续增大部分时间延迟概率，网络状态只发生了微小的变化，整体情况并没有发生改变，即在时间延迟概率[Pdelay=0.6]和[Pdelay=1]时，神经网络中的神经元动力学状态十分相似。这种现象表明，在某些条件下，当神经元之间的信息传递延迟达到一定程度时，即使增加延迟连接边，也不会对网络产生巨大的影响。这也意味着网络中神经元之间的信息传递即使只有部分连接具有延迟效应，也能够实现与全连接具有延迟效应相似的效果。图1（a）～（d）的时间快照也可以反映出网络中神经元集体行为的转变情况。

增加时间延迟达到[τ=5.5]、D=0.004时，部分时间延迟连接概率[Pdelay]的变化能诱导产生跃迁同步现象，结果如图2所示。从图2（a1）～（b1）可以发现，当部分时间延迟连接概率从[Pdelay=0.1]增加到[Pdelay=0.5]时，网络只发生了细微的变化，部分时间延迟连接概率的增加使相干的部分相干性增强，从时间快照上更能清晰的观察到这一现象，如图2（a）～（b）所示。继续增大部分时间延迟连接概率会得到与图1（c1）～（d1）相似的结果，当[Pdelay=0.6]时，网络状态从奇异态突然转变为相干态，网络中的神经元达到同步状态，且不再随着时间延迟连接边的增加发生变化。这个结果表明了部分时间延迟连接在一定程度上可以提高网络的同步性，也能使网络中的神经元发生跃迁同步，而且只需要增加部分的时间延迟连接边即可实现。

为了探究这种现象，引入Gopal等人基于局部标准差分析的统计度量非相干强度（SI）［2］。SI定义为：

[SIt=1-m=1MΘδ-σm，tMSI=SItt] （2）

将神经元的数量分成M个（偶数）等长 n=N/M的组，这里取M=10。则定义各组的标准差为：

[σm，t=1nj=n（m-1）+1mnωjt-ωt2m=1，2，…，M]" （3）

其中，[ωt=1Ni=1Nωit]，[ωit=xit-xi+1t，i=1，2，…，N]，

[…t]表示随时间的平均值，[Θ·]为Heaviside阶跃函数，[δ]为预设阈值，取 [δ=0.08xi，max-xi，min]。SI取SI=1或SI=0或0lt;SIlt;1时分别表示网络处于非相干、相干和奇异态，结果如图3所示。

根据图3（a）的[τ=0.5]曲线可知，当[Pdelay=0.5]时，网络状态从非相干态转变为奇异态，且在[Pdelay=0.6]时又发生了一次奇异态之间模式的转变。

为了定量描述图3（a）中出现的突变同步现象，引入同步因子R描述网络的同步程度，结果如图3（b）所示。根据平均场理论得到同步因子的计算公式［1］：

[F=1Ni=1NxiR=F2-F21Ni=1Nx2i-xi2]" （4）

其中，[xi]是N个神经元组成的网络中第i个神经元的膜电位，符号[…]表示随时间变化的平均值。[R≈1]表示完全同步，而[R≈0]表示出现非完全同步，[0lt;Rlt;1]表示不完全同步态或奇异态，R越大表明网络的同步程度越高。

然而，从图3（b）中[τ=0.5]曲线可以看出，尽管网络的非相干程度变化很大，但同步程度却没有太大变化。在[τ=5.5]时，随着[Pdelay]的增大，网络状态先从非相干态转变为奇异态，并且根据图2可得，在部分时间延迟连接概率从[Pdelay=0.1]增加到[Pdelay=0.5]的过程中，虽然非相干强度（SI值）下降，但奇异态的模式并没有发生变化，然后在[Pdelay=0.6]时网络模式转变为相干态。这也表明非相干强度只能反映网络是否处于奇异态，而不能反映奇异态的模式是否发生了改变。值得注意的是，当[τ=18.5]时，网络状态在[Pdelay=0.6]时直接从非相干态转变为相干态。此外，从图3（b）中也可以看出，当网络状态从非相干态或奇异态转变为相干态时，网络的同步状态会发生突变现象，表明增加具有时间延迟效应的连接边能够诱导网络出现突变同步。

为了更全面地研究时间延迟在不同连接概率[Pdelay]下对网络的影响，我们扩大参数范围，研究了耦合强度D=0.004条件下非相干强度SI和同步因子R对部分时间延迟连接概率[Pdelay]和时间延迟[τ]的依赖关系，结果如图4所示。

从图4中可以发现随着时间延迟的增加，非相干强度呈现出周期性的变化。而且，随着时间延迟的增大，部分时间延迟连接概率所能引起非相干的参数区域减小，且在部分时间延迟连接概率和时间延迟都较大的参数区域内，非相干态消失，只在奇异态、相干态两态之间发生周期性转变。此外，从图4（a）中可以看出，除了图3所展示的情况，有些时间延迟在部分时间延迟连接概率[Pdelay=0.4]时就能引起网络状态从奇异态到相干态的转变。图4（b）仅展示了相干态与奇异态或非相干态之间的同步转变情况，但在非相干区域与奇异态区域，同步因子无法有效区分，这凸显了同步因子在某些情况下的局限性。

最后，我们计算了相干强度SI和同步因子R在几种不同[Pdelay]情况下对耦合强度D和时间延迟[τ]的依赖关系，进一步探究生物神经系统中存在部分时间延迟对整个网络集体动力学的影响，结果如图5所示。

从图5（a）可以看出，当[Pdelay]较小时，大部分参数区域都处于非相干态和奇异态。随着时间延迟的变化，可以发现时间延迟对网络的影响比较有限，这可能是因为网络中时滞边太少，瞬时信号抑制了时滞信号的表达，导致其不足以对网络产生严重影响。然而当[Pdelay=0.3]时，时间延迟对于耦合强度较大的区域产生了巨大影响，与图5（a）中完全非相干区域不同的是，随着时间延迟的变化，非相干态与奇异态交替出现的现象开始显现，并且在耦合强度较小的区域出现了多处相干区域，如图5（b）所示。当[Pdelay=0.5]和[Pdelay=0.7]时，网络中已经出现了多重相干现象。图6显示了网络的同步随耦合强度和时间延迟变化的情况，同步因子的变化也证实了网络中导致相干态产生的参数范围变化的情况。

3 结论

本文采用改进的HR神经元模型构建了环状神经网络，全面研究了电磁场条件下全时间延迟、部分时间延迟网络中时间延迟的影响，并通过改变时间延迟、部分时间延迟连接概率和耦合强度三个可变参数来研究网络模式及其转变。

研究结果表明，在部分时间延迟中发现了和全延迟相似的现象，当部分时间延迟连接概率足够大时，时间延迟也能引起多重同步现象。不仅如此，部分时间延迟能够引起非相干与奇异态、奇异态与相干态以及奇异态与奇异态之间的相互转变，而且在适当的时间延迟条件下，改变部分时间延迟连接概率也能够引起网络出现突变同步现象。对于这种情况进行了简要的分析，耦合强度的变化，导致网络中神经元之间的相互作用关系发生了变化，进而改变了时间延迟对网络的影响；而部分时间延迟连接概率则在数量上增强时间延迟对网络的影响，但网络中时延连接边的变化能产生作用的前提是网络中神经元之间具有适当的耦合强度。此外还发现，有时网络中具有部分时间延迟也能够起到与全延迟相同的结果（不只是维持同步）。最后针对网络的非相干强度和同步因子的研究表明，非相干与奇异态、奇异态与奇异态之间的转变，非相干强度的变化可能很大，但网络的同步程度可能变化不大；但奇异态到相干态、非相干态到相干态的转变，网络的同步会发生巨大变化。本文的研究工作为理解时间延迟、耦合强度、部分时间延迟三者之间的相互作用对生物神经网络集体动力学行为的影响起到了一定帮助，为研究真实神经网络提供了重要的理论依据。

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Transition of Synchronization and Chimera State Induced by Partial Time Delay Connection in Neural Networks

CAI Zheng-gang， LI Zhi-hang， YU Cheng-yu， WANG Mao-sheng， ZHANG Ji-qian， HUANG Shou-fang

（School of Physics and Electronic Information， Anhui Normal University， Wuhu 241000， China）

Abstract： In this paper， by constructing a ring neural network utilizing the enhanced Hindmarsh-Rose（HR） neuron model， the transformation of synchronization and chimera state induced by time delay in partial time delay network under electromagnetic field conditions are studied， and the changes of the network dynamic patterns are also studied by changing the three variable parameters of time delay， connection probability of partial time delay and coupling strength. It is found that the time delay can induce multiple synchronization phenomena and more abundant types of chimera states during the synchronization transition period. In partial delay networks， when the probability of partial time delay connection is large enough， the time delay can induce multiple synchronization phenomena and facilitate transitions between different network states， such as incoherent states and chimera states， chimera states and coherent states， and different chimera states. Moreover， under appropriate time delay conditions， increasing the connection probability of partial time delay can induce explosive synchronization phenomena， so that the effect is similar to that of the full delay network. The results of this study are helpful to understand the information processing and transmission mechanism of biological nervous system， and provide theoretical reference for the diagnosis and pathological analysis of nervous system diseases.

Key words： chimera state; partial-time delay; neural network; synchronization transition

（责任编辑：马乃玉）