基于“再创造”理论的高中数学教学实践——以“平面向量基本定理”为例

王锦熠, 蔡庆有

(湖州师范学院教师教育学院,浙江 湖州 313000)

1 “再创造”理论概述

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔在其代表作《作为教育任务的数学》一书中指出,学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”,也就是数学学习的内容应由学生本人发现或创造,教师的任务是引导和帮助学生进行再创造工作[1].“再创造”理论作为弗赖登塔尔教育思想的核心,内蕴三大数学教学准则:以数学现实为起点、以数学化为路径、以数学再创造活动为旨归.“再创造”理论指导下的数学教学模式如图1所示[2].

图1

这里的“数学现实”指学生已有的生活经验和数学基础,是学生所接触的客观世界中的数学规律及有关这些规律的数学知识结构[3].于学生而言,数学现实可以是玩游戏时输赢的次数、明天下雨的概率、生活中拱桥的外观及构成等.数学现实并非一成不变,而是会经由数学化的学习过程不断扩充和生成.“数学化”即学生在观察现实世界时,运用数学的方法研究事物和现象,并将非数学内容或不完整的数学内容组织成一个合乎数学的精确性要求的结构.数学化分为横向数学化与纵向数学化,横向数学化是较低层次的数学化,表现为将现实问题抽象为数学模型或图式,如将拱桥抽象为函数或图形;纵向数学化是较高层次的数学化,表现为从不同角度运用数学思想方法分析并解决问题,通过抽象出数学的本质规律,形成更一般的数学结构.例如,梳理平行四边形的性质,使之形成推理关系,进而得出平行四边形的定义.横向数学化与纵向数学化相辅相成,协同促进学生的再创造活动.“再创造”意为学生主观意义上的创造,强调学生基于已有经验和思维方式,把要学的内容像数学家创造数学一样自己创造出来.学生“再创造”活动的有效性取决于在学生主动创造和教师引导之间取得一种恰如其分的平衡[4].

“再创造”理论提出,成功的数学教育是由无数个数学活动组成的,而每个活动都应基于学生的“数学现实”,运用“数学化”的方式,促进“再创造”的实现.本研究以“平面向量基本定理”的“再创造”设计为例,助力“再创造”理论在高中数学教学中焕发生机,并发挥其应有的价值.

2 “平面向量基本定理”的“再创造”设计

基于“再创造”理论实施数学教学,就要思考相关内容教学的本质是什么,进而基于学生的数学现实,设计以数学化进阶为主线的数学活动,通过再创造的学习过程促进学生的深度理解.

平面向量基本定理的教学本质是什么?从高观点视角分析,会发现平面向量基本定理只是n维向量空间中关于极大无关组内容的一个特例,它通过向量分解的方式将对二维向量空间中无限向量的研究转化为对基底的研究.因此,从向量分解入手理解定理的内容和作用是平面向量基本定理教学的重心.同时,基于教学实践与文献分析,在学习该定理时,学生会存在“为何要将一个向量分解为两个向量”“如何理解a的任意性,λ1,λ2的存在性和唯一性,e1,e2的不唯一性”“平面向量基本定理中‘基本’的内涵”等困惑.基于上述分析,将从实际情境中建构物理模型、发现向量作为课堂教学的起点,通过横向数学化的方式分析二维平面上向量的分解,初步感悟平面向量基本定理的价值;通过纵向数学化的方式理解、辨析平面向量基本定理各要素的属性,进而形成对该定理的结构化认知.在此过程中,可借助“数学活动”促进学生对平面向量基本定理的“再创造”.

活动1从现实到向量.

向量与现实紧密联系,并与物理密切相关.因此,从现实问题出发,分析其中的物理模型,通过对力的合成与分解,回应学生“为何要将一个向量分解为两个向量”的困惑,促进学生初步感悟向量合成与分解的意义(如图2).

图2

问题1饮水机具有清洁卫生、操作简单等优点,为我们的生活带来了诸多便利,然而,为饮水机换水桶却是一个难题.两人共提一桶水(共重200 N),如图3所示,他们用力的方向与水平方向都成45°,要保证水桶平衡,两人应各用多少力?

图3

生(众):可以进行受力分析(如图4),因为|F|=|G|=200 N,所以

追问1如图5,若两人的用力方向与水平方向都成60°,要保证水桶平衡,两人应各用多少力?

图5

设计意图上述教学从学生的数学现实出发创设问题情境,使学生能够从力的分解模型中抽象出向量的分解,促进抽象素养的发展.同时,通过力分解的实际意义,促进学生初步感悟向量分解的价值,明晰平面向量基本定理学习的意义.

问题2在上述两个问题中,合力F的方向和大小均未发生变化,但为什么两人用力的大小发生了变化?原因何在?你对合力F的分解有怎样的认识?

生2:合力的大小和方向虽然未变,但分力的方向发生了变化,因此分力的大小也会发生变化.在这里,合力F被分解成了分力F1和F2.

追问2通过物理中的力,你能想到什么数学内容?通过受力分析图,你又有怎样的感悟?

生3:物理中的力能用数学中的向量表示.通过受力分析图,我发现力能分解,那么向量应该也可以分解,分解的方法是构造平行四边形.

设计意图通过问题2和追问的方式促进学生透过现象看本质,即从物理模型中归纳出向量分解会受向量大小和方向的影响,分解的方法是平行四边形法则,从而为向量进一步分解得到平面向量基本定理作铺垫.

活动2向量分解形成定理.

通过力与向量的对照,学生初步感悟向量能够合成与分解,并明确向量分解的方法,但尚未形成对向量分解的结构化认知,因此,教师可通过问题串的方式,从向量合成与分解的整体视角出发,以一维向量分解的研究为基础,寻求并建构二维向量分解的方法和依据,从而使学生能够用平面内两个不共线的向量表示平面内任一向量(如图7).

图7

问题3结合之前的学习和力的分解过程,任意一个向量可以由几个向量表示(分解成几个向量)?方法和依据是什么?

生4:可以由一个共线的向量表示,依据是向量共线定理b=λa;也可以由两个不共线的向量表示,方法是平行四边形法则.

追问3类比向量共线定理,你能用两个不共线的向量e1,e2表示出平面内任一向量a吗?

设计意图通过问题3促进学生思考向量分解的多种情况,形成对向量的整体认知.学生发现向量分解之间的联系,加深对平面向量基本定理中基底e1,e2不共线的理解.教师通过追问促进学生对二维平面内向量间关系的进一步思考,追问的目的并非立刻得到答案,而是设置一个思维挑战,启发学生对平面向量基本定理的“再发现”与“再创造”,在此过程中,教师需要为学生提供恰当的思维阶梯(问题4与问题5).

图8

问题5如图9,e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内与e1,e2都不共线的向量,将a按e1,e2的方向分解,你有什么发现?

图9

追问4能否用e1,e2表示a?

活动3理解辨析定理要素.

a=λ1e1+λ2e2的得出是对平面向量基本定理深入探究的开端,对定理各要素内涵及性质的深度分析是该定理学习的关键.平面向量基本定理的完整表述为:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2,则{e1,e2}称为这一平面内所有向量的一个基底.定理表述的高度抽象性和形式化是学生理解的难点.在教学中,教师可利用数形结合的方式促进学生直观感悟a的任意性,λ1,λ2的存在性和唯一性,以及e1,e2的不唯一性,从而完善基本定理的内容,如图11所示.

图11

问题6接下来还可以探究什么情况?请大家完成以下探究.

1)如图12,与e1,e2都不共线的任一a是否都可以表示成a=λ1e1+λ2e2的形式?λ1,λ2的取值范围分别是什么?

图12

2)如果a与e1,e2共线呢?如图13,a是否还可以表示成a=λ1e1+λ2e2?λ1,λ2的取值范围又是什么?

图13

3)如果a是零向量呢?

综上所述,你能得到什么结论?

设计意图在得到公式a=λ1e1+λ2e2的基础上,取定一组e1,e2,并借助几何画板软件的动态演示功能,促进学生进一步探究随着a的大小和方向的变化,实数λ1,λ2取值的变化,并分类讨论a与e1,e2的关系:不共线、共线、a为零向量,从而促进学生深度理解a的任意性与λ1,λ2的存在性,并能从数形结合的角度直观感悟λ1,λ2的唯一性.

问题7通过上述探究我们发现,对于平面内任意一个向量a,它可以由不共线的e1,e2表示,即a=λ1e1+λ2e2.在这种表示方法中,λ1,λ2是唯一的吗?如何证明?

生8:用反证法证明λ1,λ2的唯一性.假设存在另一对实数μ1,μ2,使得

a=μ1e1+μ2e2,

则

λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,

整理得

(λ1-μ1)e1=(μ2-λ2)e2.

若λ1-μ1≠0,则

即e1,e2共线,与条件矛盾,从而

λ1-μ1=0,且λ2-μ2=0,

即λ1,λ2唯一确定.

设计意图问题6和问题7通过几何直观和代数推理两种方式促进学生理解λ1,λ2的唯一性,从而破解教学难点.在问题6中,学生借助几何画板软件明确若确定e1,e2,a的大小和方向,则λ1,λ2存在且唯一.问题7启发学生类比向量共线定理b=λa中唯一性的证明方法,用反证法证明λ1,λ2的唯一性,增强学生的抽象思维与逻辑思维,并感悟数学定理的严谨性.

问题8阿基米德曾经说过:“给我一个支点,我就能撬起整个地球.”在平面向量的学习中,若取定平面内的一组e1,e2,则可以用它们表示同一平面内的任一向量a,此时这两个不共线的向量e1,e2就是该平面内所有向量的“支点”,我们将其称为基底.反之,平面内任一向量a可以对应多少组不同的基底?

生9:通过作图可以发现,平面内任一向量a可以对应无数组基底(如图14).

图14

设计意图借助阿基米德的“支点”,促进学生理解基底的含义,并通过对基底作用的认识,明确平面向量基本定理在向量研究中所发挥的化繁为简的功能,进而明晰该定理学习的价值.同时,引导学生通过作图研究平面内任一向量a所对应的基底数,从几何直观的角度理解基底的不唯一性,并为后续学习“如何选择恰当的基底”埋下伏笔.

活动4完善内容建构定理.

问题9结合刚才的探究,你能完善所得到的平面向量基本定理吗?

生10:平面向量基本定理为a=λ1e1+λ2e2.其中,e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,称为这一平面内所有向量的一个基底;a是平面内的任一向量;若已确定基底和a,则实数λ1,λ2存在且唯一.

问题10越是“基本”的东西,统领性越强.平面向量基本定理的“基本”是如何体现的?

生11:利用平面向量基本定理,可以用平面内的两个不共线的向量表示平面内的任一向量,从而将平面内任意向量的研究转化为基底的研究.

追问5我们在一维向量共线定理的基础上得出了二维平面向量基本定理,它们之间有怎样的关联?我们还可以研究什么?在三维空间中,向量之间又有怎样的联系?

生12:以逻辑图的方式画出向量共线定理与平面向量基本定理之间的区别和联系,如图15所示[5].

图15

设计意图通过问题9与问题10促进学生深度理解平面向量基本定理的本质与作用.在建构完善基本定理的基础上,形成从一维直线到二维平面再到三维空间的向量线性表示的结构化认知,并通过逻辑推理“再发现”需要进一步研究的内容,为平面向量的坐标表示与三维空间中向量之间关系的探讨作铺垫.

活动5定理的实际运用.

图16

生15:因为

因此,点A,B,C共线.

问题12如图17,点D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB的中点,求证:AD,BE,CF交于一点.

图17

同理可得

从而点G1,G2重合,因此AD,BE,CF交于一点.

3 结语

“再创造”理论是弗赖登塔尔现实数学教育思想的核心,强调数学教学应促进学生像数学家一样思考,发现或创造出数学学习的内容.“再创造”理论是数学学科实践育人的理论阐释,其所蕴含的三大数学教学准则是“以数学现实为起点、以数学化为路径、以数学再创造活动为旨归”,这成为数学核心素养在课堂教学中落实的有力指导.

在“平面向量基本定理”的“再创造”设计中,将抬水时所需力的分析作为学生的数学现实,通过横向数学化的方式促进学生将对力的合成与分解的思考迁移至对向量的合成与分解的探究,并以问题驱动学生对平面向量基本定理公式及各要素属性的推理论证,促进学生借助几何直观和代数推理两种方式“再创造”出该定理,进而发展自身的直观想象、逻辑推理等数学核心素养.在构建平面向量基本定理之后,用习题深化学生对知识的理解,并通过不断追问,启发学生建立该定理与其他数学内容的结构化关联,形成对数学内容的整体理解.