附加质量法和FSI 法用于弧形闸门动力特性分析的适用性

胡友一，王珏，陆中伟，郑赟

（河海大学机电工程学院，江苏 常州 213022）

0 引言

弧形闸门因其具有启门力小、过水条件好、不设门槽等特点，是水工建筑物中运用最广泛的门型之一[1]。与平面闸门相比，弧形闸门具有特殊的结构形式，其支臂结构以及门叶上下部悬臂端在动水荷载作用下更易发生振动破坏。为确保闸门安全，有必要对弧形闸门进行动力分析，在设计计算中通过计算闸门的自振频率，并与作用水流的脉动频率相比较，使闸门自振频率尽量远离水流的脉动频率[2]。由于弧形闸门和流体之间存在相互作用，因此很有必要对考虑流固耦合效应的弧形闸门动力特性计算方法的适用性进行研究。

闸门的流固耦合动力分析可采用原型观测[3-4]、模型试验[5-6]、数值模拟[7-9]等方法，其中数值模拟方法相比于原型观测和模型试验更加便捷、高效，近年来在闸门动力学分析中得到广泛应用。曹青等[2]采用Nastran 软件建立了考虑弧门流固耦合效应的附加质量数值模型，分析表明流体对弧形闸门的动力特性有显著的影响；上述研究中附加质量法是一种考虑流固耦合效应的简化动力分析计算方法，计算效率相对较高，广泛应用于闸门和流体相互作用的有限元模拟中，其中模型中的附加质量通常采用Westergaard 公式[10]来计算。而通过建立流体模型的流固耦合界面法（Fluid-Solid Interction，以下简称“FSI”）能够准确地描述流体的运动，能更真实地反映流体和结构的动力相互作用。但是由于流体的无界性，建立足够长的流体模型是保证有限元分析精度的一个关键问题。Buldgen 等[11-12]通过比较附加质量法和FSI 法计算得到的平面闸门在地震作用下的动水压力以及动力响应，发现对于不完全刚性的结构，附加质量法的计算结果往往是不精确的，有必要采用FSI法计算以保证分析精度。与平面闸门不同，弧形闸门结构更加复杂。因此，有必要在保证弧形闸门问题中FSI 法流体模型长度合理取值的基础上，来验证附加质量法计算得到流体和闸门系统动力特性的计算精度，从而保证考虑流固耦合效应的闸门动力特性分析的准确性。在此基础上，进一步采用拟静力法[13]、振型分解反应谱法[14]、动力时程法[15-16]等对考虑流固耦合效应的闸门开展时域响应分析，研究流固耦合效应对闸门动力响应的影响规律。

本文以某工程弧形闸门为例，利用大型有限元分析软件ANSYS 建立数值模型。首先为避免建立流体所需要的大量单元而降低计算效率，讨论了FSI 法中流体有限元模型长度的合理取值，进而从弧形闸门刚度和水头高度讨论了附加质量法的计算精度，在此基础上研究了流固耦合效应对弧形闸门动力特性的影响。

1 分析方法

1.1 附加质量法

附加质量法是由Westergaard[10]提出来的，其假设流体是无限长且不可压缩的，基本思想是将动水压力等效成质量附加在结构上，从而简化流体对结构的作用，据此弧形闸门在动水压力作用下的控制方程可写为：

式中：M0、C0、K0分别为弧形闸门的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵；Mf、Cf、Kf分别为流体的附加质量矩阵、附加阻尼矩阵、附加刚度矩阵；分别为弧形闸门加速度矩阵、速度矩阵和位移矩阵；F（t）为水流脉动压力作用在结构上引起的荷载矩阵。

对于附加质量矩阵Mf，可以通过在ANSYS中对弧形闸门与流体交界面上的节点施加质量单元，每个单元的数值根据Westergaard 公式赋予：

式中：Mi为对应节点的附加质量；ρf为流体密度；Ai为流体作用下对应节点关联单元的有效面积；H为总水头高度；hi为对应节点与水面之间的距离。

对于结构阻尼矩阵C0，本文采用瑞利阻尼，公式如下：

式中：ξ 为结构阻尼比，本文取0.05；fi、fj为结构第i、j阶自振频率，本文取i=1，j=2。

在进行弧形闸门考虑流固耦合的结构动力分析时，附加阻尼Cf和附加刚度Kf对闸门动力特性的影响微乎其微，因此，这里忽略水体附加阻尼Cf与附加刚度Kf的影响，将水体附加质量对闸门动力特性的影响作为考虑的重点，因此运动方程式（1）可简化为：

1.2 流固耦合界面（FSI）法

FSI 法是指对结构和流体分别建立运动方程，采用数值方法对其耦合求解，并将计算结果通过流固交界面进行信息交互传递的一种计算方法。

FSI 法需要在确定流域范围的基础上对流体进行建模，由于流体的无界性，需要建立足够长的流体模型才能保证有限元分析结果的精度，从而反映实际流体的作用。在ANSYS 中采用流体单元建立流体模型，并施加边界条件。而定义流固耦合界面是弧形闸门进行流固耦合模拟仿真时的关键问题，通过对弧形闸门与流体接触的流体单元的FSI 命令来实现。最后采用非对称矩阵法（UNSYMMETRIC）进行模态分析求解[17]。本文为避免建立流域需要划分大量单元而增加计算难度，计算了不同流体模型长度以及水头高度时弧形闸门的自振频率，当结果收敛时即可确定流域的最小取值范围，从而简化流体模型。

2 分析对象及其模型

2.1 结构布置及基本参数

本文以某工程弧形闸门为例，闸门尺寸为6.9 m×9.21 m（宽×高），半径为13.5 m，设计水头6 m，底槛和支铰高程分别为138.42 m 和128.72 m。该闸门为主横梁式露顶弧形闸门，闸门采用板梁结构等高布置，水平向设置2 根实腹板主横梁以及14 根水平次梁（包含顶、底梁），垂直向设置5 道实腹式隔板及2 道边梁，据此组成梁格与面板直接焊接。闸门直支臂与主横梁采用螺栓连接构成主框架，上下支臂中间设置一系列斜撑。闸门结构和流体的材料属性如表1 所示。

表1 材料属性Table 1 Material properties

2.2 有限元模型

1） 弧形闸门模型

将弧形闸门面板、主横梁、纵隔板、边梁、支臂划分为Shell181 板单元，水平次梁、顶梁、底梁、支臂斜撑划分为Beam189 梁单元，活动铰划分为Solid186 实体单元，弧形钢闸门有限元计算模型如图1 所示。其中节点和单元总数分别为14 575、11 922 个，图中x轴（正）为顺水流方向，y轴（正）竖直向上，z轴（正）为横河向指向左岸。

图1 弧形闸门有限元模型Fig.1 Finite element model of radial gate

在弧形闸门活动铰的内表面约束x、y、z方向的移动自由度以及x、y方向的旋转自由度，仅放松可以绕支铰转动的z向旋转自由度；约束面板底边y方向移动自由度。

2） 流体模型

流体分别采用FSI 法和附加质量法建立，水头高度为6 m，如图2 所示。FSI 法流体模型采用Fluid30 流体单元建立，模型长度根据弧形闸门水头高度按一定比例选取。该流体模型的节点和单元总数分别为23 977、51 777 个，在模型底面约束y方向移动自由度，两个侧面约束z方向移动自由度。附加质量模型采用MASS21 单元建立，施加在面板与流体接触面上的所有节点上，单元实常数根据公式（2）的计算结果来定义。

图2 流体有限元模型Fig.2 Finite element model of fluid

3 计算结果分析

3.1 FSI 法流体收敛性分析

采用附加质量法和FSI 法计算得到弧形闸门在不同水头下的自振频率，计算结果如表2 所示。其中h为水头高度，L为流体模型长度。从表2 可以看出，FSI 法中流体模型的长度由h增加到1.5h时，弧形闸门所得同阶自振频率相差较大，尤其是在9 m 水头下第二阶的自振频率相差最大且超过了40%；而当流体长度达到2h时，前六阶频率的计算结果收敛。因此，为避免建立流体所需要划分大量单元而增加计算难度，本文建议FSI 法模型流体长度取L=2h来代替实际流体的无界性。

表2 基于附加质量法和FSI 法的不同水头下弧形闸门自振频率Table 2 Natural vibration frequencies of radial gates under different water heads based on the added-mass and FSI methods Hz

3.2 附加质量法适用性分析

图3 将采用FSI 法（L=2h）计算所得弧形闸门在不同水头下的自振频率与采用附加质量法的计算结果进行了对比，结果表明：附加质量法在计算3 m 和6 m 水头下的弧形闸门前六阶自振频率时，能得到较高的精度。但随着水头增大到9 m，采用附加质量法计算得到的闸门高阶频率与FSI法具有一定偏差，其中最大的偏差近20%，平均偏差近10%。因此对于低水头的弧形闸门，为了提高计算效率，可以采用附加质量法模拟流体；但是对于高水头的弧形闸门，为了保证计算精度建议采用FSI 法。

图3 附加质量法与FSI 法计算所得频率偏差Fig.3 Frequency deviation calculated by the added-mass and FSI methods

为了研究弧形闸门刚度对附加质量法精度的影响，本算例基于FSI 法（L=2h）和附加质量法计算对比了弧形铸铁闸门（弹性模量1.22×105MPa）和钢闸门（弹性模量2.10×105MPa）在6 m 水头下的自振频率，如表3 所示。结果表明，随着弧形闸门刚度减小，附加质量法相比于FSI 法各阶自振频率偏差明显增大。因此，对于刚度较小、柔度较大的弧形闸门，附加质量法的计算精度较低，建议采用FSI 法模拟流体。

表3 不同刚度弧形闸门基于FSI 和附加质量法在6 m 水头下的自振频率Table 3 Natural vibration frequencies of radial gate with different stiffness under 6 m water head based on the added-mass and FSI methods

3.3 弧形闸门动力特性参数分析

主要从弧形闸门在不同情况下的自振频率和振型来分析流固耦合效应的作用效果。表2 反映了考虑流固耦合效应下水头高度对弧形闸门自振频率的影响。通过对比自振频率的结果，可以看出：随着水头的增加，弧形闸门的各阶自振频率均有不同程度的下降。其中，闸门前两阶的频率变化相对较小，原因是由于闸门本身跨度较小、刚度较大，附加质量对自振频率影响相对较小。该闸门从无水到9 m 水头后四阶的自振频率降幅分别为14.3%、40.0%、42.9%、38.0%。由此可见，流体与结构的流固耦合作用对于弧形闸门自振的影响不可忽略。从闸门振型的角度出发，讨论了弧形闸门在无水和9 m 水头工况下的前五阶振型，表4 阐述了相应的振型特点，图4—图8为相应的振型图。结果表明：

图4 第一阶振型图Fig.4 The 1st mode of vibration diagram

图5 第二阶振型图Fig.5 The 2nd mode of vibration diagram

图6 第三阶振型图Fig.6 The 3rd mode of vibration diagram

图7 第四阶振型图Fig.7 The 4th mode of vibration diagram

图8 第五阶振型图Fig.8 The 5th mode of vibration diagram

表4 弧形闸门振型特点Table 4 Mode of vibration characteristics of radial gate

1） 在第1 阶模态下，2 种工况下弧形闸门均表现为整体（包括支臂和门叶）的侧向运动，流体对结构的局部变形影响较小；在高阶模态下，弧形闸门基本以支臂和面板的振动为主，这是由于面板和支臂的刚度相对较低，在动水压力作用下可能引起强烈振动；

2） 无水情况下闸门的低阶模态均呈现出支臂的变形，其中前三阶表现为整体运动，四到五阶表现为支臂的局部变形；随着水头增至9 m，闸门主要的变形由支臂转移到面板，究其原因在于面板上的附加质量对支臂的偏心矩减小，其中上面板（上主梁上方）相当于悬臂梁，极易引起其发生径向振动。

4 结语

本文讨论了附加质量法和FSI 法在考虑弧形闸门流固耦合动力特性分析中的计算精度问题，并从弧形闸门水头高度和刚度的角度提出了附加质量法的适用性建议。

1） 为避免建立流域所需要划分大量单元而增加计算难度，本文建议FSI 模型流体长度取到2倍的水位高度来模拟实际流体的无界性。对于低水头且刚度较大的弧形闸门，为了提高计算效率，可以采用附加质量法考虑流固耦合效应，但对于高水头或者低刚度的弧形闸门，为了保证计算精度建议采用FSI 法。

2） 弧形闸门的自振频率随着水头的增高而降低，其振型以面板和支臂的振动为主，闸门主要的变形由支臂转移到面板，这是因为面板上的附加质量对支臂的偏心矩减小，其中上面板（上主梁上方）极易发生径向振动。