“概念图”在初三数学复习课教学中的运用探研

陈银娟

摘要：基于初三数学复习课的教学实际，教师可以概念图将数学知识脉络清晰地呈现在学生面前，启发学生思考，强化学生对抽象数学概念的理解、对知识之间联系的把握，进而使学生形成个性化的数学知识框架，提高复习的质量和效率。在具体实践中，教师可以概念图展示引导学生回顾知识，以概念图绘制引导学生梳理重点知识，以概念图优化引导学生完善知识体系，以概念图运用强化学生的数学训练，以概念图拓展促使学生迁移知识，以概念图回归加强师生的反思总结。

关键词：初中数学；概念图；复习教学；知识体系；训练；迁移

中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1008-3561（2024）02-0089-04

初三阶段的复习课可帮助学生有效梳理知识，进一步提高学习效果。数学是一门系统性、结构性较强的学科，主要知识点之间存在严密的逻辑关系。概念图是一种能够表征和组织知识点的可视化思维工具，一般由概念、连线、命题组成，其应用于初三数学复习教学中，可清晰呈现数学知识之间的逻辑关系，提升复习课效率[1]。本文结合教学实践，探究“概念图”在初三数学复习课教学中的运用策略，以此为初三数学复习课提供教学方法的借鉴。

概念图具有非常强的直观性和逻辑性。初三阶段的数学复习不是让学生简单地重复所学知识，而是使其思维实现由低级到高级的螺旋式上升，即在重复和概括的基础上梳理知识，在对知识对象化认识的基础上建构知识之间的关系网络，并把所学的各部分知识整合起来，形成一个统一的整体，建立知识结果体系，进而形成综合运用知识的能力[2]。基于此，教师可通过展示概念图，引导学生回顾知识，找到梳理知识的线索，认识其在考试以及实际生活中的运用，以此提升复习的系统性、概括性和综合性。

以“实数”复习为例，通过对近年中考真题的分析可知，“实数”常以选择题、计算题的形式出现，考点一般有实数的相关概念，如相反数、绝对值、数轴、倒数等，实数运算则多与二次根式、三角函数、负指数幂、绝对值等结合，以解答题形式考查，少数以填空的形式出题。在复习中，学生需要熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则等知识点。为达到这一目的，教师可为学生设计并展示概念图，引导学生回顾常见考点，并结合习题巩固知识。这样，借助概念图，学生能够系统梳理“实数概念”“实数分类”“实数大小”“实数运算”等内容，并根据分支中的概念将知识点细化，如回顾“数轴”概念后，在教师的指点下，注意到“数轴上的右边表示的数总比左边表示的数大”“数轴上的点与实数具有一一对应关系”；根据“相反数”的概念认识到a的相反数为-a，若a与b互为相反数，则有a+b=0，a-b的相反数为-（a-b）或b-a。

教学实践发现，课堂上展示的概念图可使学生对数学概念的认识由模糊变为清晰，由杂乱无章变为整齐有序，尤其是制作精美的概念图更能激发学生的学习兴趣[3]。为此，教师要提升自身的概念图制作能力，了解最新的绘图软件的使用方法，并加以合理运用。除能制作精美、科学、合理的概念图之外，教师还要在概念图的展示时机、展示形式及语言运用等方面做好功课，以此充分发挥概念图的作用。

归纳总结是非常关键的学习步骤，特别是在中考备战阶段，教师要引导学生按照一定的主题对分散在不同章节的知识进行归纳总结，找出其中的联系，促使学生对知识进行结构化思考，全面掌握各个知识点之间的关系，并从本质上认识所学的数学概念，实现复习效率的逐步提升[4]。在这一过程中，概念图的应用十分必要，教师可通过示范讲解等方式引导学生自主绘制概念图，使其对已学知识进行深入的思考，掌握科学有效的学习方法，不断提高自主学习能力。

例如，直角三角形是几何中的重要内容，其性质和判定较多且很重要，应用也相当广泛，这部分知识的学习有助于发展学生的逻辑思维能力和推理能力。但部分学生缺乏逻辑思维能力，对知识的掌握比较零散，没有形成体系。对此，教师可设计“直角三角形”专题复习课，并借助概念图引导学生自主梳理分散的知识点，积极构建知识体系，为下一步的知识运用奠定基础。在课堂实践中，教师可指导学生回顾“直角三角形”这一核心概念，然后让学生从这一核心概念出发，自主绘图概念图，复习归纳与直角三角形相关的性质和判定。这样，在概念图中核心概念的引导下，学生就可明确“性质”和“判定”的区别，并分别进行梳理。其中，在“性质”这一概念下延伸出如下内容：两锐角互余，即两锐角和为90°；30°角所对的直角边等于斜边的一半；斜边上的中线等于斜边的一半等。在“判定”这一概念下延伸出如下内容：有两个角互余的三角形是直角三角形；有一个角为90°的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长分别为a、b、c，且滿足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。在这个过程中，教师要随时巡视课堂，对学生绘制的概念图进行指导，并选择其中的典型概念图进行展示，向学生进一步说明概念图绘制中应注意的问题，促使学生共同回顾其中的重难点知识，逐步提高知识掌握效果。

实践表明，无论是教师引导下的概念图制作，还是学生自主完成的概念图，都是进行头脑风暴的过程，有利于学生精准找到各知识点之间的内在关联，实现认知能力的发展。在具体教学中，教师要告诉学生不能操之过急，秉持循序渐进的原则，科学运用各种类型的概念图（如鱼刺图、辐射图、直线图、流程图等）建立知识间的联系。通过一段时间的操作，学生就能逐渐掌握绘制概念图的技巧、要求和重点，并形成具有个性化的、符合自身学习需求的概念图。

基本概念、性质之间的内在联系，解题思路与方法，是初三数学复习的重中之重。在复习指导中，教师可以利用概念图帮助学生梳理归纳知识。但复习是一个动态发展的过程，在不同阶段的复习中，学生对知识的整理及理解都不同，为此，教师可通过不断优化概念图的方式引导学生梳理、丰富知识内容，循序渐进地构建完整的知识体系。

例如，初中阶段的概率与统计包括“抽样与数据分析”和“随机事件的概率”两大主题，在第一阶段的复习中，教师可根据“统计”“概率”这两个核心概念，引导学生构建概念图，帮助他们更好地理解这部分内容。概率、统计中的一些概念与定义具有一定的抽象性，需要学生在理解的基础上完成解题过程。例如，“概率”中常被混淆的概念是“频率”与“概率”，它们之间有区别也有联系，两者都是计算某一事件发生的可能性大小，但概率体现的是实验次数累积到一定数量后出现的稳定性。教师可利用概念图引导学生进行区别，并通过进一步优化概念图内容，使学生透彻理解概念，并能在做题中准确运用。再如，在“统计”中，教师可引导学生关注统计量的计算，并通过“集中程度”和“离散程度”两个分支，充分理解三数（平均数、中位数、众数）、三差（极差、方差、标准差）的计算方法及其意义，进而按照一定的逻辑来完善概念图，构建知识网络。

概念图绘制完成后，不能放置一边，要进一步优化，以便观看、复习。同时，教师要让学生知晓概念图是巩固、吸收知识的重要载体，而不断优化概念图可使自己的知识体系更加完善。在具体践行中，教师可根据教学内容先给出几个主题词，让学生利用这些主题词自主完成基础性的概念图，之后进行展示，师生共同找出其中存在的问题，再加以完善与优化，最终形成合乎逻辑的概念图[5]。

在初三数学复习中，由于知识重构，学生面对题目时思考的范围要更宽、更广，平时基础不扎实的学生很容易在这个阶段出现问题。而有的学生为巩固知识常常进行大量的机械练习，并希望通过解题内化概念。其实，这样的机械训练会限制学生的思维向高阶发展。对此，教师可以利用概念图引导学生先进行知识梳理，再根据图中呈现的关键信息开展针对性练习，让学生深入理解数学概念，并感知、理解不同概念之间的关系，逐步提高习题训练效果[6]。

例如，在“平行四边形”的复习中，教师可先利用问题进行教学导入：回顾所学，我们接触过哪些特殊的四边形？是按照什么顺序学习这些四边形的？你能利用概念图表示一下这些四边形之间的关系吗？学生通过课堂回答，回顾了平行四边形、矩形、菱形和正方形等四边形，并利用概念图明确了各图形之间的关系。教师追问：你能说一下平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定吗？请根据所表达的内容整理出概念图。基于以上问题，学生要用几何语言表述平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，并整理成概念图，让知识系统化、条理化呈现，这不仅有利于培养学生的归纳总结能力，提高学生的数学思维品质，还能使学生形成良好的数学习惯，从而体现复习课的真正价值。在此基础上，教师可采用以练习带概念的方法，围绕概念图中的关键信息选择有代表性的课堂练习，使学生在回顾旧知中结合概念图更具体、直观地感受所学的抽象概念，并从习题中提炼出基础知识，再应用到解决具体问题中，避免死记理论、理论与实际脱节等情况发生。同时，教师还要引导学生建立知识间的联系，让学生将学过的零散知识通过梳理实现系统化，并认识到复习课不是对旧知识的简单重复，而是对知识的再认识、深化。例如，在平行四边形ABCD中，点O是对角线的交点，且AB//CD，添加下列哪个条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形：（）A.AD=BC、B.AD//BC、C.OA=OC、D.AB=CD。教师也可对重点例题进行大胆开发、变化。如四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BP// AC，过点A作AP//BD，BP与AP相交于点P，试判断四边形APBO的形状，并说明理由。在此基础上可进行如下变式：（1）若连接OP得到四边形ADOP，四边形ADOP是什么四边形？（2）若将平行四边形ABCD改为矩形ABCD，其余条件不变，得到的四边形APBO是什么四边形？这样，通过变式习题复习不同四边形的相关概念，既可调动学生的思维，打通知识点之间的联系，让学生跳出“题海”，真正达到“知一题、懂一类、通一片”的效果，还可引导学生进行针对性的探讨，围绕概念图中不同四边形的关系与教师、同学进行双向交流，进一步巩固所学知识。

初三数学复习课的关键是引导学生加强对知识的整理，依据知识间的相互联系和转化关系，让分散的知识结构化[7]。教师作为教学主导者，一方面要引导学生自主总结知识结构与解题方法，然后针对学生的薄弱环节，紧扣知识的混淆点和易错点来层层剖析，让学生进行巩固练习，另一方面还要适当拓展延伸，拓宽学生思路，让学生真正内化吸收概念图中的信息，进一步提高复习效果[8]。

例如，在“二次函数的图像及性质”相关内容的复习中，教师可利用多媒体课件呈现学生所接触的二次函数：y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）、y=ax2+ k、y=ax2、y=a（x原h）2+k、y=a（x原h）2，要求学生说出自己最喜欢的二次函数，然后利用幾何画板呈现“上下平移”“左右平移”“乘法运算”“配方”等连接词，让学生建立几个二次函数之间的关系，形成完整的概念图。在这一环节，教师可根据学生的回答呈现函数类型，让学生按照从简单到复杂、从特殊到一般的顺序，结合几何画板展示的图像讨论二次函数的图像和性质，把问题转化为已解决的问题，以此发展学生的几何直观素养。接下来，为引导学生进一步理解二次函数的图像和性质，教师可设计题目：若你是出题人，会根据二次函数y=x2-2x-3提出哪些问题？独立思考后，先把你能提出的问题写在草稿纸上，然后组内讨论，互相补充，把问题归类，并派代表汇报。这一开放性问题能够充分调动不同层次学生的主观能动性，使学生根据自己的知识掌握程度，从出题人角度提出不同深度的问题，而学生进行组内讨论，以出题的方式进一步梳理二次函数的性质，可对之前的概念图进行深化。为拓展学生思路，教师可以联系实际设计习题，如将一座拱高和底宽都为192米的拱门看作一条抛物线，你能通过建立恰当的平面直角坐标系，写出与该抛物线相应的函数表达式吗？在问题引导下，学生查找资料、解答问题，将概念图中的抽象信息与现实生活建立联系，不仅能深化对知识的理解和运用，提高复习效果，还能基于概念图拓展认知，完成知识的有效迁移。

反思总结是概念图运用中的关键环节，这可让学生充分认识到概念图在提高复习效果中的作用，并由浅入深地用概念图自主展开训练，从而直击数学的核心概念，提高解题训练效果和复习水平[9]。在具体运用中，教师要依据教学内容的特点和学生的知识掌握程度，组织学生展示、评价概念图，进行总结反思，查缺补漏，促使学生掌握更科学有效的学习方法，进一步完善知识体系，提升思维品质，同时及时总结、反思自身在教学中存在的问题，以提高数学复习课效果。

例如，在“方程与方程组”的复习中，教师可利用概念图引导学生梳理“方程与方程组”的有关概念，使其对“方程的解”“解方程”“方程的增根”进行深入理解。之后，师生一同进行反思，从总体上把握本节课的主要内容，让学生实现对方程和方程组核心概念的回顾整理、查缺补漏，并在不同难易程度的习题中应用知识进行训练。在根据实际问题列分式方程的过程中，有的学生经常找不到等量关系，或对分式方程可能产生增根的原因不理解。对此，教师可引导学生回顾概念图，通过其中的关键词重新理解知识，并结合教材知识进行补充完善，真正做到查缺补漏，或以习题练习的方式，辅助学生巩固重点知识，切实完成复习目标。可以说，加大反思总结环节的重视程度不仅可提高概念图的运用效率，还有利于学生对知识的深度理解与掌握。

综上所述，数学课改的目的是促使学生更科学、更高效地学习知识。概念图具有高度的概括性，其依靠节点表示概念，依靠连线表示概念之间的关系，强调整体表述的条理性与清晰性，有助于学生高效掌握数学概念及知识之间的联系。其应用于初三数学复习指导中，可有效引导学生剖析知识的内涵，层层深入思考知识之间的内在联系，并进行概括总结，从而使学生的思维一直处于螺旋上升状态，最终建立条理清晰、有思想并成体系的知识框架，实现复习效果的逐步提高。随着新课改的进一步推进、落实，教育工作者应加强对概念图应用方法和策略的深层次研究，积极改进初三数学课的复习方式，提升初三数学课的复习效率，打造精品复习课堂，促进学生数学核心素养的发展。

参考文献：

[1]范朝红.概念图在初中数学复习教学中的有效应用———以“平面图形的认识”为例[J].数理天地，2022，（24）：27-29.

[2]袁健.“概念图在初中数学课堂教学中应用的策略研究”结题报告[J].中学数学教学参考，2021，（26）：69-72.

[3]魏均华.概念图在初中数学教学中的有效应用[J].数学大世界， 2021，（09）：53-54.

[4]黄宏梅.运用概念图优化初中数学课堂教学的路径探索[J].数学学习与研究，2021，（21）：28-29.

[5]王爱凤.初中数学教学中概念图的应用管窥[J].数学大世界，2021，（04）：10-11.

[6]袁健.指向數学学科核心素养的概念图教学设计模式探究[J].中学数学，2021，（02）：13-15.

[7]曹连防，刘伟.概念图：提高初中数学复习效果的有效路径[J].中学数学，2020，（04）：43-44.

[8]刘进全，刘恒.巧用数学概念图复习效果最大化[J].数学之友， 2019，（03）：83-85.

[9]王素玲.概念图在初中数学探究式复习教学中的应用[J].中学生数理化，2017，（05）：80.

Exploration of the Application of "Concept Map" in the Teaching of Mathematics Review Course in Junior Middle School

Chen Yinjuan

（Yuqian No.1 Junior Middle School， Lin’an District， Hangzhou City， Zhejiang Province， Hangzhou 310000， China）

Abstract： Based on the teaching practice of the third year mathematics review class， teachers can present the mathematical knowledge context clearly in front of students through concept maps， inspire students to think， strengthen their understanding of abstract mathematical concepts， grasp the connections between knowledge， and form personalized mathematical knowledge frameworks， thereby improving the quality and efficiency of review. In specific practice， teachers can display and guide students to review knowledge through concept maps， guide students to sort out key knowledge through concept map drawing， optimize and guide students to improve their knowledge system through concept map optimization， strengthen students’ mathematical training through concept map application， promote students’ knowledge transfer through concept map expansion， and strengthen teachers’ and students’ reflection and summary through concept map regression.

Key words： junior middleschoolmathematics； conceptmap； review teaching；knowledgesystem；training；transfer