解密平口单峰函数及其本质

华南师范大学数学科学学院(510631) 叶晓茵

华南师范大学附属中学(510630) 陈伟连

1 试题背景

上述试题蕴含平口单峰函数的命题背景,为了深入研究该类问题,我们现将上述试题一般化如下,以得到更一般的推广结论.

已知h(x) = |f(x)-ax-b| 对任意实数a、b, 存在x0∈[m,n],使h(x0)≥M,求实数M取值范围.思路分析:

(1)先把x0看成主元,把a、b看成常数,由题目条件存在x0∈[m,n],于是问题转化为M≤h(x)max=g(a,b);

(2) 接着把a、b视为主元, 把x0看成常数, 由题目条件对任意实数a、b, 那么问题转化为M≤[g(a,b)]min=[h(x)max]min;

(3)由上可知,解决这类问题就是求M≤[h(x)max]min.

2 引题呈现

(2017年高考浙江卷第17题)已知a∈ R, 函数在区间[1,4]上的最大值为5, 则a∈R 的取值范围为____.

3 平口单峰函数定理

平口单峰函数就是上面的一种特殊情况, 即当f(m) =f(n) 时, 在区间存在唯一的极值点x0(用拉格朗日中值定理可以证得),则h(x) = |f(x)-ax-b|在区间[m,n] 内的最大值的最小值为,当a= 0,取等号. 几何表示如图1.

图1

4 研究的几何意义

接下来,我们将从一个具体的题目来说明平口单峰函数定理.

例1已知f(x) =|x2-ax-b|对任意实数a、b,存在x0∈[m,n],其中m=-2,n=2,使f(x0)≥M,求实数M取值范围.

题目分析:f(x)在几何意义上为抛物线y=x2与直线y=ax+b在[-2,2]内横坐标取一样时,纵坐标之间的距离.M是这两条线垂直距离的最大值的最小值. 当直线斜率存在时,如图2,其中抛物线和直线之间的垂直距离M总比2 要大. 当斜率为0 的时候,其中y=x2与y=b2 的垂直距离M,总比在y=2 位置要大. 如下图3.

图2

图3

通过上面的几何揭示, 我们发现f(x0) 最大值的最小值M在处取到.

5 研究问题的代数证明

前面我们是从几何角度直观感受绝对值函数何时取得其最大值的最小值的情况,接下来将从代数的角度进行严格推导来揭示它的本质,其实平口单峰函数是切比雪夫最佳逼近直线的一个特例.

切比雪夫最佳逼近直线设A={g(x)=ax+b|a∈R,b∈R}, 若存在g0(x) ∈ A 使得对任意g(x) ∈ A, 有, 则g0(x) ∈A 称为f(x) 在切比雪夫下的最佳逼近直线, 也可以称.

由于运用代数来证明涉及到切比雪夫逼近直线,为了更直观的了解切比雪夫最佳逼近直线,其几何形式如下图.

(1)当f(x)为单峰函数时,如图4,其中过CM中点D且平行MN的直线就是最佳逼近曲线.

图4

(2)当f(x)为非单峰函数时,如图5,其中C为图像的切点,过C点作直线l1和平行于直线l1的l3,与直线l3和直线l1距离相等的直线l2为最佳逼近直线. 从几何角度来看,最佳逼近直线就是最贴近曲线的一次函数直线,恰好直线到曲线l2的最大距离比其他直线到曲线的最大距离都要小. 就是夹住曲线中间的两条直线l1、l3中间的直线l2.

图5

下面将用切比雪夫逼近直线定理和三点控制法来证明平口单峰的最佳逼近直线.

切比雪夫逼近直线定理若f(x) 在[m,n] 上具有二阶导数, 且f(x) 为凸函数, 则f(x) 的最佳逼近直线为, 其中,f′(x0) =k. 特别的, 当f(m) =f(n)时,直线的斜率为0,此时直线为最佳逼近直线,而h(x) = |f(x)-ax-b|在[m,n]内最大值的最小值为.

三点控制法从切比雪夫逼近直线定理可以看出,我们可以选取端点m,n、极值点x0,运用三角不等式来证明.

证设h(x) = |f(x)-ax-b| 最大值为M, 则有M≥|f(x)-ax-b|,x∈[m,n],M≥|f(m)-am-b|,M≥|f(x0)-ax0-b|,M≥|f(n)-an-b|,于是问题转化为证明M≥max{f(m),f(n),f(x0)}.

对上式乘相关系数,得

根据三角不等式|a| - |b| ≤ |a-b| ≤ |a| + |b|, 有

由于f(m) =f(n), 于是, 当a=0,时取到等号.

注三点控制法重点在于运用三角不等式消去带有a,b的项. 这个方法的原理来源于切比雪夫多项式.

6 研究问题的适用范围及其应用

6.1 直接用平口单峰函数模型

引题解答依题意即求f(x) ≤5,设,由于g(1) =g(4),则g(x)为平口单峰函数,且g′′(x)＞0,极值点为x= 2,则当时,f(x)取到最大值, 而观察式子得到当,g(x) 到y=a的距离小于5,即.

6.2 构造平口单峰函数模型

若f(m)f(n),设h(x)=|f(x)+ax+b|,x∈[m,n],若a,b的范围没有限制, 那么我们可以通过重新构造f(x)来运用平口单峰函数模型. 步骤如下:

(1)首先,设p(x) =f(x)+λx,令p(m) =p(n),求出λ的值;

(2)其次将式子变为h(x)=|p(x)+(a-λ)x+b|,运用平口单峰函数,得到最大值的最小值为,且当a=λ,时取到等号.

例1(2015 年1 月浙江省学业水平考试第34 题)设函数, 若对于a,b∈R, 总存在x0∈[0,4]使不等式f(x0)≥m成立,求使式子成立的实数m.

分析易知该题不符合平口单峰函数模型的情况, 即f(0)f(4),但是a,b∈R 不受限制,所以可以转化为构造平口单峰函数模型进行解题.

解根据平口单峰函数模型, 设, 当p(0) =p(4) 时, 求得, 则原函数转化为. 当时,解得x=1. 所以当时,此时函数的最大值的最小值为,所以.

6.3 不能用平口单峰模型

若f(m)f(n),但a,b受到限制的时候,即题目给出a=0,或者a0,则无法使用上述方法. 那么找目标函数最大值和最小值本质就是求切比雪夫逼近直线,结合三角不等式即可解决该类问题.

例2(2016 年天津高考理科数学第20 题) 设函数f(x) = (x-1)3-ax-b,x∈R, 其中a＞0,b∈R, 设g(x)=(x-1)3,求证|f(x)|在区间[0,2]上的最大值不小于.

分析由于g(0)g(2),所以不能直接用平口单峰函数模型.

解法一(切比雪夫直线逼近) 设g(x) =(x-1)3, 由设直线l2经过点M(0,-1) 且与曲线相切于点(x2,f(x2)), 由,得到极值点为, 则当x= 2,l1过点(2,1),l3过点, 则中点为, 则最佳逼近直线l2为斜率且过点的直线,, 则,如图6 所示.

解法二(点控制法) 设g(x) = (x-1)3, 极值点为,则有

则

注点控制法步骤归纳: ①求出[m,n]内f(x)的极值点x1,x2, ②运用M≥h(m),M≥h(n),M≥h(x1),M≥h(x2),结合三角不等式消去a,b求出M的值.

结语从以上的分析结果来看, 我们发现求函数h(x) = |f(x)-ax-b| 最大值的最小值, 其背景就是求使得M=h(m)=h(n)时,最小的M值. 我们从平口单峰函数模型出发,一步一步挖掘蕴含的背景知识,首先画图直观让学生感受切比雪夫最佳逼近直线. 通过分析切比雪夫逼近直线的几何直观来揭示本质,如果不能运用平口单峰函数模型,则可以通过切比雪夫逼近直线的几何本质,通过画图结合本质进行求解. 其实将高等知识带入高中课堂,就将这种知识背后的思想方法,通过几何直观和代数来让学生感受并且运用,本文旨在从几何、代数角度介绍平口单峰函数,同时从代数和几何角度来引入切比雪夫逼近直线,从几何角度分析切比雪夫直线的本质,从而面对一些变式的时候我们可以画图直观分析,再运用切比雪夫逼近直线的思想求解.