常微分方程课程多元融合教学模式的探索与实践

苏日娜，赵 威

（1.内蒙古民族大学 数学科学学院，内蒙古 通辽 028043；2.满洲里市第一中学，内蒙古 满洲里 021400）

常微分方程是研究自然科学中各类事物运动规律的最为基本的数学理论和方法［1］。该课程学时短、知识点繁杂且概念多，内容晦涩抽象，且与物理、生物、化学、工程和经济等领域结合紧密。为了能够使常微分方程这门课程的发展与时俱进，符合时代背景，许多高校教师对该课程如何突破“传统教学”模式、建设并丰富“线上课堂”等教学改革进行了深入探索与研究，王丽丽等［2］将MOOC与传统教学相结合构建新的平台，并给出可行教学模式；涂强等［3］考虑了线上资源的构建和线下教学模式的改进，提炼出调整课程建设的相关方案；廖芳芳等［4］以多元智能理论为基础，将网络教学的互动与数学课程的特点融合，构建了一种新的教学模式。根据常微分方程的课程目标，结合学生的实际情况，从“线上”+“线下”多元融合的角度出发，提出了几点改进常微分方程教学模式的建议。

1 常微分方程课程教学现状分析

常微分方程课程是数学与应用数学、信息与计算科学专业的重要基础课之一，要求学生具备并掌握数学分析、高等代数等基础知识。本课程主要目的是利用微积分思想，结合线性代数、解析几何等知识来解决数学以及其他学科中出现的若干微分方程问题，促使学生有效地掌握常微分方程的基础理论和方法，为他们后续课程的学习如生物数学、动力系统、泛函分析和数学物理方程做准备。此外，本课程具有强大的实用背景，在学习和练习过程中不仅能够使学生们理解数学建模的一些基本思想，了解当今社会存在的一些非线性问题，还能够为将来从事相关领域的科学研究工作奠定基础。

在传统的常微分方程教学中，教师的主要目标是培养学生的知识能力。通常在有限的学时内，教师会重点讲授核心基础知识，并通过关联性的串讲来帮助学生理解知识点。此外，教师还会提供少量练习题，以帮助学生巩固所学内容［5］。在这个过程中，提高教学质量和学生成绩的主要途径是合理设置教学内容，并采用有效的精讲、小组研讨和研读文献等方式，以实现理论知识的传授和实践操作的练习。值得注意的是，尽管线下教学环节有助于教师完成教学进度、直观地了解学生的学习情况，并且在教学管理方面也比较方便，但仍存在一些弊端。

1.1 教学内容过于陈旧

常微分方程的教学内容通常分为理论部分、求解方程部分和模型应用部分。随着科学技术的不断发展和进步，一些新的理论、方法和应用在常微分方程领域不断涌现，然而在传统的教学过程中，由于学时有限，教材和教师可能更侧重于传授理论和解方程2个部分，很少将常微分方程的发展史及其在自然科学中应用的最新成果及时引入课堂，这可能导致学生在课程学习过程中无法及时了解到最新的发展动态，限制了他们对常微分方程领域的深入理解和应用能力的培养。

1.2 教学手段过于单一

在线下课堂教学中，大多数任课教师仍旧采用“纯板书”的方式教学，照本宣科。这种方式虽然能够在有限的时间内开展教学，从而完成教学进度，但是往往忽略了学生的积极性、主动性。同时，对于一些抽象概念和复杂的计算步骤，仅仅通过板书讲解也不够直观和易于理解。此外，传统板书的效果也受到教师书写速度和清晰度的影响，可能导致信息传递不够准确或者难以跟上教师的讲解节奏。

1.3 教学评价过于薄弱

在修改教学大纲之前，常微分方程课程采用平时成绩（30%）+期末考试成绩（70%）的方式进行评价，平时成绩占比相对较少，且仅采用作业、考勤等方式，评价模式单一。传统教学注重学生的考试成绩，轻视过程性考核。同时，学生只追求高分，而缺乏对知识的实际应用和创新能力的培养。

为了改进常微分方程课程教学模式的不足，提供更全面的教学资源，发展并建设完善的常微分方程线上教学资源变得非常必要。笔者结合信息技术，探讨常微分方程“线上”+“线下”多元融合的教学方案，以期实现教学模式的改进。

2 “线上”+“线下”多元融合教学模式的探索与构建

多元融合教学模式的设计思想就是将多种教学要素和资源结合在一起，形成教学新模式和新结构［6］。这一过程中的“混合要素+资源”并不是简单随意混合，而是要遵循多元融合教学模式设计的原则，即开展有针对性的、分众化的和对象化的教学设计工作［7］。近年来，人们将互联网、大数据和人工智能等快速发展的信息技术广泛应用于教育教学上，为打造常微分方程“线上”+“线下”多元融合的教学模式奠定了技术基础。笔者在具体建设过程中，从课前、课中、课后等3个环节全面阐述多元融合教学模式的设计思路，根据数学类各专业学生的实际情况，探索出一系列可行的教学方法和评价体系，并对教学实践中出现的问题给出建议与对策。

2.1 课前环节

首先，科学分析学生特征和专业需求，编写或收集与教学内容相关的教学资源。使用多媒体教具如动画、模拟实验等方式来展示常微分方程的概念和解题方法，并设计适用于“线上课堂”的教案及多媒体PPT，增加学生学习的兴趣。在建设线上资源时，还可以利用手写板或者平板电脑，借助于软件（Wps，Notability和Goodnote）在PPT里面进行标识和注解，便于学生的理解。其次，将制作的教学视频或其他教育平台的视频、课程PPT、文献拓展资料等上传至知到、超星或优慕课等教学平台，根据教学大纲发布课前自测和自学任务，督促学生自我学习。学生可以自主选择观看时间和地点，提高学习的灵活性。最后，搜集常微分方程在不同领域的应用案例，发送给学生让其预习，并根据线上反馈数据有针对性地进行教学调整和辅导。此外，在线上平台上可以设计互动式的学习活动，如在线讨论、小组合作等，以促进学生之间的交流和合作，共同解决常微分方程方面的问题。依据上述方法，能够有效解决教学内容过于陈旧、教师和学生过度依赖课本的难题。

2.2 课中环节

随着数字化教育的快速发展，完善常微分方程课程的线上资源对于提供广泛的学习机会、提高学习效率、个性化学习、促进自主学习和提供便捷的学习方式等方面都起到了重要作用。首先，针对学生自主学习任务问题，在学习平台给出课前测试题，学生完成后，根据平台统计的正确率，了解学生的课前预习情况。此外，针对发布的拓展文献资料，设置阅读时长和随机问题，根据问题的回答情况，判断学生是否完成自主学习任务，并给出相应的评价体系。其次，设置疑难问题板块，鼓励学生多问多写多思考。针对学生的问题进行答疑解惑，解答过程中涉及到的推理论证尽量手写，加深学生的理解。再次，线下课程讲授完毕后，设置讨论模块并提出与课程相关的问题，组织学生分组展开讨论（线上讨论小组），教师通过线上教学平台的答疑功能，选择小组代表向大家汇报小组解题思路、计算过程以及论证结果，考查学生对于常微分方程基础知识的应用能力。最后，根据学时安排及教学进度情况，对现有知识进行一定的总结与扩展，培养学生解决实际问题的能力，提升学生的数学素养。

2.3 课后环节

针对常微分方程教学过程中存在的问题，结合教师的所思、所想、所感进行课后反思是提高教师教学水平的有效途径。以“学生为中心、产出导向和持续改进”为主导思想，结合教学反思不仅能够有针对性地修改教学目标、教学内容和教学策略，还能够在下一轮教学中突出教学重点和难点。基于当今教学背景和社会动态实现上述反思闭环，仅仅通过手写教案的方法已远远不够，还要借助各类教学平台建立线上反思模块。借助线上反思模块，教师和学生之间、学生和学生之间可以随时随地展开互动，开展个性化辅导和交流。课后反思模块除了交流和辅导之外，教师可根据学生的留言和问题进行归纳总结和分类整理，然后在线上反思模块中建立问题库，给出相应解答，为今后学习常微分方程的各级学生提供一系列的教学服务。

在建设关于常微分方程课程多元融合教学模式的过程中，探索出一种新的“探究+创新”式学习模式，并将教学目标向“数学问题的应用和理论体系的构建相结合”的方向推进。同时，依托各类教学平台，如超星、微助教和知到等APP的统计功能，将课前测试和预习、课中考勤和抢答、课后作业和讨论等环节的学习数据导出，再结合学期过程中的线上测验计算出平时成绩。最后，将平时成绩、过程性测验、期末成绩等3 项成绩按照一定的比例计入考试评价系统。由于多元融合教学模式包括线上和线下部分，因此，要特别注重过程评价。为了能够督促学生更多地参与到学习过程中，使得教学评价更公平、更客观，应在学期初根据课程内容和学生能力给出具体且详细的评价标准。在教学过程中，针对这些标准收集材料和数据，以此来支撑评价结果。

3 常微分方程课程多元融合教学模式的实践

基于学校教学现状，结合多年的教学经验，教研组经过长时间的探索与研究选取了王高雄等编写的《常微分方程》［1］作为教材，主要教学内容包括：一阶微分方程的初等解法、一阶微分方程的解的存在定理、高阶微分方程、线性微分方程组和非线性微分方程。随着近几年教师与学生对线上远程教学的需求，教研组着力建设网络教学平台，合理规划了线上自学内容。

学校全面普及智慧树推出的手机网课平台——知到APP，教研组主要在该平台中构建常微分方程课程网络教学资源，设计了课前自测题目、课程目标和重难点、课程知识精讲内容、课中模型案例的讨论、课后强化训练题、主题小组讨论与展示等教学活动。此外，还借助各类教学平台（微信、QQ、钉钉等）适时适量地发布学习任务，并对学生在学习过程中的数据进行记录和分析。同时，引入多媒体辅助教学，采用现代化教学方式，基于学生的学习情况及时调整教学内容和训练活动，逐步构建、实施和完善常微分方程课程的“线上”+“线下”多元融合教学模式。学生借助于线上资源进行预习和前测，通过该环节对新知识有一定的了解。教师课堂讲授时，鼓励学生积极发言，提出见解，师生共同学习经典模型应用的最新结果。同时鼓励学生课下查找资料、分析对比、理论联系实际。每个专题讲授完毕后，为学生布置1～2 个思考题，并给出相应的评价标准，鼓励学生思考、小组讨论。课后，针对教学重难点布置作业和讨论，检验学生掌握新知识的情况。为了顺利实施常微分方程多元融合的教学模式，需要事先准备充分的教学素材，提供学习建议，还要事先预测学生的各种问题和应对方案，建立完善的线上教学资源。线下课堂中，教师要控制协调学生的整个学习过程，在关键环节上要启发、激励和引导学生进行思考，做到理论知识与实际应用相结合。

教学评价方法的改革也是多元融合教学模式不同于传统教学形式的特色之一。本课程综合考核学生对课程知识的掌握情况、学生素质能力和创新意识等方面，采取综合性评价模式。学期末采用传统的闭卷形式，以应用题、证明题、计算题等来考查学生对相关知识的掌握和运用。学期中以3次测验（线上和线下结合的方式）为主，要求学生将数学建模与小组讨论相结合，变成数学建模式的小组学习。在此过程中，真正锻炼学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，并以此来提高学生的学习兴趣。同时，要求学生对于常微分方程的学习过程进行反思和思考，包括对于数学知识与思想方法的理解、对于常微分方程与社会实际问题的联系等思考。可以通过书面作业、小组讨论或者个人口头报告等形式进行评价，从而激发学生的学习动力，使学生能够深入地分析所学专业中实际问题的深度和广度，有利于知识的转化和吸收。此外，学生在讨论、汇报等环节的参与度相对比较积极，常常能够提出较深刻的问题，建立数学应用问题案例库，营造应用和创新氛围，最终使学生成为数学应用能力和创新能力培养的受益者。

网络教学平台经过近3年的完善与实践，“线上”+“线下”多元融合教学模式下的课堂教学效果得到了显著提高。学生通过“线上”的课前准备和测验环节，能够对新知识有一定的了解；通过“线下”的课堂提问环节，每一组代表都能准确回答，并展现出独特的思维风格，学习热情高涨。作为数学师范类专业的学生，他们不仅通过“线上”资源加深了对专业知识的理解，还通过“线下”多媒体教学及小组讨论等环节拓展了对教学方法的认知。在这种“线上”+“线下”多元融合教学模式下，教师充分发掘了学生身上的潜力，真正体现了师范专业认证标准所提出的以“学生为主体，教师为主导”的基本教学理念。

4 结论

综上，建立完善的线上学习资源，有助于学生化零为整、高效地利用碎片化的时间和地点来学习新知识。将线上资源与面授有效结合，并随着不同社会形态适当交替轮换，可以促进学生建立良好的自主学习习惯，调动学生的学习积极性，提高学生思维的广度和深度，最终实现高效课堂。总而言之，在高校常微分方程课程中开展“线上”+“线下”多元融合的教学模式是教学的趋势和方向，对于提升教学质量有着积极的促进作用。