基于半导体量子阱中四波混频效应的高效光学非互易*

盖云冉 郑康 丁春玲 郝向英 金锐博

(武汉工程大学,光学信息与模式识别湖北省重点实验室,武汉 430200)

1 引言

光在一般介质中具有双向传输的互易性,而光学非互易性是指光场沿一个方向通过光学系统后,不能沿原路径返回的特性.隔离器、环行器和定向放大器等需要打破洛伦兹互易定理的非互易器件,在光通信和量子信息中发挥着重要作用[1–4].常见的非互易器件主要利用磁光晶体的磁光效应,但很难集成应用[5].近几十年来人们一直在寻求实现无磁光学非互易传输的方法[6–8],如利用动态时空调制[9,10]、腔光力系统[11–14]、手性量子系统[15,16]、原子热运动[17–19]等来实现无磁光学非互易传输.此外,利用量子系统中的非线性效应实现光学的非互易传输也引起了人们的研究兴趣,如在四波混频(fourwave mixing,FWM)增益系统中实现光场的非互易透明[20];利用FWM 效应提出无磁光学非互易方案,实现光子器件的良好隔离和循环性能[21];探索使用不同材料或改变器件结构实现无磁光学非互易传输等[22,23].

半导体量子阱(semiconductor quantum well,SQW)在许多高性能光电器件中发挥着关键的作用[24,25].这是由于SQW 与原子气体介质相比具有很多优点,如有效电子质量小,电偶极矩大,非线性光学系数高,设计器件时可灵活选择材料和结构尺寸,可按需设计跃迁能量、偶极矩和对称性等.近年来,人们研究了诸多SQW 系统中的FWM 效应,目的是通过共振隧穿[26]、Fano 型干涉[27]等量子干涉[28]效应来提高FWM 效率,有研究也分析了SQW 中的涡旋FWM 效应[29,30].然而,SQW纳米结构中的无磁光学非互易性及其相关应用研究较少.

本文提出了一个在半导体双量子阱(semiconductor double quantum well,SDQW)纳米结构中实现无磁光学非互易的方案.结果表明,通过选择适当的光学深度和驱动失谐,可以实现具有高传输率的最佳非互易传输和非互易相移.随后,通过将SDQW 嵌入马赫-曾德尔(Mach-Zehnder interferometer,MZI)干涉仪,分析并设计了一种基于高传输率非互易相移的可重构非互易器件,该器件可作为隔离器或环行器使用.研究发现,光隔离器的隔离比和插入损耗可分别达到约92.39 dB和0.25 dB,光环行器的保真度为0.9993,光子存活率为0.9518,与以往方案的性能指标相比,有了很大的改善[15,21,31].因此,在SQW 纳米结构中可以利用增强的FWM 效应实现无磁光学非互易和无腔非互易光子器件,本文方案可以为在半导体固体介质中操纵无磁光学非互易及实现相关量子器件提供一个途径.

2 模型与方程

如图1 所示,本文考虑一个由50 个调制掺杂的耦合量子阱组成的SDQW 样品.它们生长在GaAs 衬底上,每个周期由两个GaAs 阱组成,厚度分别为70 和60 Å (1 Å=10–10m),由20 Å的Al0.33Ga0.67As势垒隔开.耦合阱周期由950 Å Al0.33Ga0.67As间隔层分隔.这里考虑的SDQW 样本与文献[28,32,33]中的样本相似,选择适当的参数,可以将样品设计成具有所需的跃迁能级.如图1 所示,两个连续的激光泵浦场(频率为ωc和ωd,拉比频率为 2Ωc和2Ωd)与这个SDQW 纳米结构相互作用,分别耦合带内跃迁 |2〉→|3〉和|2〉→|4〉,一个脉冲探测场(频率为ωp,拉比频率为 2Ωp)驱动带内跃迁 |1〉→|3〉.探测场沿 +z轴正向传输时,满足相位匹配条件kp+kd=kc+km,其中kj(j=c,d,p,m)表示对应场的波矢,产生一个FWM 脉冲场(频率为ωm,拉比频率为 2Ωm).探测场沿 -z轴反向传输时,由于缺乏相位匹配,不会产生FWM 场.

图1 本文考虑的理论模型 (a)被 Al0.33Ga0.67As 势垒隔开的GaAs 调制掺杂量子阱结构的单周期能带示意图,图中还显示了电子能级的位置及相应的波函数.(b)能级排列示意图.前向传输时光场 (红色),Ωc (深蓝色),Ωd (浅蓝色)与相应能级跃迁相互作用,产生混频场 (绿色);后向传输时,三个光场 (玫红色),Ωc,Ωd 耦合相应的能级跃迁.(c) SDQW 样品与光场相互作用示意图Fig.1.Theoretical model considered in this paper: (a) Schematic band diagram of a single period of the GaAs modulation-doped quantum wells structure separated by a Al0.33Ga0.67As barrier.The positions of the calculated energy subbands and the corresponding modulus squared of the electronic wave functions are also displayed.(b) Schematic of the energy level arrangement.During forward transmission,the light fields (red),Ωc (dark blue),Ωd (light blue) interact with the corresponding energy level transitions to generate a mixing field (green);during backward transmission,the three light fields (rose red),Ωc,Ωd are coupled with corresponding energy level transitions.(c) Schematic diagram of the SDQW sample interacting with all optical fields.

在本文的分析中,采用了以下近似: 1)忽略由电子-电子相互作用引起的多体效应;2)假设所有子带的有效质量相同.在相互作用绘景中,采用旋转波近似和电偶极近似,当弱探测场前向传输时,该系统的相互作用哈密顿量可表示为

其中,H.c.代表厄米共轭,∆p=δp表示单光子失谐,∆c=δp-δc表示双光子失谐,∆d=δp-δc+δd表示三光子失谐.δp=ωp-ω31,δc=ωc-ω32,δd=ωd-ω42分别是探测场、耦合场和驱动场的失谐.ω21,ω31和ω41分别是带内跃迁 |2〉→|1〉,|3〉→|1〉,|4〉→|1〉之间的能级差.Ωc=µ32Ec/2ℏ,Ωd=µ42Ed/2ℏ,分别是耦合场、驱动场、探测场和FWM 场拉比频率的一半.µkl=µkl·eL(eL是对应激光场的单位极化矢量)表示能带 |k〉和|l〉之间跃迁的偶极矩.满足相位匹配条件下,密度矩阵元的运动方程为

其中γij(i,j=1,2,3,4)是能级 |i〉到 |j〉之间衰减率的一半.假设≪Ωc,Ωd,因此几乎所有的布居都将保持在基态 |1〉,即.根据(2)式—(7)式,对应的非对角矩阵元和的稳态解为

其中,d21=∆c+iγ21,d31=∆p+iγ31,d41=∆d+iγ41.

在探测场后向传输的情况下,由于不满足相位匹配条件,不会产生FWM 场.此时的相互作用哈密顿量可表示为

为简单起见,令kp-kc+kd=0,则密度矩阵元的运动方程为

(8)式,(9)式与(14)式可以被化简为如下形式:

在缓慢振幅变化近似下,前向探测场和产生的FWM 场的一维麦克斯韦方程为

后向探测场的一维麦克斯韦方程为

其中,z′=L-z.αp=Nσ13L(αm=Nσ14L) 为 探测(FWM)跃迁的光学深度,N是量子阱导带中的电子数密度,σ13(σ14)对 应探测(FWM)跃迁的量子阱吸收截面,L是SQW 纳米结构的长度.为简单起见,令αp=αm=α,γ31=γ41=0.5Γ(Γ是激发态自发衰减率的一半).在本文的假设中,探测和混频场强度远小于耦合场和驱动场的强度,考虑弱探测场和混频场的响应,在稳态情况下,通过长度为L的SDQW 纳米结构后,前向探测场和FWM 场变为

其中,

这里重点关注前向和后向探测场的传输特性,(21)式和(23)式中的探测场可以重新表述为以下内容:

3 结果和讨论

3.1 非互易性

首先研究通过SDQW 纳米结构的探测场的非互易传输特性.根据(21)式和(23)式,当光学深度α从0 到800 变化时,前向和后向传输的探测场的相图绘制在图2(a)中.其中γ21=0.2 meV,γ31=γ41=0.5Γ,激发态的自发衰变率为 2Γ=8 meV.如 图2(a)所 示,当δp=δc=0和δd=100.25Γ时,前向和后向探测场的振幅和相位演变轨迹完全不同,即出现了光学非互易性.图2(b)和图2(c)分别绘制了前向和后向探测场的传输振幅和相移与α的关系.从图中可以发现前向探测场的振幅和相移随着光学深度α的增加而振荡,而后向探测场的振幅随着光学深度α的增加而下降.当α=314 时,达到非互易传输的最佳值,即=0.0153,=0.9717.在α=630 时,前向和后向探测场的相移和振幅分别为0.9441,此时达到具有高传输性能的最佳非互易相移.因此,可以通过改变探测场跃迁的光学深度来控制非互易的光学响应.

图2 前向探测场和后向探测场不同光学深度时的仿真图 (a)前向探测场 和后向探测场 在光学深度范围0—800 内变化的相位图;(b)前向探测场和后向探测场的振幅随 α 的变化;(c)前向探测场和后向探测场的相移随 α 的变化.其他参数取值为γ21=0.2 meV,γ31=γ41=2 meV,Ωc=Ωd=24.5Γ,δp=δc=0,δd=100.25Γ,Γ=4 meVFig.2.Simulation diagrams of the forward probe field and the backward probe field at different optical depths: (a) Phase diagram of the forward probe field and the backward probe field in the optical depth range 0 to 800;(b) diagram of the amplitude of the forward probe field and the backward probe field changing with α ;(c) diagram of the phase shift of the forward probe field and the backward probe field changing with α.Other parameters are γ21=0.2 meV,γ31=γ41=2 meV,Ωc=Ωd=24.5Γ,δp=δc=0,δd=100.25Γ,and Γ=4 meV.

图3(a)和图3(b)分别显示了前向和后向探测场的振幅和相位随驱动失谐δd的变化.可以发现δd对前向和后向探测场的振幅和相移影响很大.图中清晰地表明,非互易相移在δd=100.25Γ时达到了最佳效果,即 ∆ϕp=π,非互易传输在δd=201.5Γ达到最佳效果.因此,通过调节驱动场的失谐可以操纵前向和后向探测场的非互易特性.这表明,在SQW 纳米结构中,可以利用增强的FWM 效应实现无磁光学非互易性和完全的光学可控性.

图3 不同探测场的振幅和相移在不同驱动失谐 δd 时的仿真结果 (a)前向探测场和后向探测场的振幅随 δd 的变化;(b)前向探测场和后向探测场的相移随 δd 的变化.其他参数取值与图2 相同,除了 α=630Fig.3.Simulation results of the amplitude and phase shift of different probe fields under different detuning of driving fields δd :(a) Change graph of the amplitude of the forward probe field and the backward probe field with δd ;(b) change graph of the phase shift of the forward probe field and the backward probe field with δd.Other parameters are the same as in Fig.2,except for α=630.

3.2 应用: 光学隔离器和环行器

以前的研究表明,嵌入MZI 的非互易相移器为设计无腔光隔离器和环行器提供了一种实用而有效的方法.如图4 所示,本文的MZI 是由两个光纤分束器(beam splitter,BS)构成的.这两个BS首先将输入探测场分为两个分支,然后将其混合.SDQW 纳米结构相当于一个非互易相移器,被连接到MZI 的上部分支.入射的探测场通过SDQW纳米结构,产生的前向FWM 场,由于定向FWM效应引起的非互易相移,探测光子在沿MZI 的上支和下支传输时积累了不同的相移,然后在干涉仪的末端发生相长或相消干涉.如果探测场穿过SDQW 纳米结构后,前向和后向传输的振幅和有足够的不同,那么就可以实现一个双端口光隔离器.通过选择合理的参数,可以得到接近 π 的相位差 ∆ϕp,从而实现一个四端口光环行器.这里选择两个相同的BS,两个BS 之间的输入输出关系可以写为[34]

图4 光隔离器和环行器装置的简单示意图.对于光隔离器,只考虑嵌入SDQW 纳米结构的上分支.为了实现光环行器,下分支与上分支使用分束器BS 1 和BS 2 组成MZIFig.4.A simple schematic of the optical isolator and circulator devices.For the optical isolator,we consider only the upper branch embedded in the SDQW nanostructure.To implement the optical circulator,the lower branch and the upper branch use beam splitters BS 1 and BS 2 to form the MZI.

其中,sinθ和cosθ分别为分束器的 反射和透射幅值,φ表示反射与透射之间的相对相位.

结合方程(24)—(26),输入输出端口之间的传输矩阵元为

其中Tmn(m,n=1,2,3,4)为端口m到端口n的传输系数.忽略后向散射,因此Tmm=0.同样地,从端口1 注入的光子不能通过端口3,这意味着T13=0.还有T24=T31=T42=0.此外,其他相关参数为α=630,Ωc=Ωd=24.5Γ,δc=0 和δd=100.25Γ.

首先,为了实现无腔光隔离器,选择MZI 的端口1 和2,根据(27)式和(28)式,分束器的反射被设置为,此时,探测场的前向传输T12和后向传输T21随探测失谐δp的变化如图5(a)所示.可以很明显地看到,前向和后向的传输系数有很大的不同.前向传输T12处于很低的水平,而后向传输T21较高,随着 |δp| 增加,T12有所增加而T21呈下降趋势.在δp从 -1.3Γ到1.3Γ的区域,后向传输的T21比T12大得多,这表明探测光子在前向传输中被阻挡,只在后向传输.因此,实现了单向传输的无腔光隔离器.

图5 用作光隔离器时的仿真结果 (a)传输系数 T12 和T21 随探测失谐 δp 的变化图;(b)隔离比IR 和插入损耗IL 随探测失谐δp的变化图.除了α=630,其他参数取值与图2相同Fig.5.Simulation results when used as an optical isolator:(a) Graph of transmission coefficients T12 and T21 with probe detuning δp ;(b) graph of isolation ratio IR and insertion loss IL with probe detuning δp.Parameters are the same as in Fig.2,except that α=630.

光隔离器的性能可以通过隔离比 IR 和插入损耗IL 进行评估,它们分别被定义为IR=-10 lgT21.图5(b)给出了光隔离器的隔离比 IR 和插入损耗IL 随探测失谐δp的变化情况.在最佳点时,隔离比达到最大值92.39 d B,并随着δp的变化迅速下降.同时,在最佳隔离比时,插入损耗只有0.25 dB.插入损耗是指在光路中加入隔离器后所造成的额外损耗,对于光隔离器来说,插入损耗越小,光隔离器的性能就越好,本文的方案在最佳点的插入损耗非常小.如表1 所列,该方案的光隔离器的隔离比与以前的方案相比有了明显的提高[15,21,35],在低插入损耗(即 IL<1 d B)下,大约是参考文献[15]中最大隔离比(即IR≈40 dB)的2.3 倍,是文献[21]中最大隔离比(即 IR≈80 dB)的1.15 倍.本文方案选择了适当的参数,在最佳点时前向传输系数T12和后向传输系数T21分别达到 5.43×10-10的低值和0.9436 的高值,因此在最佳点达到了最高隔离比.此外,在范围-0.6Γ≤δp≤0.6Γ内,隔离比可以达到20 dB 以上,其中插入损耗小于0.41 dB (图5(c)).这表明利用本文的SQW 纳米结构可以实现性能优异的无腔光隔离器.

表1 4 个光隔离器性能指标的比较Table 1.Comparing of the performance metrics for four optical isolators.

下面利用MZI 的四个端口实现无腔光环行器.为平衡在MZI 中传输的探测光子,根据(27)式—(34)式选择一个反射率为sin2θ=1/2的分束器.图6(a)和图6(b)分别给出了在前向循环方向(1→2→3→4→1)和后向循环方向(1→4→3→2→1) 的传输系数随探测失谐δp的变化.可以发现,探测光子在前向和后向循环方向上表现出非互易的传输.随着δp的增加,前向循环传输Ti,i+1(i=1,2,3,4) 先减少后增加,后向循环传输Ti+1,i(i=1,2,3,4) 呈现相反趋势.在最佳点时,前向循环传输率最低,后向循环传输率最高,探测光子沿 1→4→3→2→1 方向循环.

图6 用作光环行器时的仿真结果 (a),(b)前向循环和后向循环传输系数与探测失谐 δp 的关系;(c)光环行器的保真度F 和平均光子存活率η 与探测失谐 δp 的关系.除了 α=630,其他参数取值与图2 相同Fig.6.Simulation results when used as an optical circulator: (a),(b) Relationship between the transmission coefficients of the forward cycle and the backward cycle and the probe detuning δp ;(c) fidelity F and average survival probability η of the optical circulator versus probe detuning δp.Parameters are the same as in Fig.2 except for α=630.

保真度F和平均光子存活率η 被用来评估光环行器的循环性能.光环行器的保真度用计算,其中Tid=[0,0,0,1;1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0] 和分别为理想和重整化后的传输矩阵.平均光子存活率由公式计算,其中是进入端口i的探测光子存活率.从图6(c)可以看出,在时的最大保真度为0.9993,平均光子存活率为0.9518.此外,可以通过IRi=-10 log10(Ti,i+1/Ti+1,i)和ILi=-10 log10(Ti+1,i) 分别计算每个通道的隔离比和插入损耗.当时,有{IRi}={33.10,30.87,33.10,30.87}dB 和{ILi}={0.25,0.19,0.25,0.19}dB (i={1,2,3,4}).可以看出,平均插入损耗IL 只有0.22 dB.表2 列出了本文方案实现的环行器与之前其他方案的对比,可以看出,本文方案实现的光环行器的三个性能指标,包括保真度F、平均光子存活率η 和平均插入损耗IL,相比其他方案都有所改善.

表2 4个光环行器性能指标的比较Table 2.Comparing of the performance metrics for four optical circulators.

通过对比发现,相比之前的其他研究方案,本文方案中的光隔离器和光环行器具有更高的隔离比、保真度、光子存活率和更低的插入损耗,这主要是由于本文方案所考虑的是半导体介质.从上面的仿真结果可以看出,调节光学深度和驱动失谐能够控制非互易行为,而光学深度由原子数密度、吸收截面、介质长度来决定.近年来在实验上已经证明,冷原子介质中光学深度可达到1000 的量级[36],而在半导体固态介质中可以得到更大的电子数密度(可达1014cm–3[32]甚至更高[37,38])以及大的带间跃迁偶极矩(与吸收截面正相关[39]).因此,本文理论方案中光学深度的取值是合理的,计算过程中的其他参数如能级衰减率也是基于实验[32],所以,本文方案有望在实验上实现.此外,半导体量子阱、量子点具有较高的非线性光学系数,跃迁能级和对称性可以根据需要进行设计,具有很强的灵活性.更重要的是,与气体介质相比,半导体介质更容易集成,这也是实现大规模量子器件的关键.

4 结论

本文从理论上提出了一种在SDQW 纳米结构中实现和控制光学非互易性的方案.由于FWM 效应依赖于定向相位匹配,因此在探测传输和相移过程中,前向和后向探测场具有不同的演变.结果表明,调整光学深度和驱动失谐可以有效地控制SQW 的非互易传输和非互易相移.此外,通过将此SDQW 纳米结构嵌入MZI 中并选择适当的参数,两端口光隔离器实现了92.39 dB的最佳隔离比和0.25 dB 的插入损耗.四端口光环行器达到了0.9993 的保真度和0.9518 的光子存活率.与以前的方案相比,这些性能指标都有所改善.该方案可以为基于更易集成、参数可调的半导体介质的无磁光学非互易和非互易光子器件的实现提供理论指导.