“互联网+”时代数学建模融入高职数学课堂研究

孔豪杰

浙江工商职业技术学院 浙江 宁波 315012

引言

随着信息技术的不断发展，高职教学也逐渐走向信息化。高职数学作为高职教育中一门十分重要的课程，其基础性和实用性是其他学科无法比拟的，将数学建模的精神融入高职数学课程教学中去[1]。就数学而言，培养学生的应用意识可以很大程度上提升学生的数学素养。数学建模不仅是一个数学过程，更是一个用数学的过程。

1 数学建模思想的理论内涵

1.1 核心素养背景下的数学建模

数学建模是数学核心素养的重要组成部分。核心素养背景下的数学建模，是以核心素养的培养为基础，尽量的结合实际问题，让学生在日常的练习过程中把握好建模过程，感悟数学和生活的联系，从而在这一过程中实现数学知识的利用、习得与提升。教师在课堂教学中应根据实际问题中从数学的角度寻找问题、问题提出、分析问题、合理假设、建立模型、模型求解、模型检验，最终解决问题。

1.2 “互联网+”背景下的数学建模

在传统的数学建模课程中，建立数学模型并没有固定的步骤模式，这主要依赖于实际问题的性质和建模的目的。然而，通常数学建模课程的教学可以概括为以下几个步骤：模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验与模型应用6个步骤[2]。

利用“互联网+”课程教学的运用并非简单的学科堆砌，而是引导学生从解决实际问题为切入点。学生通过互联网搜集相关资料，在网络教学平台进行展示；教师应采用技术手段和策略来帮助学生动手实践，并通过相应的问题解决策略来培养学生的核心素养。使学生在各学科的知识点之间逐步建立起自己的问题解决模型，由此构建出基于“互联网+”课程教学的设计体系。

2 “互联网+”背景下数学建模融入高职数学课堂新方案

定积分是微积分中的一个重要概念。在数学建模中，定积分的应用非常广泛，它可以用来解决面积、旋转体体积、曲线的长度等问题。因此，掌握定积分的基本概念和性质，对于数学建模来说是至关重要的。基于多年的高职数学和数学建模教学经验，结合“互联网+”背景下的网络平台和学习通的智慧教学工具[3]，教师提出了一种将数学建模思想融入数学课程教学的新方案，以期望达到更好的教学效果。例如：利用“互联网+”将数学建模融入数定积分的教学设计，以“定积分的概念”为例。

2.1 课前

教学设计：①利用学习通平台的课程资源，发布课前预习及思考问题；②根据学生完成情况，进行学情分析，并进行二次备课。

思考题1：回顾矩形、三角形、圆等规则图形面积公式，思考圆的面积公式是如何得到的？

思考题2：探究西湖湖面的面积？

设计意图：对于割圆术，借助于Mathematica，形象化地进行过程展示；通过数学软件，教师主要演示了直线和曲线之间的转化，以及有限向无限的思想转化。这些演示不仅启发了学生的辩证唯物主义哲学思想[4]，还能激发了他们的思考和创造力。

2.2 课中

教学设计：①通过评析思考题“圆的面积公式是如何得到的？”由割圆术引入曲与直的转化，激发学生学习兴趣；②利用计算机Geogebra进行探讨曲边四边形面积的切割，不难发现随着分割的越细误差越小，引导学生发现探讨曲边梯形面积的4个步骤：分割—近似—求和—取极限；③启发式引导学生探索由曲边梯形的面积得到一个特殊和式极限，其中，λ=max Δxi(i=1,2…n)，由此抽象给出定积分的概念；④根据定积分的概念，讲解例题，使学生掌握如何用定积分的定义求解曲边梯形的面积；⑤利用学习通平台发布测试题，检测学生对定积分概念的理解与掌握情况，并及时评析和指导；⑥指导学生分组讨论，在学中做，做中学；⑦课堂小结，完场学习通作业，并上传学习通。

设计意图如下。

数学实验1：利用手机版Geogebra进行曲线图像描绘。

方法1：利用定积分几何意义，计算定积分的值；

方法2：利用Matlab软件计算定积分的值。

在定积分的概念教学中借助Geogebra和Matlab，通过数学建模的方法，将数学与实际问题的解决紧密结合起来，不仅培养了学生的数学素养，同时也提高了学生运用数学的能力。

2.3 课后

教学设计：①利用学习通平台发布作业和课后探索题，并通过学习通答疑；②通过学习通平台，指导学有余力的同学，自学平台其他数学建模和高等数学网络课程。

设计意图：数学实验：借助Matlab软件，用图像近似模拟，计算y=x2在[0,1]上的面积。完成一份数学实验报告，并上传学习通。鼓励学生参加全国大学生数学建模竞赛等，培养学生德智体美劳全面发展。

3 “互联网+”背景下提高学生数学建模素养的实施路径

3.1 结合学生的实际水平、爱好，分层、分类教学[5]

学生对于任何知识的学习和掌握都有一个逐步发展和适应的过程，数学建模课程也不例外。利用“在线教学”平台和问卷星，设置了多个要素调查数据，对学生学情从知识基础、认知能力、学习特点、兴趣爱好等几个方面进行了诊断性分析。数学建模的教学需要根据学生的实际情况，可以将他们分为两类。一是对于数学知识基础好、认知能力强的同学，教师可以为其提供具体的初等数学模型。对于数学知识基础不好、认知能力较差的同学，教师可以为其提供较为基础的数学建模相关问题，例如：利用数学软件求解基本计算。二是对于喜欢自然科学类的学生，教师可以选择自然科学相关的数学建模类问题进行教学，例如观看雕塑的最佳位置等实际问题；对于喜欢软件操作类的学生，教师可以选择数据分析统计类问题进行教学，例如：小批量物料的生产安排的时间序列预测问题等。

3.2 结合教学内容，融入建模思想，实现学中用，用中学

数学建模应该与当前教学内容有机结合，在整个教学过程中，教师需要将数学建模和教学内容有意识地进行有效结合，而不是刻意地将数学建模和教学内容分为两个独立的系统。数学建模的本质就是数学知识的应用过程，教师在课堂教学中，要能够创建一个实际问题作为情境导入，引导学生发现实际所学的数学知识与数学建模的应用，例如：运用连续函数根的存在性定理解决实际问题。

定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)⋅f(b)＜0，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。

现实问题：当教师把椅子放在不平的地上，通常只有三只脚着地，这样椅子就会放不稳。但是，只要教师稍微挪动几次椅子，就可以让四只脚着地，这样椅子就可以稳定地放置了。下面用数学语言证明。

3.2.1 模型假设。对椅子和地面都要做一些必要的假设：

假设1：椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形；

假设2：地面高度是连续变化的，即地面可视为数学上的连续曲面（没有像台阶那样的情况）。

假设3：椅子在任何位置至少有3只脚同时着地。

3.2.2 模型建立。中心问题是数学语言表示4只脚同时着地的条件、结论。

首先，用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置。

其次，用数学符号表示椅脚着地，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数，如图1所示。

图1 4个脚椅位置坐标

由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为f(θ)，B、D两脚与地面距离之和为g(θ)，显然f(θ)、g(θ)≥0，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知f(θ)、g(θ)至少有一个为0。当θ=0时，不妨设g(θ)=0,f(θ)＞0，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：

命题：已知f(θ)、g(θ)是θ的连续函数，对任意θ，f(θ)*g(θ)=0，且g(0)=0,f(0)＞0，则存在θ，使f(θ0)=g(θ0)=0。

3.2.3 模型求解。将椅子旋转90°，对角线AC 和BD 互换，由g(0)=0,f(0)＞0可知。令h(θ)=g(θ)-f(θ)，则h(0)＞0,，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在使h(θ0)=0，g(θ0)=f(θ0)，由g(θ0)*f(θ0)=0，所以g(θ0)=f(θ0)=0。

3.2.4 模型检验与分析。模型巧妙在于用已知变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转90°并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形。

以上例子不但成功地将数学建模与数学实验的思想融入高等数学的教学中，还运用高等数学中的“变换观点”，培养学生联想能力。

4 结束语

随着社会的快速发展，计算机已成为是数学建模的重要工具。因此，在“互联网+”背景下教师可以结合日常教学任务，为学生创设使用数学软件的问题来让学生思考，结合数学建模和数学实验活动，为学生创设使用计算机发现问题创造机会，利用计算机动手实践，发现数的规律。高职数学教师应当积极探索利用“互联网+”将数学建模思想融入课堂教学的方法，充分利用数学软件，构建符合专业需求的教学模式，提升学生解决数学应用能力以及加快完善高职数学课程体系。