巧用“1”解题

■黄 炜

“1”是最小的正整数,巧用“1”的代换,可以解决有些数学问题,且能使运算由繁变简。

一、巧用“1”求值

例1 (lg5)2+2lg2-(lg2)2=____。

原式=(lg5)2+(2-lg2)·lg2=(lg5)2+(1+lg5)lg2=(lg5)2+lg2·lg5+lg2=(lg5+lg2)·lg5+lg2=lg5+lg2=1。

评注:熟记lg2+lg5=1是解答本题的关键。

二、巧用“1”求最值

三、巧用“1”求三角函数的值

由题意可知,cosα≠0,所以2cos2α-3sinαcosα=

四、巧用“1”比较大小

例4 设a=log20.30.4,c=0.40.3,则a,b,c的大小关系为( )。

A.a

C.b

因为log20.31。因为0<0.40.3<0.40=1,所以0

评注:若对数的底数与真数都不同,则常借助“1”“0”等中间量进行比较大小。

五、巧用“1”证明等式

评注:证明时,可从左向右证,也可从右向左证,无论哪种方法都需要利用“1”的代换。