基于综合难度系数模型的高考数学试题评析——以2021——2023 年全国甲卷为例

文尚平 杨璧华

一、问题提出

2019 年6 月，《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》指出，学业水平选择性考试与高等学校招生全国统一考试命题要以普通高中课程标准和高校人才选拔要求为依据，优化考试内容，突出立德树人导向，重点考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力，科学设置试题难度，建立命题评估制度，提高命题质量。[1]高考是一项高利害的教育测评活动，严格保密等特殊性要求决定了试题的信度、效度、区分度和难度等评估工作多在测试后进行，属于测后标定的评估。数学试卷综合难度是指数学试卷的内容、结构妨碍学生完成答卷的阻力程度。[2]利用综合难度系数模型对数学试题进行整体难度评估，可以在一定程度上实现测前难度标定，进而为合理有效地调控难度提供基本保障。

综合难度系数模型是比较教育研究中较为成熟的一种量化评价方法。[3]Noharad 在2001 年提交给美国国家统计中心（NCES）的一份报告中最早提到了综合难度系数模型，该报告将综合难度因素划分为“实际背景、问题扩展、运算水平、推理过程”4 个维度。[4]鲍建生对上述模型进行了完善，提出了更符合我国实际的数学课程综合难度系数模型，他将综合难度因素划分为“探究、背景、运算、推理和知识含量”5 个维度。[5]此后，我国学者在理论探索与实践操作层面做了许多尝试：王晓华基于模糊数学原理和方法，建立了大规模教育考试试题难度模糊综合评判模型，并采用定性与定量相结合的方式预估试题的难度[6]；武小鹏等人改良了鲍建生的数学课程综合难度系数模型，将综合难度因素划分为背景、是否含参、运算、推理、知识含量、思维方向和认知水平7 个维度[7]；周东岱等人基于自然语言处理和深度学习技术，提出“试题文本、试题结构、知识深度、认知目标”4 个一级维度的难度影响因素框架，构建了适用于选择、填空、解答等多种题型的试题难度自动预测机制和模型[8]；曹翛骛等人研究发现，2013—2022 年全国Ⅱ卷理科数学试题综合难度呈现“低起点、多层次、高落差”的考查特点[9]；刘静等人研究发现，实行“3+1+2”新高考方案后，新高考Ⅰ卷在“背景因素、运算水平、推理能力、知识含量、认知水平”5 项因素上的难度系数明显高于全国Ⅰ卷[10]；王亚妮等人研究了2020 年浙江卷、海南卷及全国Ⅱ卷试题综合难度，发现高考数学试卷编制注重数据分析、逻辑推理的问题导向，同时展现了结构合理、难度适中的结果导向[11]。

可以看出，对高考数学试题的综合难度进行研究已经成为数学教育测评的热点问题。为此，本研究采用综合难度系数模型对2021—2023 年高考全国甲卷数学试题的知识水平层次、考查难度进行分析，整体上呈现近3 年全国甲卷数学试题的综合难度及其考查特点，为合理控制数学试题难度提供参考。

二、研究对象与工具

1.研究对象

随着新高考综合改革的逐步推进，2021 年，教育部统一命制了全国甲卷试题（含文科、理科）取代全国Ⅲ卷（含文科、理科）。2023 年，广西、贵州、云南、四川等还未参与新高考综合改革的省（区）仍使用全国甲卷试题。本研究选取2021—2023 年高考全国甲卷文科、理科共6 套数学试题作为研究对象。

2.研究工具

本研究借鉴鲍建生及武小鹏等人建构的综合难度系数模型，在武小鹏等人的七因素模型框架中增加数学文本阅读对试题综合难度的影响，形成“情境、参数、运算水平、推理能力、思维方向、知识含量、认知水平、阅读量”八因素框架。笔者首先将八因素水平的内涵做相应修改，使得内涵描述更具体，更易于操作。其次，按照A～H对8 个难度因素逐一进行编码，将难度因素划分为不同水平，并依次赋分。数学试题综合难度系数模型框架的具体内容如表1 所示。

表1 数学试题综合难度系数模型框架的水平划分及内涵描述

将数学试题综合难度系数模型框架编码后的数据代入公式（1）计算各因素的难度系数di（i=1，2，…，8），再代入公式（2）计算试卷整体综合难度系数D。

3.编码方法

按照表1 中各难度因素水平划分及内涵描述，对2021—2023 年高考全国甲卷文、理科数学试题进行编码，编码示例如下：

（2023 年全国甲卷理科数学第7 题）设甲：“sin2α+sin2β＝1”，乙：“sin α+cos β＝0”，则

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

难度水平分析：本题根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系进行设置，题目考查纯数学知识，属于数学情境，故编码为A1；不涉及参数，编码为B1；运算涉及三角函数基本关系，属于简单符号运算，编码为C3；推理步骤多于3 步，属于复杂推理，编码为D2；根据题目条件可以顺向直接解决问题，属于顺向思维，编码为E1；涉及充要条件、三角函数基本关系等知识，属于两个以上知识点，编码为F2；需要运用同角基本关系来解题，与程序性知识有关，属于运用水平，编码为G2；试题题干及选项字符数为97 个，属于中等阅读量，编码为H2。

为了获取高考数学试题更合理的编码数据，本研究将前面独立编码所得数据委托另外两位专家进行复审，其中1 人是正高级教师，另1 人是曾获得全国数学优质课一等奖的高级教师。收回两位专家修改后的编码数据后再次进行校对、分析和讨论，最终确定了本研究的编码数据矩阵，并对编码后的原始数据进行汇总统计，具体数据如表2 所示。

表2 2021—2023 年高考全国甲卷数学各难度因素考查情况统计

三、试题评析结果

为了形象直观地展示2021—2023 年高考全国甲卷文、理科数学试题在8 个难度因素上的考查情况，本研究对试题难度进行局部分析并绘制柱状图与雷达图，图1～图8 中的数据分别代表难度因素不同水平的占比。

图1 情境的考查情况

1.各难度因素考查情况

（1）情境

在《现代汉语词典》中，情境被解释为“情景、境地”。数学试题中的“情境”即“问题情境”，是指以问题或任务解决为中心构成的活动场域。《普通高中数学课程标准（2017 年版2020年修订）》（以下简称“《课程标准》”）将情境分为“现实情境、数学情境和科学情境”三大类。[12]数学学科的学习重点在于培养学生的抽象思维、逻辑推理能力，因此，高考数学命题往往更突出纯数学情境的考查，同时兼顾现实情境和科学情境。

由图1 可知，近3 年高考全国甲卷6 套试题中，纯数学情境的占比均远超现实情境、科学情境，科学情境又稍低于现实情境；6 套试题的数学情境占比均超过82%，其中占比最高的是2022年文科卷，高达90%；3 种不同情境类型的占比近年来保持相对稳定。另外，同一年份中，文科卷数学情境的占比稍高于理科卷，现实情境和科学情境的占比又稍低于理科卷。其中，2023 年文、理科卷中科学情境试题各有3 道，高于2021年、2022 年。

总体来看，近3 年高考全国甲卷数学试题很好地贯彻了“情境中培养核心素养”的理念。如2023 年理科数学第19 题介绍了研究臭氧效应的一项实验，题干给出了详细的研究方案及实验数据，第（1）问求随机变量的分布列和数学期望，第（2）问求样本中位数并进行独立性检验。试题以研究臭氧对生物生长的抑制效应为背景，考生需要收集、分析和处理数据，进而得出结论，其不仅涉及数字特征计算的纯数学情境，还涉及生活中臭氧对生物生长影响的现实背景，更以实验对照方式提出了一个科学研究的基本问题。这些试题既突出了蕴含于数学知识与问题解决过程中的数学情境，考查学生提出、探究、解决问题的能力，也突出了面向服务生活、生产实践的现实情境，考查学生将现实情境抽象为数学问题的能力，还突出了科学情境的设计，考查学生科学探索的学科素养，引导学生形成正确的生活观、科学观。

（2）参数

参数，也叫参变量，是一个变量。数学问题中常引入一个或一些另外的变量来描述自变量与因变量的变化关系，这些变量被称为参数。参数体现了数学运动与变化思想，是高中函数、解析几何中的常见概念，如用含字母的代数式来表示几何变量的参数、用图形几何性质与代数关系来联立整式进行解题的参数法等。学生能否熟练处理参数问题，关键在于对参数本质理解是否充分到位。与试题难度相关的参数因素包括有参数、无参数两个水平。

由图2 可知，近3 年高考全国甲卷6 套试题中，无参数试题的平均占比为63%，高于有参数试题。无参数试题占比最高的是2021 年，其中文科卷共21 题，占比高达72.4%，理科卷共20题，占比为69%；其次是2023 年，文、理科卷中无参数试题占比均不低于60%。近3 年全国甲卷6 套试题中有参数试题的平均占比为37%，理科卷的比例整体高于文科卷。有参数试题占比最高的是2022 年，其文、理科卷有参数试题的比重均达到43.3%，在一定程度上增加了该年的试题难度。

图2 参数的考查情况

近3 年高考全国甲卷数学试题在参数的考查上主要集中于函数、几何与代数主线，并专门考查了参数方程。如2021 年理科数学第4 题难度适中，以社会普遍关注的青少年视力问题为背景，介绍了五分记录法和小数记录法记录的数据关系L ＝5+lgV。试题中函数模型的参数需要通过数据统计和估计得到，解答这一问题的过程就是学生理解数学对象、掌握数学方法、展开数学运算的一系列数学思维活动过程。

（3）运算水平

数学是研究数量及其运算、图形及其变换的一门学科。运算是数学学习的一种行为，其本质是集合之间的映射。数学运算一般指代数运算，包括绝对值、指数、对数等的运算，以及幂运算、三角运算、逻辑运算、导数运算等。数学运算要求学生依据运算法则解决问题，其过程主要表现为理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、求得运算结果。影响数学试题难度的运算水平因素包括简单运算（含简单数值运算、简单符号运算）和复杂运算（含复杂数值运算、复杂符号运算）。

由图3 可知，近3 年高考全国甲卷6 套试题在运算水平4 个维度上的考查占比差异明显。在简单数值运算的考查上，占比最高的是2021 年文科卷（51.7%），占比最低的是2023 年文、理科卷，均为23.3%。在复杂数值运算的考查上，占比最高的是2021 年理科卷（27.6%），占比最低的是2021 年文科卷（6.9%）。在简单符号运算的考查上，占比最高的是2023 年理科卷（50%），占比最低的是2022 年文科卷（6.7%）。在复杂符号运算的考查上，占比最高的是2022 年文、理科卷，其占比均为36.7%。总体来看，2023 年文、理科卷对复杂符号运算的考查比重较前两年有所降低。文科卷在数值运算（含简单数值运算，复杂数值运算）上的考查占比高于理科卷。2023 年文、理科卷简单符号运算试题的占比均有较大幅度提升。

图3 运算水平的考查情况

近3 年高考全国甲卷数学试题对数学运算的考查主要集中在以下3 个方面：一是考查学生根据定义、法则、公式进行运算、变形和数据处理的能力；二是考查学生根据条件，寻找并设计运算路径的能力；三是考查学生根据要求对数据进行估计和近似计算的能力。如2023 年理科数学第17 题：已知数列{an}中，a2=1，设Sn为{an}前n项和，2Sn=nan，第（1）问求{a}的通项公式，第（2）问求数列{}的前n项和Tn。试题要求考生通过变形题干恒等式条件，计算通项的递推关系或前n项和的递推关系，通过迭代思想求解出数列的通项公式，再通过错位相减法，将数列前n项和的部分代数结构转化为等比数列的求和问题。这既考查了复杂数值运算（解方程求公比），又考查了简单符号运算（分类讨论公比q 与1 的关系），还考查了复杂符号运算（错位相减法求Sn）。可见该题灵活，难度较大。

（4）推理能力

推理能力是指个体在头脑中根据已有的判断，通过分析和综合引出新判断的能力。数学中的推理是获得数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，也是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。影响试题难度的推理能力因素包括简单推理和复杂推理两种。高考数学主要考查学生在解答数学试题时能否做到推理过程明确、逻辑简单。解题步骤在3 步以下的试题属于简单推理试题，3 步及以上的属于复杂推理试题。

由图4 可知，近3 年高考全国甲卷6 套试题中，简单推理试题的占比整体高于复杂推理试题。据统计，6 套卷中简单推理试题共98 题，占比为55.1%；复杂推理试题共80 题，占比为44.9%。在简单推理能力的考查上，2021 年文科卷占比最高，2022 年理科卷占比最低。在复杂推理能力的考查上，占比最高的是2022 年，其中文科卷共19 题占比为63.3%，理科卷共23 题占比为76.7%。总体来看，简单推理能力一直是高考数学考查的重点。另外，2021—2022 年理科卷中的复杂推理试题占比均高于文科卷；2023 年文、理科卷中复杂推理试题的占比相同，文理趋于一致。在复杂推理能力的考查上，近3 年全国甲卷文科与理科的差异越来越小。一般来说，高考数学常通过调整两个推理能力试题的数量来控制试题的综合难度。

图4 推理能力的考查情况

整体来看，近3 年高考全国甲卷数学试题十分注重学生数学推理能力的考查。如2023 年理科数学第7 题，假设甲：“sin2α+sin2β=1”，乙：“sinα+sinβ=0”，要求考生根据充分、必要条件的基本概念，结合同角三角函数的基本关系，对甲命题是乙命题的必要不充分条件进行判断、推理、证明。试题考查学生利用特例“证否”的意识，以及演绎推理能力和归纳推理能力。统计发现，近3 年高考数学试题重点考查了逻辑推理素养，要求考生掌握推理的基本形式和规则，探索和表述论证过程，有逻辑地进行表达和交流。

（5）思维方向

思维是人的一种高级心理活动形式，数学思维是个体用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。依据学生能否顺用现有的知识安排解题思路，并按照数学学科逻辑顺向解决问题的表现，将其思维分为两类，即顺向思维和逆向思维，这是两种不同的思维方向及水平。顺向和逆向两种思维相互补充和促进，学生由顺向思维水平提升到逆向思维水平，其本质是思维方向的重建，是个体从单因素作用下的单向联想转化为多因素共同作用下的双向或多向联想。

由图5 可知，近3 年高考全国甲卷6 套试题十分注重学生顺向思维的考查。在顺向思维的考查上，文科卷的占比整体略高于理科卷，文科卷中顺向思维的考查占比历年稍有波动，理科卷则呈逐年递增趋势。究其原因，逆向思维是从求解回到已知的过程，这一思维是向对立面方向发展，属“反其道而行之”，要求学生具有较强的批判性。逆向思维试题难度一般较大。

图5 思维方向的考查情况

高考数学试题十分注重考查学生这两种思维的灵活运用。如2023 年理科数学第21 题给出函数结构第（1）问讨论函数单调性，第（2）问求不等式f（x）＜sin 2x在恒成立条件下参数a取值范围。第（1）问考查学生利用导数判定函数单调性的程序性知识，侧重顺向思维；第（2）问考查学生不等式结构的改造与转化，函数的构造与分解，以及分类讨论、换元思想，侧重逆向思维。

总体来看，近3 年高考全国甲卷数学试题以顺向思维考查为主，强调问题解决过程中线性推理的考查，体现试题的基础性。在函数、几何与代数等主线上，高考数学试题突出考查逆向思维，关注考生问题解决过程中思维独特性和创新性的综合考查，这部分试题难度较大，体现了高考的选拔性特点。

（6）知识含量

试题的知识含量，一般指考查知识点的数量，与知识广度有关，通常认为考查知识点越多，以及跨章节、跨学科越明显，试题难度也就越大。由图6 可知，近3 年6 套卷仅考查1 个知识点水平的试题占比明显大于其他两个水平；考查2 个或3 个及以上知识点的试题数量逐年递增，文科卷的知识含量明显低于理科卷，知识含量不同水平所对应的试题数量整体差异明显。2022 年文、理科卷知识点交叉的数量较多。

图6 知识含量的考查情况

总体来看，近3 年高考数学试题涉及3 个及以上单元知识点，含跨章节、跨学科知识试题数量较少，以围绕1 个知识点或2 个知识点交叉的试题为主。

出于人才选拔的需要，近3 年高考全国甲卷曾出现知识点非常多的试题。如2022 年理科数学第21 题：已知函数第（2）问要求学生证明：若f（x）有两个零点x1，x2，则x1x2＜1。试题要求考生熟练进行指数、对数函数及多项式运算，先构造出要研究的函数对象，再求解。该题分步设问，逐步推进，难度由浅入深，全面考查学生利用导数讨论函数单调性、零点、极值和最值等基础知识掌握情况，涉及知识点广而多，答题过程需要使用大量的描述性语言。这对学生的阅读能力、提取信息能力、思维转化和代数改造能力提出了非常高的要求，试题难度较大。

（7）认知水平

试题的认知水平，一方面指向测试内容的知识水平，即知识深度；另一方面指向考生的素养水平，即能力维度。认知水平包括理解、运用、分析3 种水平，其中，理解水平是指对基本概念、性质和原理的准确把握，运用水平强调使用基本概念进行知识迁移并解决具体问题，分析水平强调综合运用所学知识解释并给出解决具体问题的思路、方法、设计及评价。

由图7 可知，近3 年高考全国甲卷6 套试题中，理解和运用水平的占比整体高于分析水平。在理解水平考查中，文、理科卷考查比重最高的都是2021 年，最低的都是2022 年；在运用水平考查中，文、理科卷考查比重最高的均为2022 年；在分析水平考查中，文、理科卷考查比重最高的均为2022 年。另外，在理解水平的考查上，同一年度理科卷的占比均低于文科卷，但在运用、分析水平的考查上，同一年度理科卷的占比大部分高于文科卷，特别是2022 年理科卷，其运用、分析水平的试题占比较高，难度相对较大。2023 年，文、理科卷在3 个水平上的试题数量分布相对均衡，说明高考数学试题既注重基本概念的考查，也注重问题解决和应用能力的检测。

图7 认知水平的考查情况

总体来看，近3 年高考全国甲卷数学试题很好地均衡了理解、运用和分析3 个水平的考查。如2023 年理科数学第20 题第（2）问：已知F为抛物线C：y2=4x焦点，M、N为C上两点，且FM⊥FN，求△MNF面积的最小值。试题要求学生在纯数学情境下计算平面三角形面积最小值，考查了学生分析推理、建模评价、反思计算等综合能力，以及批判性思维能力。试题要求学生先建立面积模型（属于理解水平），在模型变量过多导致无法往下求解时，清晰地设计优化面积模型代数结构的解决方案（属于运用水平），将二元变量问题转化为一元变量问题，再通过相互的制约关系找到参数的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值（属于分析水平）。这道试题入口宽、出口窄，突出了基础性，兼顾了综合性，试题综合难度适中。

（8）阅读量

数学阅读量是指围绕数学问题或相关材料，以数学思维为基础和纽带，用数学的方法来认知、理解、汲取知识和感受数学文化，并对材料加以理解、应用推理、想象反思和总结归纳等一系列学习活动的总和。阅读量的评价是以试题题干、问题及选项字符总数量为依据的，包括少量、中等和大量3 个水平。

由图8 可知，近3 年高考全国甲卷6 套试题中少量水平的占比最高，大部分题干、问题及选项字符数低于50 个。另外，近3 年理科试题在大量水平的考查上呈现递减趋势，在少量水平的考查上呈现递增趋势。2021 年文科卷中有6 道、理科卷中有10 道试题的题干、问题及选项字符总数在100 个以上，阅读量较大，对考生提出了很高的要求。

图8 阅读量的考查情况

数学阅读区别于其他学科的阅读要求，除了文字，还包括图表、符号、公式、数据等。数学阅读过程需要展开复杂的思维活动，试题阅读量较大对学生阅读素养提出了很高的挑战。如2021年理科数学第8 题以珠穆朗玛峰最新高程的测量为背景，将三角高程测量法引入试题，要求学生完成一个不规则空间几何体两点高度差的求解任务。这道题字符数达190 个，信息量很大，学生需要对空间几何体结构和数据进行有效提取，作答难度较大。另外，2021 年理科卷数学字符总数高达8921 个，要求考生在较短的时间里准确捕捉题目信息，并借助已掌握的数学知识对信息进行筛选、判断、推理、论证等，这对考生阅读理解、迁移知识和综合运用的复杂认知提出了很高的要求，试题难度也相应增加了。

2.试卷综合难度分析

（1）各因素综合难度系数

基于表2 数据，利用公式（1）和公式（2），分别计算2021—2023 年高考全国甲卷6 套数学试题的综合难度系数，并绘制不同因素的难度系数雷达图，详见表3 和图9。

图9 2021—2023 年全国甲卷不同因素的难度系数雷达图

表3 2021—2023 年高考全国甲卷6 套试题的综合难度系数

由图9 可知，近3 年高考全国甲卷6 套数学试题的综合难度考查存在以下特点：（1）在情境、参数、思维方向、知识含量4 个因素上，6 套卷难度一致性较好；（2）在认知水平、推理能力、运算水平和阅读量4 个因素上，6 套试题难度有所波动；（3）文科卷各难度因素水平整体低于同一年理科卷，文科卷与理科卷差距最小的难度因素是情境、思维方向和参数；（4）2023 年文科卷与理科卷试题综合难度相近，与其他年份相比，这两套卷各因素难度水平一致性最高；（5）2022年文、理科卷在参数、运算水平、推理能力、认知水平4 个因素上整体高于2021 年和2023 年；（6）6 套试题未对思维方向、情境等因素做过多考查，对认知水平、运算水平和阅读量等因素提出了较高的考查要求。

（2）试卷综合难度系数

基于表3 中2021—2023 年高考全国甲卷6套试题不同因素的难度系数，绘制出试卷综合难度系数折线图，如图10 所示。可以看出，首先，近3 年全国甲卷中综合难度系数最大的年份是2022 年，最小的是2021 年，2023 年居中。其次，文科卷与理科卷的综合难度系数差异逐年缩小，两卷的难度系数之差由2021 年的1.13，递减到2022 年的0.5，再到2023 年的0.3。可见，文科卷与理科卷数学试题难度越来越趋向一致，这与新高考取消文理分科、强调数学高考合卷的要求是一致的。再次，2023 年全国甲卷数学试题整体难度相比2022年有所下降。可以看出，高考数学既全面考查了高中数学必备知识，又兼顾考查学生关键能力、思维品质和问题解决能力，还做到了基础性、综合性、应用性和创新性的统一，试题综合难度科学合理。

图10 2021—2023 年全国甲卷6 套试题综合难度系数折线图

四、研究结论

1.运算水平因素难度系数最高，强调数学运算素养的形成

2021—2023 年高考全国甲卷6 套试题的运算水平难度系数总和为13.91，排序第一，明显高于其他难度因素系数总和。2021 年文科卷运算水平的难度系数为1.93，其余试卷运算水平的难度系数均大于2。2022 年理科卷因涉及大量的复杂数值、符号运算，其难度系数高达2.50。《课程标准》将数学运算定义为“在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养”，学生需要“理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序和求得运算结果”。[12]通过分析不难发现，6套试题均突出了数学运算素养的考查，尤其是2023 年，文、理科卷运算水平试题的考查较往年有所增加。可以看出，高考数学试题通过精心设计运算任务，考查学生合理、正确、简洁、灵活运算的能力，既提升了试题难度，又发挥了试题的育人导向价值，帮助学生形成积极的数学认识观和学习观。

2.试题知识含量逐年增加，关注知识的综合应用，设计自然合理的问题情境

2023 年理科数学卷中知识含量这一因素的难度系数为1.53，在近3 年理科卷中难度最大，其中，两个以上知识含量的试题有13 题，占比达到43.33%。6 套试题中，两个以上知识含量的试题有71 题，占比39.89%，且试题的知识含量逐年增加。这与新高考坚持素养导向的人才培养方向是一致的，即考查学生综合运用所学知识解释并给出解决具体问题的思想、方法、设计和评价的能力。全国甲卷数学试题符合《课程标准》中“试题问题情境的设计应自然、合理”的命题原则，也体现了利用“情境与问题”考查数学核心素养的基本思路。相比往年，2023 年全国甲卷增加了现实、科学情境试题，数量达到9 题（文科卷4 题，理科卷5 题），可见其情境因素越来越多元化。

3.认知水平和阅读量因素难度系数较高，关注数学“四基、四能”和阅读素养的考查

近3 年6 套试题的认知水平难度系数总和为9.73，在8 个因素中排第二，其难度总体偏高。在认知水平的考查上，高考数学试题命制坚持“价值引领、素养导向、能力为重、基础为基”的理念。除了突出考查那些外显的、与技能有关的内容，近3 年高考全国甲卷数学试题也注重考查那些蕴含于数学知识与问题解决过程中的数学思维。如2021 年理科数学第18 题引进结构不良题型，综合考查学生运用所学知识解释并设计解决具体问题的方案、方法和评价等能力，既注重知识内容的深度，也强调学生问题解决能力的测评。

6 套卷的阅读量难度系数总和为9.22，在8个因素中排第三。在阅读量因素上，文科卷的难度差异较明显，理科卷的难度比较稳定。统计发现，6套数学试题题干、问题及选项字符总数超过100 个的有33 题，占比18.54%；题干、问题及选项字符总数超过50 个的有83 题，占比46.63%。试题阅读量最大的是2022 年，共28 题（文科11 题，理科18 题）。近3 年高考全国甲卷数学试题越来越重视数学阅读素养的考查，但并未出现阅读量过大、阅读理解过难的繁题、杂题，这与新高考创设真实自然试题情境、控制适宜的文本字数、设计合理的阅读理解难度等要求是吻合的。

五、启示与建议

1.重视数学思维素养的考查，提升设问的可操作性

宁锐等人将数学学科六大核心素养分成“数学思维素养、数学方法素养和数学工具素养”三个层面。[13]数学思维素养包括直观想象和数学抽象素养，指向事物认识和数学理解两大基本形式，体现了“会用数学眼光观察世界”的思维性目标；数学方法素养包括数学运算和逻辑推理素养，指向数学推演和数学建构两大基本特征，体现了“会用数学思维思考世界”的方法性目标；数学工具素养包括数据分析和数学建模素养，指向问题解决和表达世界两大基本活动，体现了“会用数学语言表达世界”的工具性目标。近3年高考全国甲卷数学试题运算水平因素的难度系数总和排名第一，其注重复杂数值、符号运算等数学方法素养、数学工具素养等方面的考查，但对数学思维素养的考查有待加强。

首先，数学运算作为一种特殊的演绎推理，是学生处理数学问题并获得正确结果的基本途径，其重要性不言而喻。但数学本质上是一门训练学生思维的学科，应该帮助学生锻炼数学抽象思维，“会用数学眼光观察世界”。比如，透过现象看本质的“抽象”、突破“眼见为实”限制的“推理”、将抽象的规律用数学语言表达出来的“建模（应用）”等思维活动，都属于数学思维素养的重要内容。

其次，高考数学需基于数学学科的本质意蕴、思想含义进行命题。例如，可以在知识网络的交会点中设问，在概念、法则、命题的推导过程中设问，考查归纳与演绎思维；可以在描述、分析数学问题和构建数学问题直观模型过程中设问，考查创造与发现思维；可以在数量、图形及其关系中抽象出数学概念的过程中设问，考查抽象与具体思维；也可以学科知识为思维材料和操作对象，考查学生的语言组织、信息存储、抽象概括分析推理等直觉与逻辑思维。在考查数学方法素养、工具素养的基础上，高考数学可适当增加函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、统计与概率思想等的考查。[14]从数学学科培养的整体目标出发，甄别学生在数学思维、数学方法和数学工具素养上的发展水平和个体差异，合理控制高考试题综合难度水平。

2.适当增加现实情境和科学情境的考查，创新情境呈现方式

无情境，不成题。情境和情境活动，是新高考数学试题的两大重要考查载体，也是反映新高考数学试题综合难度的重要指标。《课程标准》将情境分为“数学情境、现实情境、科学情境”三类，并明确提出“在命题中，选择合适的问题情境是考查数学学科核心素养的重要载体”。加强情境化试题的命制，不仅可以考查学生知识与技能等外显行为，还可以考查学生个性、态度、价值观等潜在素质。[15]高考数学试题应进一步加大现实情境和科学情境的考查，创新情境呈现方式。

首先，在现实情境和科学情境素材的选择上，要贴近时代、贴近社会、贴近生活，既包括科学、技术、工程、人文和历史现实等试题情境，也包括现实基础与合理性的虚构情境。在内容上，统计与概率、数学建模与数学探究活动这两大主线最适宜创造现实情境和科学情境。高考试题可适当引入经典的数学模型，让学生在深刻体会利用经典模型后，描述现实世界现象和抽象问题，体会数学的应用性、思维的深刻性，感受专家思维，实现数学领域的情感共鸣，深化价值体认。

其次，近3 年高考全国甲卷数学试题文本主要以文字、符号、数据等方式呈现，有效控制了干扰学生的无关信息，但也在一定程度上限制了试题呈现方式。在创新试题情境呈现方式上，可将字母、数字、文字、图片、表格或非连续性文本相结合，使试题叙事更加具体、语境更加丰富。这便于考生更直观、更清晰地了解试题考查要求，并在问题解决过程中提升数字、图表、文本信息的获取转化能力，促进高阶思维的发展。

3.重视数学阅读能力考查，丰富试题结构

《课程标准》指出“教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，引导学生阅读自学、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等”。[12]没有阅读的输入，就没有思考的原料与前提，学习就无从谈起。数学阅读既是个体对数学文字、符号及图表进行理解和内化的心理过程，也是对阅读材料进行猜想、验证、推理与反思的认知活动。重视数学阅读考查可从丰富试题结构入手。

首先，数学阅读能力包括学生利用已有认知对数学材料加以理解、应用推理、想象反思和总结归纳等能力。可以通过“图文并茂”的方式设计试题，考查学生文字语言、图形语言、符号语言之间的转换能力、互译能力，具体包括逻辑推理、精确表达、读写结合、语意转换等题型结构。研究表明，符号语言因抽象性增加了学生数学阅读的困难，图形语言因直观性（图优效应）降低了数学阅读的难度。[16]这提示教师可通过“图文并茂”的试题结构，适度降低题型的抽象程度。

其次，适当引入数学教材中没有出现过的新概念、新运算、新符号，设计“新定义类试题”，考查学生基于已有认知进行阅读、理解、推理和迁移的能力。“新定义类试题”涉及一种“新运算”、一种“新概念”或中学与大学衔接中的“新知识”，主要考查学生阅读新定义、理解新定义、应用新定义等能力，可以发展学生在问题解决过程中的多元建构思维能力。具体形式有阅读提取概念、整合关键信息、理解已知条件、建立数学关系、解决数学问题等。