黏弹性理论中广义Maxwell 模型的教学法及其在非晶态固体中的应用1)

乔吉超 邢光辉 郝 奇

(西北工业大学力学与土木建筑学院，西安 710072)

课程教学对于培养高素质人才至关重要，教师在教学环节应该注重培养学生的思维能力、实践能力和创新能力等综合素质，帮助学生全面发展[1-2]。黏弹性力学课程是连续介质力学的一个重要组成部分，介于力学和材料科学之间，其以兼具弹性固体和黏性流体特征的物质为研究对象，如高分子聚合物、沥青、混凝土、生物体以及应用于高温环境的金属等[3]。黏弹性材料的时间依赖性行为对于其应用具有重要影响，尤其是高温蠕变以及应力松弛，在航空宇航工程、预应力建筑以及极端环境下的服役中受到广泛关注。因此，开展黏弹性力学的教学研究对于理解黏弹性材料服役具有重要意义[4]。

通常，黏弹性物质在有限时间范围内存在宽广的弛豫谱，如何理解弛豫谱物理起源与性质成为黏弹性理论教学的难点。弛豫是物质从非平衡态系统向平衡态转变的过程，当黏弹性物体受到外加激励时，如对材料施加恒定应变，系统将自发调整其内部应力状态，这一变形过程为材料应力松弛过程[5]。针对应力松弛过程，一般采用弛豫时间来描述其变形过程的快慢。应力松弛变形过程中，弛豫特征参数弛豫时间被定义为应力衰减过程完成1/e所需时间。对于热激活的弛豫过程，弛豫时间则作为原子团簇跨越能量势垒速度的度量，由于物质中原子团簇空间上的不均匀分布以及热输运的作用，弛豫时间在空间以及时间上存在一个分布，这便是对于弛豫谱的一种普遍理解[6]。

在黏弹性力学中，通常采用线性以及非线性模型来描述材料的力学行为。Maxwell 模型为一个重要线性黏弹性模型，有助于学生理解物质黏弹性以及弛豫谱物理起源，其由一个弹簧和一个阻尼黏壶串联而成。该模型可描述材料的瞬态响应，即短时间内的应变响应，以及持续性的应力响应，其为最简单的应力松弛力学模型。故笔者认为Maxwell 模型在黏弹性理论课程教学中应该占据较大篇幅，以方便学生加深对黏弹性力学性能的理解，具体授课思路如图1 所示。

图1 授课思路示意图

首先讲解Maxwell 模型的应力松弛响应，并给出可能的微观机制。此外，基于非晶固体应力松弛响应曲线来讨论广义Maxwell 的两种形式，即有限个特征时间的有限谱模型和考虑特征时间分布的连续谱模型。最后讨论连续谱模型所反映的非晶固体特征时间分布形式。

1 讲授方法

1.1 Maxwell 模型

1.1.1 宏观分析[7]

材料微观结构决定其宏观力学性能，进而决定了其对外加力场的响应。应力与应变之间的基本关联有两种。

在实际工况中，所使用的工程材料通常为弹性和黏性流动的结合，这种行为称为黏弹性。常见黏弹性模型由离散的弹性元件(弹簧)和黏性元件(黏壶)以不同方式组合而成。其中，最重要的黏弹性模型为Maxwell 模型，该模型由单个弹簧和黏壶串联而成，如图2 所示。拉伸变形时，总变形由弹性应变εel和黏性变形εη组成。

图2 Maxwell 模型

1.1.2 微观分析

黏弹性教材中一般仅给出Maxwell 模型的宏观表述，然而从微观变尺度给出变形单元转变动力学上的可能解释，有助于拓展对上述黏弹性行为的认识。考虑初始施加的变形在材料单位体积内激活了n(0) 个变形单元，考虑到在0 时刻上述变形单元均处于弹性可逆状态，由弹簧元件导致，因此n(0)与初始应力或应变成正比可写作n(0) =kσ0，其中k为常数。在后续应力松弛过程中，其随时间推移逐渐向黏性不可逆变形转变。为推导应力松弛响应，应当进行未转变状态与转变状态变形单元数目分析。设n(t) 为t时刻未转变的变形单元，基于一阶动力学，有

因此基于微观尺度变形单元转变所得应力松弛响应公式（9）与Maxwell 模型推导所得公式（6）形式完全相同。

1.2 广义Maxwell 模型引入

由于Maxwell 模型中仅有单一特征时间，其形式简单，与真实黏弹性材料应力松弛响应相差甚远。图3 所示为一种Zr 基非晶合金的应力松弛响应，其中实线为采用式（6）对实验数据进行最小二乘拟合所得，其应力衰减极快，完全无法描述实验数据。

图3 非晶合金应力松弛响应

图4 广义Maxwell 模型[7]

事实上，非晶合金属于典型玻璃态材料，其微观结构长程无序，短程有序，存在密度、焓和熵等的起伏，在外加力场作用下存在诸多转变位点，即能量状态相对较高的原子团簇。各转变位点的激活特征时间不尽相同。常见聚合物，各种玻璃态物质均有此特性。因此，采用单一特征时间Maxwell 模型无法对非晶合金的应力松弛行为进行描述，需要考虑多个特征时间叠加。因此式（6）可改写为

采用式（10）描述非晶态材料应力松弛等黏弹性响应，通常人为给定2～5 个可能的特征时间并进行拟合，以获得对应特征时间的松弛强度，或直接拟合实验数据以获得有限个特征时间及其强度[8]。如图5(a)和图5(b)分别为n=2 和n=4 情况下根据式（10）对应力松弛实验数据的最小二乘拟合曲线，拟合参数见附录部分附表1 和附表2。可知当n=4 时有限谱法可以相当好地吻合实验数据。

图5 有限谱法对应力松弛响应的最小二乘拟合，其中(a)和(b)中实线分别对应于n=2 和n=4

图6 应力松弛曲线计算结果：（a）采用Gauss 正态分布；（b）采用Gumbel 分布

然而，对于有限谱法的使用应当谨慎。因为一是有限谱法所需参量随特征时间个数成倍增加，例如n=4 时，式（2）包含7 个未知参量，此时最小二乘拟合发散，会导致解的不唯一性。二是对于常见的非晶态物质，由于其结构无序本质，在宏观尺度考虑几个甚至数十个有限离散特征时间的黏弹性过程意义不大。

1.3 连续谱方法及特征时间分布形式

对于式（10）所给出的广义Maxwell 模型表达式，若继续增加并联的Maxwell 单元数目，当n趋向于无穷时，应力松弛响应可通过积分形式给出

式中,g(τ) 代表特征时间分布。该公式是广义Maxwell 模型描述应力松弛响应的连续形式，欲采用式（11）描述实验曲线，重点在于分析特征时间的分布形式g(τ) 。

考虑到非晶态材料微观结构空间分布不均匀性，前已述及，这种微观结构非均匀性对应其微区域的能量（焓和熵等）参数的起伏和波动[9]。已有研究表明，非晶合金活化能量谱和弹性常数实验测量近似于正态分布[10]，而根据Arrhenius 公式，τ=τ0exp[Ea/(kT)] ，式 中τ为 激活特征 时 间，τ0为指前因子，Ea为原子团簇激活运动所需的激活能，k= 1.38 ×10–23J/K 为玻尔兹曼常数，T为温度。由Arrhenius 公式可知激活能分布可近似为特征时间的对数分布。因此，我们首先考虑特征时间在对数时间尺度上的Gauss 正态分布称Gumbel 分布与实验结果更为吻合；而采用对称的正态分布，计算结果在松弛末尾阶段无法吻合实验结果。表明非晶态材料变形单元特征时间分布在对数尺度上可能并非对称正态分布，而是某种与Gumbel 分布近似的非对称形式，其分布向低能量区域有延展。

1.4 Maxwell 模型的应用拓展[13]

对于Maxwell 单元或其并联结构而言，应力松弛过程中应力均随时间逐渐向零应力迁移，该情况与非晶合金这种原子玻璃或者低分子量玻璃材料的松弛过程吻合。这些玻璃态材料弛豫单元相对简单，弛豫单元主要为原子或小分子团簇。然而对于具有长链体系的非晶态聚合物而言，其链段交联导致应力松弛并非松弛至零应力，而是到某一非零残余应力σ∞，且交联程度越大，该非零残余应力越大，如图7(a)所示。

图7 (a)不同交联度的非晶聚合物应力松弛响应；(b)广义Maxwell 固体模型

采用图4 中考虑多个Maxwell 单元的并联模型难以描述该类型材料应力松弛响应过程，需并联一个弹簧元件以模拟该残余应力，如图7(b)所示，其应力松弛响应可描述为

2 结语

本文首先引入弹簧和黏壶，给出Maxwell 模型的宏观分析，并给出其应力松弛响应表达式。不同于现在广泛采用的教材，本文亦结合非晶合金黏弹性变形领域的相关研究，从激活的变形单元转变动力学角度，分析了应力松弛响应可能的微观机制。通过采用Maxwell 模型推导所得单一特征时间的指数松弛公式无法描述真实非晶态固体的应力松弛曲线，进而引出广义Maxwell 模型。在广义Maxwell 模型中，通过对有限个Maxwell 单元并联的有限谱法分析，进而考虑了广义Maxwell模型的积分形式，并分析了由此产生的特征时间分布。最后，通过对高分子聚合物介绍，进一步拓展了广义Maxwell 模型的应用范围。授课过程由表及里，层层递进，让学生知其然，亦知其所以然。主要结论如下。

(1) Maxwell 模型是理解黏弹性理论的基础，其应力松弛过程为指数响应。借助微观层面可能涉及变形单元的一阶动力学转变进行分析，解决了学生在理解Maxwell 模型本质方面的困惑。

(2) 真实非晶态固体（如非晶合金）的应力松弛响应无法采用Maxwell 模型的指数响应描述，需要考虑多个Maxwell 单元的并联。

(3) 对于广义Maxwell 模型的积分形式，需考虑特征时间的分布形式，通常为对数尺度上对称或非对称分布。对于非晶态固体而言，非对称分布更符合其松弛响应。