一类对称双线性型下三对角矩阵特征值的谱分隔性质

徐伟孺

(四川师范大学 数学科学学院，四川 成都 610066)

0 引言

高等代数中介绍了双线性型的一些基础概念，其本质就是两个变量分别线性的二元函数V×V→F，其中F是给定的域，V是F上的线性空间[1]。本文考虑了一个对称双线性型Rn×Rn→R，其定义形式为

其中x,y ∈Rn，且H是一个对称的正交矩阵。对于给定的n阶实矩阵A，存在其伴随算子A#使得对于任意的向量都有〈Ax,y〉H=〈x,A#y〉H成立。此时，A#=HATH.若A#=A，A就称为H-对称或者伪对称矩阵，其含义其实就是内积(1)里面的对称矩阵，区别于H为n阶单位矩阵In时的欧式内积情形。类似地，若A#A=In，矩阵A就是H-正交或者伪正交的[2]。

当矩阵A为n阶不可约的三对角矩阵时，对于矩阵H的不同形式，矩阵A将会有不同的性质。最常见情形就是：H=In，矩阵A就是不可约的对称三对角矩阵，其特征值是互异的实特征值，并与其主子矩阵的特征值严格交错[3-4]。其特征值问题的讨论很广泛，也比较成熟[5-9]。但在闵可夫斯基空间中存在一类符号算子H=In⊕-I1，矩阵A就是伪对称的[10-13]，形如

其特征值不同于对称矩阵的特征值，可能含有成对的共轭复特征值。现在介绍一种特殊情形，就是当(2)式中的矩阵A的特征值全部为互异实数时，给定矩阵A一个秩1 扰动=A+teneTn，其中t＜0 且en为单位矩阵In的第n列。下面就给出两个问题：

问题2 矩阵A与的特征值之间的谱分隔性质如何？

定理1已知形如(2)式的矩阵A和其扰动矩阵=A+teneTn，t＜0，且其特征值分别为λi，i=1,2,…,n和μi,i=1,2,…,n。假 设λ1＜λ2＜…＜λn，则矩阵的特征值μi全部为互异的实数，并满足如下的严格交错性质：

1 定理的证明

由于(2)式的矩阵A是一个非自伴的三对角矩阵，其相似于一个下次对角线元素全为正的矩阵，且具有相同的符号算子H=In-1⊕-I1，在文献[14]中，其相似矩阵称为伪Jacobi 矩阵。在证明定理1 之前，需要介绍如下的引理。

引理1[14]已知A为形如(2)式的矩阵且具有互异的实特征值λi,i=1,2,…,n，则矩阵A可被H-对角化，即Q#AQ=Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，且其H-正交矩阵Q的第一行和最后一行的元素均非零。

约定Q=[q1,q2,…,qn]T,其中qi=[qi1,qi2,…,qin]T。下面给出定理1 详细的证明。

从而矩阵A和没有相同的特征值。因此，的特征值μi是如下特征方程的根：

很明显，上述两个函数的交点就是S(λ)的零点。函数f(λ)的n个互异的极点(或间断点)将实数域R 分成了n+1 个区间，分别是(-∞,λ1)，(λi,λi+1),i=1,2,…,n-1，和(λn,+∞)。函数f(λ)在这些区间内均连续，其图形变化情况如下：

由(iii) 可知，函数f(λ)在每个小区间(λi,λi+1),i=1,2,…,n-2 内至少与函数g(λ)有一个交点，故可确定函数f(λ)和g(λ)的图象在这些小区间内至少有n-2 个交点。

由(i)和(ii)可知，函数f(λ)和g(λ)的图象在这两个无限区间内分别至少有一个交点。从而就确定了函数f(λ)和g(λ)至少有n个交点。而函数S(λ)至多只有n个根。故函数f(λ)和g(λ)只有n个交点，在(λn-1,λn) 内，它们不相交。此时，函数S(λ)的零点μi,i=1,2,…,n全为实数，且与其极点的关系满足：

证毕。

下面给出两个实例，验证扰动前后特征值之间的交错情况。

例1给定一个如下的形如(2)式的矩阵

参数t的值t=-0.0 001，计算矩阵A和的特征值，如下表：

表1 矩阵A 和的特征值

表1 矩阵A 和的特征值

从计算结果可知，矩阵A和的特征值之间满足定理1 给出的交错不等式的关系。

另外，为了说明满足本文给出的交错不等式的两组谱可以是矩阵A和扰动后的矩阵的特征值，故给出如下的例子。

例2 给 定λ1=-3,λ2=1,λ3=3;μ1=-4,μ2=-1；μ3=7。

很明显，上述数据满足定理1 给出的交错不等式。它们分别是矩阵Α 和的特征值。

因而，满足本文的交错不等式的两组数据可以是矩阵A和的特征值，这两个矩阵只是最后一个对角元互异。从而可以继续研究这类矩阵的重构造问题。

2 结论

本文在对称双线型中讨论了具有形式(2)的矩阵与其秩1 扰动矩阵的特征值之间的谱分隔性质，得出了一个严格的交错不等式。对于其它形式的伪对称三对角矩阵，不能得出比较好的谱分隔性质，只是用公式笼统的表示出来。比如文献[15-16]，给定的是任意的符号算子，这样就不方便来讨论类似本文的特征值之间的交错性质。讨论这个性质的本质不是出于数学的兴趣，它对于重构造一个具有形式(2)的矩阵和提供很好的理论依据，广泛的应用于非Hermitian 量子力学中薛定谔方程的离散和截断化[17]，不定Toda 晶格的哈密尔顿系统的重构[18-20]等。这种带有任意的符号算子Η 的三对角矩阵的特征值问题或反特征值问题不同于对称三对角矩阵的情形，Η 中任意符号的改变将会引起矩阵Α 的特征值产生较大的变化。