高一上学年期末专题复习与总结

2024-01-27卢智军张文伟

中学生数理化·高一版 2024年1期

■卢智军张文伟

数学必修第一册是进入高中阶段学习的基础知识,也是高一学习的重要知识,这部分的主要内容有集合与常用逻辑用语,一元二次函数,方程和不等式,函数的概念与性质,指数函数与对数函数,以及三角函数。下面就这部分知识进行复习与总结,希望对同学们的学习有所帮助。

1.集合中元素的互异性

解决集合相等问题时,易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验。有些集合问题很难从整体着手解决,可以分类讨论进行求解。

例1 已知集合A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,则a=( )。

A.-1 B.-3或-1

C.3 D.-3

解:因为A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,所以a2+4a=-3或a-2=-3。

①当a2+4a=-3 时,即a2+4a+3=0,解得a=-1 或a=-3。若a=-1,则A={12,-3,-3},不满足互异性,舍去。若a=-3,则A={12,-3,-5},满足题意。

②当a-2=-3 时,解得a=-1,不符合题意。

综上可得a=-3。应选D。

跟踪训练1:已知集合A={x,x+1,1},B={x,x2+x,x2},且A=B,则( )。

A.x=1或x=-1

B.x=1

C.x=0或x=1或x=-1

D.x=-1

提示:当x=1 时,集合A={1,2,1},B={1,2,1},不满足集合元素的互异性,排除ABC。当x=-1时,A={-1,0,1},B={-1,0,1},这时A=B。应选D。

2.“补集思想”的应用

求补集时,要注意全集是否为实数集。利用数轴求解此类问题,要注意端点值能否取到,可以采用代入验证的方法确定端点值。

例2 已知全集U=R,集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x

A.{a|a>3} B.{a|a≥3}

C.{a|a≥7} D.{a|a>7}

解:因为A={x|x<3 或x≥7},所以∁UA={x|3≤x<7}。又(∁UA)∩B≠∅,所以a>3。应选A。

跟踪训练2:已知集合A={x|x>a+3或x

提示:A={x|x>a+3 或x

图1

3.利用集合之间的关系求参数

由包含关系确定集合中所含参数的值(取值范围)是集合间关系的重要应用,一般可借助数轴解决此类问题,且要注意空集的情况。

例3 已知集合A={x|-5≤x≤6},B={x|2m-1≤x≤m+1}。若A∪B=A,求实数m的取值范围。

解:因为A∪B=A,所以B⊆A。①当B=∅时,2m-1>m+1,即m>2,此时B⊆A成立;②当B≠∅时,由题意可得解得-2≤m≤2。综上可得,实数m的取值范围是{m|m≥-2}。

跟踪训练3:已知集合A={x|1

综上可得,a=0或a≥2或a≤-2。

4.利用充分条件与必要条件求参数的值或取值范围

解答这类问题的常用方法与步骤:化简p,q两命题;根据p与q的关系(充分、必要条件),转化为集合间的关系;根据集合间的关系,建立不等式组;求出参数的取值范围。

例4 是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件? 如果存在,求出p的取值范围。

跟踪训练4:已知集合A={x|-20},若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,求实数m的取值范围。

提示:因为x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,所以(-2,6)是[2-m,2+m]的真子集,所以解得m≥4,即所求实数m的取值范围是[4,+∞)。

5.全称量词命题与存在量词命题

一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;含有一个量词命题的否定,是在否定其结论的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,将存在量词改为全称量词。与一般命题的否定相同,含有一个量词命题的否定的关键也是对关键词的否定。

例5 (1)下列语句不是全称量词命题的是( )。

A.任何一个实数乘以零都等于零

B.自然数都是正整数

C.高一(1)班绝大多数同学是团员

D.每一个实数都有大小

(2)命题p:“∀x∈R,x2>0”,则( )。

A.p是假命题;¬p:∃x∈R,x2<0

B.p是假命题;¬p:∃x∈R,x2≤0

C.p是真命题;¬p:∀x∈R,x2<0

D.p是真命题;¬p:∀x∈R,x2≤0

解:(1)A 中命题可改写为:任意一个实数乘以零都等于零,A 是全称量词命题。B中命题可改写为:任意的自然数都是正整数,B是全称量词命题。C 中命题可改写为:高一(1)班存在部分同学是团员,C 不是全称量词命题。D 中命题可改写为:任意的一个实数都有大小,D 是全称量词命题。应选C。

(2)由于02>0 不成立,故“∀x∈R,x2>0”为假命题。根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知,“∀x∈R,x2>0”的否定是“∃x∈R,x2≤0”。应选B。

跟踪训练5:命题“能被7整除的数是奇数”的否定是____。

提示:原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”,是全称量词命题。该命题的否定是:“存在一个能被7整除的数不是奇数”。

6.不等式的性质及其应用

不等式的性质是进行不等关系推理运算的理论基础,要熟练掌握不等式的性质及应用条件,以防推理出错。

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

跟踪训练6:(多选题)下列命题正确的是( )。

7.一元二次不等式的解法

一元二次不等式常与集合、方程等交汇命题,主要考查运算能力、逻辑推理能力,以及数学建模能力。对于不含参数的一元二次不等式,可转化为ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的形式,结合二次函数的图像求解。对于含参数的一元二次不等式,应先看二次项系数的正负,再考虑判别式,最后根据两根的大小进行分类讨论。

跟踪训练7:已知a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a<0。

提示:当a=0时,原不等式为-2x<0,其解集为{x|x>0}。

当a<0 时,Δ=4-4a2,①当Δ>0,即

8.利用基本不等式求最值

基本不等式是不等式部分的重要内容,其主要应用是求最值或取值范围。求最值问题,既适用于一个变量的情况,也适用于两个变量的情况。

例8 设x<-1,求的最大值。

9.函数值域的求法

函数的值域由函数的定义域和对应关系确定,一旦函数的定义域和对应关系确定了,值域也就确定了。求函数的值域没有统一的方法,如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合,那么可将函数值一一求出来,构成的集合即为值域;如果函数的定义域是一个无限数集,那么可根据函数解析式的特点,采取相应的方法求其值域。

例9 求下列函数的值域。

10.函数性质的应用

函数的性质包括函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性,从高考命题形式上看,抽象函数、具体函数都有涉及,其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考考查的重点。利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图像是学习的难点。

(1)确定函数f(x)的解析式。

(2)用定义证明:f(x)在(-1,1)上是增函数。

(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0。

跟踪训练10:设函数f(x)对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2。

(1)求证:f(x)是奇函数。

(2)在区间[-3,3]上,f(x)是否有最值? 如果有,求出最值;如果没有,说明理由。

提示:(1)令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0。

令y= -x,则0=f(0)=f(x)+f(-x),所以f(x)为奇函数。

(2)任取-3≤x10。由题意得f(x2-x1)<0,且f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在[-3,3]上为减函数。所以函数f(x)在[-3,3]上有最值,其最大值为f(-3)= -f(3)=-3f(1)=6,最小值为f(3)=-f(-3)=-6。