一般三棱镜最小偏向角的实验条件

俞轶帆，顾菊观，周天佑，曹炳松

一般三棱镜最小偏向角的实验条件

俞轶帆，顾菊观，周天佑，曹炳松

（湖州师范学院 理学院，浙江 湖州 313000）

基于数学分析中求极值方法和导数性质，研究推导得到了一般三棱镜最小偏向角的条件，清楚地说明了偏向角最小时对应的条件与入射角、折射率和棱镜顶角的关系．应用Matlab得到关系曲线，从曲线得到一次导数为0对应的入射角、最小偏向角和二次导数的大小，同时给出了最小入射角对应的偏向角，对应折射率的棱镜最大顶角．应用Visio精准绘出了给定条件下的光线轨迹，从轨迹图中得到偏向角与相关条件的关系．研究结果表明，偏向角最小时对应的入射角与棱镜顶角、折射率有关，为实验或研究中要得到文献定义的偏向角和最小偏向角选择棱镜顶角、折射率参数提供理论依据，解决了教学和学习过程对于最小偏向角条件的理论分析困惑．

一般三棱镜；偏向角；最小偏向角；最小入射角；最大顶角

1 一般三棱镜的偏向角

图1 一般三棱镜光路示意图

应用几何关系和折射定律[10]75得到偏向角与入射角、棱镜顶角、棱镜折射率和两侧折射率的关系式为

2 一般三棱镜的最小入射角和棱镜最大顶角

式（3）说明最小入射角与折射率、棱镜顶角有关．式（4）说明最大棱镜顶角只与折射率有关，与入射角无关．关于最小入射角与折射率、顶角的关系另文研究．

3 一般三棱镜最小偏向角的条件

3.1 偏向角一次导数

式（1）对入射角求导得偏向角的一次导数

式（6）（7）对入射角求导化简得

由式（8）～（10）得

式（11）代入式（5）得

图2 一次导数与入射角的关系曲线

3.2 偏向角二次导数（对应一次导数不为0）

由式（8）（10）（11）代入式（13），应用折射定律经计算和化简最后得

图3 二次导数与入射角的关系曲线

3.3 偏向角二次导数（对应一次导数为0）

式（15）中的第3个式子代入式（14），由折射定律式（6）化简得

3.4 最小偏向角

由折射定律、三角函数关系和式（15）得最小偏向角时对应的折射角[11]28

式（19）代入式（1）得最小偏向角[11]29

4 影响一般三棱镜最小偏向角条件的因素

由式（15）一次导数为0 的条件为

给定棱镜折射率和棱镜顶角，式（23）是超越方程，没有解析解，应用图解法很容易解出对应最小偏向角时的入射角．将式（23）改为

其中

4.1 棱镜和两侧折射率给定，棱镜顶角改变

图4 折射率给定，棱镜顶角时与入射角的关系曲线及光线轨迹

图5 棱镜顶角、折射率改变时，与入射角的关系曲线

图6 折射率给定，棱镜顶角时的光线轨迹

4.2 棱镜顶角给定，棱镜折射率和两侧折射率改变

图7 棱镜顶角给定（）棱镜和两侧折射率改变，与入射角的关系曲线

5 结语

从数学分析中的函数极值和导数性质出发，研究推导得到了偏向角对入射角的一次导数和二次导数函数，一次导数为0 时的二次导数函数，一般三棱镜偏向角最小时入射角满足的条件．理论上分析得到了一次导数为0 时入射角大于最小入射角时二次导数大于0，说明对应的入射角所对应的偏向角是最小偏向角且只有一个值．最小偏向角条件对应的是超越方程，应用Matlab通过图解法求解超越方程，得到最小偏向角时对应的入射角．应用Matlab得到一次导数、二次导数、一次导数为0的二次导数与入射角的关系曲线，从三个曲线关系得到一次导数在入射角大于最小入射角情况下只有一个入射角处的一次导数为0，且此处的二次导数的值大于0，此入射角对应的偏向角为最小偏向角，理论与曲线分析相一致．同时，在曲线关系图中给出了计算得到的最小入射角对应的偏向角，对应折射率的棱镜最大顶角等值．应用Visio和折射定律精准给出了给定条件下的光线轨迹，从轨迹图中得到入射角、折射率、棱镜顶角给定情况下的偏向角、出射光线的情况，其结果与理论分析相一致．研究结果表明，偏向角最小时对应的入射角与棱镜顶角、折射率有关，为选择实验中棱镜顶角、折射率参数提供理论依据，解决了教学和学习过程对于最小偏向角条件理解的困惑，拓展和加深了对三棱镜的认识和应用条件的理解．

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Experimental conditions of the minimum deflection angle of a general prism

YU Yifan，GU Juguan，ZHOU Tianyou，CAO Bingsong

（School of Science，Huzhou University，Huzhou 313000，China）

Based on the extreme value method and derivative property in mathematical analysis，the conditions for the minimum deflection angle of a general triangular prism are studied and derived，and the relationship between the conditions corresponding to the minimum deflection angle and the incidence angle，refractive index and the top angle of the prism is clearly explained．The relation curve is obtained by using Matlab．The size of the incident angle，the minimum angle of deflection and the second derivative corresponding to the first derivative of 0 are obtained from the curve．At the same time，the angle of deflection corresponding to the minimum incident angle and the maximum vertex angle of the prism corresponding to the refractive index are given．The ray trace under given conditions is accurately drawn by Visio，and the relationship between deflection angle and relevant conditions is obtained from the trace diagram．The research results show that the incident angle corresponding to the minimum deflection angle is related to the top angle and refractive index of the prism，which provides a theoretical basis for selecting the top angle and refractive index parameters of the prism to obtain the deflection angle and the minimum deflection angle defined in the literature in experiments or research，solves the theoretical analysis confusion of the minimum deflection angle condition in the teaching and learning process．

general prism；deflection angle；minimum deflection angle；minimum incidence angle；maximum vertex angle

O435.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2024.01.011

1007-9831（2024）01-0056-09

2023-08-14

国家自然科学基金项目（12047568）

俞轶帆（2001-），男，浙江湖州人，在读本科生．E-mail：1922179972@qq.com

顾菊观（1963-），男，浙江平湖人，教授，从事激光光学、大学光学研究．E-mail：gjg@zjhu.edu.cn