第四类切比雪夫型方程组的通解
2017-11-04曹嘉芮
曹嘉芮， 吴 康
(华南师范大学 数学科学学院，广东 广州 510631)
第四类切比雪夫型方程组的通解
曹嘉芮， 吴 康
(华南师范大学 数学科学学院，广东 广州 510631)
定义了第四类切比雪夫型一元方程(组)，通过各个方程根的两两配对，得到二阶乃至高阶方程组通解的表达形式.
切比雪夫型方程(组)；第四类；高阶；配对；通解
1 预备知识
第一类切比雪夫多项式(Tn(x))和第二类切比雪夫多项式(Un(x))是以俄国著名数学家切比雪夫的名字命名的特殊函数，起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是当前研究的一个热点,并得到了广泛应用.目前对第一至第三类切比雪夫型方程组的通解[1-4]有一定的研究，但对第四类切比雪夫方程组的通解问题尚未研究，本文基于切比雪夫多项式的实用性，对第四类切比雪夫型方程(组)进行深入的研究.
第四类切比雪夫多项式序列{Wn(x)}定义[5-6]为
其中n∈N,x∈R,且x<1,Wn(x)称为第n个第四类切比雪夫多项式.
2 引理
证明用数学归纳法证明.
当m=2时，由引理1知命题成立；
证明由数学归纳法证明.
当m=2时，由引理2知命题成立.
当m=n+1时，
又d′=(r1,r2,…,rt,2rt+1+1,…,2rn+1),所以d=(r1,r2,…,rt,2rt+11,…,2rn+1,rn+1).则
又d′=(r1,r2,…,rt,2rt+1+1,…,2rn+1),所以d=(r1,r2,…,rt,2rt+11,…,2rn+1,2rn+1+1).
综上，命题成立.
3 第四类切比雪夫型方程(组)
3.1 第四类切比雪夫型方程
定义1设n,m∈N,n>m,称方程Wn(x)=Wm(x)为第四类切比雪夫型一元方程.
3.2 第四类切比雪夫型一元二阶方程组
定义2设n1,n2,m1,m2∈N,n1>m1,n2>m2,称方程组
(1)
为第四类切比雪夫型一元二阶方程组.
情况3)同情况2)，不赘.
③同②，不详述.
3.3 第四类切比雪夫型一元三阶方程组
定义3设n1,n2,n3,m1,m2,m3∈N,n1>m1,n2>m2,n3>m3,称方程组
(2)
为第四类切比雪夫型一元三阶方程组.
情况3).证明同情况2),不赘.
3.4 第四类切比雪夫型一元r阶方程组
定义4设ni,mi,∈N,ni>ml,称方程组
(3)
为第四类切比雪夫型一元r阶方程组.
且2mi+2ri+2=ds(2si+1),i∈Z(t+1,2r).
证明
3.5 第四类切比雪夫型一元高阶方程组的应用
例3方程组
例4方程组
中,a11=5,b21=5,b31=15,a12=21,b22=8,b32=22,故d1=(5,5,15)=5,d8=(21,8,22).
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GeneralSolutionsoftheForthKindofChebyshevEquations
CAO Jiarui, WU Kang
(SchoolofMathematics,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510631,China)
The forth kind of Chebyshev equations with one unknown are defined. Get the general solutions of the two-order and high-order equations by pairing each root of equation.
Chebyshev equations; the forth kind; high-order; pair; general solutions
2017-05-06
华南师范大学研究生创新计划资助项目(2016LKXM71)
曹嘉芮(1994—)，女，福建长汀人，华南师范大学数学科学学院硕士研究生.
10.3969/j.issn.1007-0834.2017.03.005
O15
A
1007-0834(2017)03-0023-06
