借助几何直观 发展推理能力——以一道初中数学学业水平考试试题为例

李欣欣, 孙 凯

(苏州市阳山实验初级中学校,江苏 苏州 215151)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课标》)在命题原则中指出,坚持素养立意,凸显育人导向,综合考查“四基”“四能”与核心素养[1].几何直观和推理能力是数学核心素养的重要组成部分,在初中学业水平考试(以下简称“中考”)数学试题命制中受到广泛关注.数学中考试题作为义务教育阶段对学生数学学习终结性评价的重要载体,不仅考查了教师教得怎么样、学生学得如何,更重要的是通过测评引领教师依标教学,将发展学生核心素养的课程目标落地.《课标》中明确了几何直观不再是一种行为,而是一种意识与习惯;推理能力是数学的关键能力之一,更是数学理性思维的主要形式[2].

在日常教学中,一线教师易将几何直观浅显地理解成对几何图形的认识与描述,推理能力就是证明,对关键能力的理解不到位,导致在几何直观和推理能力方面的培养效果不佳.课堂始终是培养学生关键能力的主阵地,需要教师加强对核心素养的理解,从更高站位设计课堂活动,准确把握数学核心素养的培育要求.笔者以2023年江苏省苏州市数学中考第25题为例,分析和呈现试题的常见解法,从学生几何直观的培养和推理能力的发展两个方面给出教学启示.

1 试题呈现,命题分析

图1

1)求证:△DBE∽△ABC;

2)若AF=2,求ED的长.

(2023年江苏省苏州市数学中考试题第25题)

1.1 依标命题,考查能力

《课标》将“图形与几何”领域分为“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”这3个主题.三角形、四边形、圆是初中阶段研究的主要图形[3].在基础知识方面,此题主要考查学生圆与相似三角形、锐角三角函数等知识;在能力素养方面,考查学生以具体图形为抓手,理解问题、分析问题、获取关键信息的能力,在经历得到和验证数学结论的过程中,形成几何直观和推理能力,以及有条理地表达的能力.

1.2 综合分析,关联推演

第1)小题结合圆中弧、弦、角之间的关系易得∠BED=∠ACB=90°,∠D=∠A,从而△DBE∽△ABC.经过分析不难发现,第1)小题的结论起着导引的作用.因为△DBE∽△ABC,所以可先求出△DBE中的边BE或者BD,再通过相似三角形对应边成比例或者借助∠DBE的三角函数即可求出ED的长度;由△DBE∽△ABC还可以发现,∠ABC=∠DBE,由此借助∠DBE的三角函数可以将Rt△DBE的3条边统一用一个未知数表达出来,再构建合适的等量关系求解未知数亦可得ED的长度;另外,通过分析还可以发现与ED相等的线段,此时可以转换线段,从而求解问题.

1.3 学会分析,规范解答

第1)小题起点低,比较简单,是对图形的性质与变化的简单考查,书写上要求学生说理清晰,论证充分,前后逻辑关系正确.第2)小题仅给出一个定量条件AF=2,要求另一条定长线段,此处需要精准分析条件之间的关系,找准关键点,充分进行推理、转化.从教学层面上来看,第2)小题检验教师在分析问题时,是否教会学生方法,即明确未知量,寻找已知量,构建未知量与已知量之间的桥梁,充分联想,以旧法解新题,指导学生方法的迁移[4];在复习“图形的性质”时,是否规范描述定理,重视证明过程的示范性、严谨性;在教学内容上,是否加强整体分析,帮助学生建立结构化的数学知识体系,加强日常教学过程中几何直观的形成,注重推理能力的培养.

2 发散视角,发展能力

2.1 第1)小题的解法分析

1)证明由AB是⊙O的直径可知∠ACB=90°.又BE⊥CD,得∠BED=90°,于是

∠BED=∠ACB.

∠BDE=∠BAC,

故

△DBE∽△ABC.

第1)小题的结论为第2)小题的解决提供了一个明显的方向,即根据△DBE∽△ABC,利用对应边成比例的性质可以求解ED的长度.因为△ABC的3条边的长度已知或可求,所以通过分析推理计算出BE或者BD的长度即可,在解决新问题时要关注前后之间的联系.

2.2 第2)小题的解法分析

思路1构建直观模型,推理解决问题[5].

图2

从而

由CH⊥AB可知

AH=AC·cosA=1.

又AF=2,则AH=FH=1,

从而△ACF为等腰三角形,于是

AC=FC,

进而

∠CAF=∠CFA=∠BFD=∠BDF,

得

BD=BF=AB-AF=3.

因为△DBE∽△ABC,所以

故

评注解法1借助第1)小题的结论,容易想到利用相似三角形对应边的性质求解未知量,此时目标转化为求解BD的长度.通过作边AB上的高,运算推理发现BF=BD,再根据△DBE∽△ABC,分析求解第2)小题中ED的长度.解法1利用两个问题之间的联系,是较为常规且自然的解法.

因为 ∠CHF=∠BEF=90°, ∠CFH=∠BFE,

所以

Rt△CFH∽Rt△BFE,

从而

于是

评注解法2通过作边AB上的高CH,发现Rt△CFH∽Rt△BFE,根据相似三角形对应边的性质,求出BE的长度,再由△DBE∽△ABC,求解ED的长度.

解法3过点F作FM⊥BC于点M,如图3所示.由解法1可知AB=5,BF=3.因为

图3

FM⊥BC,AC⊥BC,

所以

FM∥AC,

从而

△FBM∽△ABC,

于是

得

故

在Rt△CMF中,

因为 ∠CMF=∠CEB, ∠FCM=∠BCE,

所以

△CFM∽△CBE,

从而

于是

由△DBE∽△ABC,得

评注解法3通过△FBM∽△ABC或者∠FBM的正弦函数或者面积法求边BC上的高FM.接着由△CFM∽△CBE,根据相似三角形对应边的性质求出BE的长度,再由△DBE∽△ABC,求解ED的长度.解法3在过程上相较解法1和解法2要复杂一些,其主要目的仍然是先求出BE的长度.

解法4如图2,由解法1可知

因为

所以

由△DBE∽△ABC,得

评注解法4通过面积法求边CF上的高BE,相对解法3更加巧妙.解法3和解法4殊途同归,最终都是为了求出BE的长度,再根据△DBE∽△ABC,求解ED的长度.

思路2构建等量关系,推理解决问题.

解法5如图1,由解法1可知BF=3.在Rt△BED中,

设ED=x,则

因为 ∠A=∠D, ∠AFC=∠DFB,

所以

△ACF∽△DBF,

从而

于是

DF=2x,

即

解得

解法6如图1,与解法5类似,设ED=x,则

DF=2x,

从而

EF=DE=x.

在Rt△BEF中,

BE2+EF2=BF2,

即

x2+(2x)2=32,

解得

评注解法6通过代数推理发现EF=DE,以构建等量关系为原则,求解方程.在解题过程中,以建构关系为根本任务,主动进行信息加工,突破思维障碍,在学会求解策略的同时,也培养了学生的数学思维[6].

解法7过点A作AG⊥CF于点G,垂足为G,如图4所示.因为∠AGF=∠BEF=90°,∠AFG=∠BFE,所以

图4

△AGF∽△BEF,

从而

设AG=4x,BE=6x,由

∠ACG+∠BCG=90°, ∠BCG+∠CBE=90°,

可知

∠ACG=∠CBE.

又

∠AGC=∠CEB=90°,

从而

△AGC∽△CEB,

于是

故

CG=3x.

在Rt△ACG中,

AG2+CG2=AC2,

从而

解得

于是

由△DBE∽△ABC,得

评注解法7构建△AGF∽△BEF,根据已知的相似比,用一个未知数表示出AG,BE的长度.再根据△AGC∽△CEB表示出CG的长度,此时在Rt△ACG中利用勾股定理构造等量关系求解方程,易得BE的长度,再由△DBE∽△ABC,求解ED的长度.

在求解线段长度的时候,若不容易直接求解,则可以寻找长度相等的线段进行转换求解.

思路3构建相等线段,推理解决问题.

解法8过点C作CH⊥AB,垂足为H;过点F作FM⊥BC于点M,垂足为M,如图5所示.

图5

根据第1)小题可知

∠DBE=∠ABC.

由解法1可知

∠BFD=∠BDF,

则

BF=BD.

由BE⊥CD知

∠FBE=∠DBE,EF=ED,

从而

∠FBE=∠ABC.

又FM⊥BC,FE⊥BE,得

FM=FE,

从而

FM=ED.

所以

故

评注解法8是解法1和解法3的融合,利用角平分线的性质构建相等线段,转换求解ED的长度.

解法9如图2,过点C作CH⊥AB,垂足为H.由解法1可知

又BE⊥CD,从而

EF=ED.

因为Rt△CFH∽Rt△BFE,所以

故

评注解法9通过推理发现与ED相等的线段EF,综合解法2中Rt△CFH∽Rt△BFE,得到EF的长度,从而求解ED的长度.在教学过程中,题目的解决仅仅是起点,数学思维方法的归纳和提炼才是落脚点[7].这里提出的“构建相等线段,推理解决问题”为日后遇到类似的数学问题提供了思考的方向.

3 教学启示

3.1 借助几何直观,构建直观模型

达成几何直观的过程是指从对图形的认识开始,理解图形的特征、性质,逐步建立起图形和其他问题的内在联系,习得数形结合的方法,最后主动应用图形来分析、探索其他问题.在几何教学过程中,教师要指导学生充分挖掘图形的有效信息,建立数与形之间的联系,构建数学问题的直观模型.例如,例1第2)小题的思路1就是构建直观的相似三角形,利用相似三角形的性质来求解问题.在确定好方法后,就需要去分析梳理图中线段之间的关系,在作出辅助线发现△ACF是等腰三角形后,图中隐藏的关系就全部显现出来.思路2虽然是以代数的方法建立等量关系进行求解,但在推理运算求解之初,仍然是从几何直观的角度发现了Rt△BED的3条边关系,才得以用一个未知数巧妙设出3条边的长度.在平时教学中,教师要鼓励学生从多个角度考虑问题,帮助学生感受几何直观的优势所在,在遇到新问题时形成自己的方法和策略.同时,教师应不断挖掘几何直观的素材,为学生发展几何直观素养创造机会.例如,在“尺规作图”教学中,可以让学生先感受图形的存在性,由直观建立表象[8],分析各元素之间的关系,教师可以与学生一起动手实践,构建直观模型.借助直观图形合理地提出与作图相关的问题,再研究作图的步骤,思考作图过程的合理性,反思作图过程的逻辑性,使几何直观与推理能力相辅相成.

3.2 发展推理能力,提升数学思维

《课标》指出,在义务教育阶段,数学思维主要表现为运算能力、推理意识和推理能力,而推理是数学思维活动中最能反映数学独特思维价值的部分.在“三会”结构中,数学思维事实上也侧重于推理.因此,在教学实践中,发展推理能力是一种提升数学思维较为直接的方式.例1体现了对推理能力的考查,而推理能力的培养应该重在平时,落实在日常的每一节课中.例如,在“乘法公式”的教学中,教学重点应关注公式的推理和形成过程,引导学生猜想、归纳、总结,继而形成严密的代数推理过程,而不是简单记忆公式结果.又如,在引导学生探究“三角形三边关系”时,可以通过小组合作的方式,借助有长度标识的小木棒进行实践操作,合情推理发现三角形任意两边之和大于第三边,在此基础上依据理论事实演绎推理结果的合理性.在日常教学过程中,还可以有梯度地进行追问,以此激发学生对问题的深度理解与思考,增强学生对数学知识的整体把握,让数学思维的培养得以落实.在推理过程中,教师应重视推理的层次性、连贯性、严谨性,在学生刚刚接触代数或几何推理的时候,要花大量的时间进行示范,让学生体会推理的意义与价值,发现推理在分析和解决问题过程中不可替代的作用,这对于提升学生数学思维、培育核心素养具有重要意义.