基于创新应用能力培养的“线性代数”教学改革

张静 李伯忍 王立本

［摘 要］ “线性代数”课程是大学数学中的一门重要基础课，具有理论性、逻辑性、抽象性强的知识特点，并在许多实际领域中有着广泛的、深刻的应用背景与意义。为了落实综合应用型本科院校的人才培养目标，综合分析了传统的“线性代数”课程的特点和教学所面临的困难与挑战，并从理论联系实际出发，具体地阐述了一种将数学建模思想融入“線性代数”课程教学的改革方案与建议，增强学生利用数学建模思想解决实际问题的意识与能力，切实提升学生的认知层次与知行合一的能力。

［关键词］ 线性代数；应用型大学；数学建模；教学改革

［基金项目］ 2021年度东莞理工学院高等教育教学改革项目“基于数学建模实践的《线性代数》课程改革探索”（202102032）

［作者简介］ 张静（1991—），女，山西长治人，博士，东莞理工学院计算机科学与技术学院公共教学部讲师（通信作者），主要从事数学与计算机建模研究；李伯忍（1980—），男，江西上饶人，博士，东莞理工学院计算机科学与技术学院公共教学部副教授，主要从事时滞与不确定系统的控制与综合研究；王立本（1989—），男，湖南怀化人，博士，东莞理工学院计算机科学与技术学院公共教学部讲师，主要从事椭圆偏微分方程解的研究。

［中图分类号］ G642.0［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2024）01-0070-04 ［收稿日期］ 2023-02-15

引言

“线性代数”课程是研究离散化和数值计算理论的基础学科，是高等学校理工科专业及经管类各专业的重要基础课。线性代数主要以行列式、矩阵为工具研究线性方程组、线性空间与线性变换等相关基本概念、基本理论和基本运算技巧。“线性代数”课程内容逻辑性、抽象性较强，应用性广泛，在当今的电子信息时代有着深刻的背景与意义，是自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域的应用基础。因此，“线性代数”课程对工学和经济管理学学生具有的重要的作用和地位［1-4］。东莞理工学院（以下简称我校）是入选教育部首批“卓越工程师教育培养计划”“新工科研究与实践项目”建设单位之一，我校主要培养适应现代产业发展需求，勇于担当、善于学习、敢于超越的高素质应用型创新人才。在崭新的发展阶段，面对社会和企业对于人才专业能力和素养的要求，“线性代数”课程不仅需要支撑各理工科专业后续专业课程，而且还需通过推动学生走出学校参与各项省级、国家级竞赛，如全国大学生数学建模竞赛等，达到理论付诸实践的关键尝试。

数学建模［5-6］不同于传统的数学，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型交叉学科，是沟通数学理论与实际应用的一座桥梁，旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的意识和创新思维，从而激发学生学习数学的兴趣，了解数学广泛的应用领域，提高学生的综合素质和分析问题、解决问题的能力。

通过探索将抽象的线性代数知识与相应的数学建模实例融会贯通，让抽象转化为形象，通过实际问题让学生进行系统的问题重述、分析、讨论与总结，可以有效提高学生的学习兴趣以及对相关知识点的理解与巩固，从而实现知识的衔接和认知的提升。

一、“线性代数”教学现状分析

作为重要的基础课程，“线性代数”课程已经有成熟的结构体系。该课程的传统教学模式是结合多媒体课件线下讲授（主讲基础数学知识点）。由于学习时间和知识积累的限制，虽然本科阶段的“线性代数”课程主要讲解行列式、矩阵、n维向量组的线性相关性、线性方程组求解、相似矩阵以及二次型等基本内容，但是由于这门课程的抽象性，学生普遍觉得和以前的数学知识没有联系，对向量空间、线性变换等代数与空间解析几何内容学习困难，而对于一些经管类专业文科学生来说则更加学习吃力，主要存在的挑战包括以下几个方面。

（一）教学对象的学习风格新颖

学生不仅仅满足于对课堂知识的学习，而更喜欢自己探索新知，探求事物的本质，如果得到了实践的验证，会更加自信，更加愿意独立思考。学生会寻求协作，在解决比较复杂的问题情境时会提炼问题，综合已有知识改变思维策略，最终解决问题。

（二）教学内容抽象性和复杂性增强

对于学生来讲，中学数学与线性代数直接联系较少，中学数学具体形象而线性代数抽象且逻辑性很强，这致使许多学生失去了学习信心。倘若可以将抽象知识映射在生动的、易懂的具体实例中，那么将大大提升学生的学习信心。

（三）教学过程重灌输轻探究

线性代数知识点抽象难懂，加之图表等直观解释少，实际应用例题也很缺乏，即使精简授课内容，学生在学习过程中也不能透彻理解和关联知识点，无法达到理想的传授知识并提升能力的目标。因此，剖析典型的应用实例对于学生学习线性代数具有强化作用。

（四）教学目标重知识轻应用

在应用型、创新型人才培养目标下，迫切需要加强非数学专业的“线性代数”课程内容对学生应用能力和创新能力的培养。当前课程目标比较侧重依托知识结构逻辑性来培养学生的抽象思维能力。但经初步调研发现，如何在实践中正确运用所学的知识和抽象思维能力是大多数学生面临的挑战。例如，在多变量寻优问题上，无法用数学语言去描述实际问题等。因此，对线性代数在理论应用于实际方面需要加强。

二、“线性代数”教学改革建议

以知识点与典型数学建模实例相融合的教学模式为主线，采用理论知识联系数模应用实例、学生融入课堂、评价反映能力三者相结合的实施方案。具体从理论知识与数模实例双射、师生角色模拟与多元化成绩评价三个方面展开（如图1所示）。最终给出基于数学建模实践的“线性代数”课程新模式，为基础数学课程的创新提供参考。

（一）理论知识与数模实例双射

首先，基于课本关键知识点与数学建模实例的关联性，通过对实际问题进行抽象、概括、分析，进一步建立模型和求解模型，让学生切实巩固知识，培养从理论到实际的转化思维，提高相关专业素质。例如，矩阵是“线性代数”课程的枢纽，在讲解矩阵及其运算内容时，可引入易懂的数模实例：三个咖啡店I、II、III售卖A、B、C、D四种咖啡，现要统计三个咖啡店开业以来第1年和第2年售卖四种咖啡的总销售量。为了使学生既领会知识点也提升自己的综合能力，教学过程可以结合数学建模解题思路，先从问题分析与假设入手，引导学生从实际问题中提取出数学变量（假设xi， j表示第i个咖啡店第j年销售量）；然后，根据已知条件，与学生共同构建与求解数学模型（矩阵加法——求和）。通过对实例的共同分析讨论，学生不仅巩固了矩阵的加法运算知识，也了解到基础知识对实际应用的重要性，同时培养了学生的抽象思维能力和应用能力，为相关专业课程打下基础。

其次，針对授课对象的专业特点，基于相似背景的数学建模实例，反映相关知识点的本质，让学生在学习课程知识的同时，激发学习兴趣与信心，形成自主的、良性的学习态度。例如，线性方程组及其求解是“线性代数”课程的基础，考虑到课堂时间有限，在讲解该内容时，假设授课对象为食品方向的学生，可以引入如下数模实例：一份食谱中有牛奶、麦片和鸡蛋三种食物，已知100 g每种食物成分含有的蛋白质、碳水化合物和脂肪的量，减肥所要求的每日营养量需达到33 g、45 g、3 g，如果这三种食物作为每天的主要食物，那么三种食物应各摄取多少才能全面准确实现这个营养要求？授课对象为化学方向学生时，则可引入复杂的化学方程式配平的应用例题。特征值与特征向量是“线性代数”课程的重点和难点，授课对象为环境方向学生时，可引入差分方程模型——工业增长模型进行模拟，便于学生理解与应用。总而言之，数学建模实例的引用需切合知识点，通俗易懂且具有专业针对性。

（二）师生角色模拟

如图2所示，根据授课内容选定数学建模实例，布置课前“备课”。基于线上授课平台（如优学院等）发布难度适当的数学建模实际案例（附简要解析）和相关应用背景视频资源，降低自主学习难度的同时，最大限度激发学生主观能动性。例如，选定差分方程模型——工业增长模型对特征值与特征向量进行补充讲解时，除上传相应录课音频外，也可添加环境污染现状及治理紧迫性的科普视频，让学生切身了解线性代数在实际问题中的重要性，并通过前沿视频拓宽视野，增加学生对学习专业知识的自信心。

学生在课上备好“教案”，并进入模拟授课。学生先将备好的课件以书面形式提前交给教师。基于智能教室（如我校的“智慧教室”）平台，学生分组列席并以“小教师”身份上台授课，每组约7分钟讲授，阐述小组的智慧成果，3分钟互评与提问，台下学生基于优学院—投票平台进行等级打分。全部学生在授课结束后评出最佳小组，并上台分享过程心得。最后，教师予以点评解析，并指出各小组主要改进点，课后学生针对性修改教案与发言稿，将最终电子版本提交至优学院平台供教师参考给出最终成绩，该成绩将作为过程追踪评价的一项新指标。教师根据最终教案的质量，摸底学生对知识点的掌握程度，并作为后续授课方式和难度的重要参照。通过师生角色模拟环节，旨在加强学生知识理解，提升学生的综合素质能力，落实创新型、应用型人才培养目的，切实体会线性代数知识的应用前景。

（三）多元化成绩评价

落实能力评价，调整平时成绩组成架构。具体地，基于学生参与课堂授课情况，增添期末总评成绩的评价指标，不再仅仅局限于传统的出勤、作业及课堂表现的评价架构，真正将实践能力的培养落实到地，探索更细化的过程追踪与测试合理化的结果评价方法。一方面在过程追踪评价中增补课程汇报成绩，该成绩依据学生课堂授课得分以及教师对其课前课后教案的质量程度共同评判，进而加大平时成绩分数的占比，促使平时应用理论知识能力的养成；另一方面，针对所阐述的教学实施过程中学生的参与深度和教学质量，做好期末考试题目的设计，着重基础知识及其应用能力的考核，适当减少抽象理论的题型。

结语

旨在将基础数学知识与相应的数学建模典型例题融会贯通讲解，将传统的数学授课内容与数学实验相结合，从抽象化知识转化为生动形象的实例。不同于传统“线性代数”课程模式，本文提出不仅侧重基础数学知识点的讲授，而且还重视基础知识的应用前景，在帮助学生学习课本知识的同时，提升学生对“线性代数”课程知识的认知层次，有助于学生将这门基础课灵活运用在专业课程中；同时，激发了学生的学习兴趣并拓宽了学生的视野，有助于学生养成严谨、认真细致、实事求是的科学态度和职业道德，培养学生成为德才兼备、视野广阔的德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。

参考文献

［1］同济大学数学系.线性代数［Ｍ］.北京：高等教育出版社，2013：1-2.

［2］关英子，王露.应用型本科院校线性代数课程混合式教学模式改革［J］.西部素质教育，2022，8（1）：135-137.

［3］梅瑞，李珍珍，李明，等.应用型人才培养模式下线性代数教学改革探讨［J］.河北北方学院学报（社会科学版），2022，38（4）：80-82.

［4］车国凤，张丽丽.“线性代数”教学改革的思考与实践［J］.教育教学论坛，2022（28）：98-101.

［5］许小芳.数学建模思想融入线性代数教学的探索［J］.湖北理工学院学报，2013，29（5）：67-70.

［6］康卫，周红志.基于数学建模案例的线性代数教学探讨［J］.山东农业工程学院学报，2020，37（12）：38-40.

Teaching Reform of Linear Algebra Based on the Cultivation of Innovation and Application Ability： Taking Integrating Mathematical Modeling Practice as an Example

ZHANG Jing， LI Bo-ren， WANG Li-ben

（School of Computer Science and Technology， Dongguan University of Technology， Dongguan， Guangdong 523808， China）

Abstract： Linear algebra is an important basic course in college mathematics. It is characterized by theoretical， logical and abstract knowledge， and has extensive and profound application background and significance in many practical fields. In order to implement the cultivation objects of comprehensive application-oriented undergraduate colleges， this paper firstly comprehensively analyzes the characteristics of traditional linear algebra course and the challenges faced by teaching. From the perspective of combining theory with practice， a proposal for integrating mathematical modeling ideas into the teaching reform of linear algebra course is specifically expounded to enhance students awareness and ability to solve practical problems using mathematical modeling ideas， and effectively improve students cognitive level and ability to combine knowledge and practice.

Key words： linear algebra; applied university; mathematical modeling; teaching reform