变式拓展引领深度教学*

广州市第九十七中学(510288) 黄 艳

广州市南海中学(510170) 沈 钢

深度教学的核心理念是,确立发展性的教学价值观、知识观、学习观和教学过程观,克服表面的、表层的、表演的教学的局限性,走向意义性教学、理解性教学和生成性教学,引导学生深度学习,实现知识教学的育人功能. 本文以2022 年广州一模17 题数列题为例,阐述深度教学理念下的变式教学过程.

1 问题引领,深度理解

问题引领学习是教师以问题为导向引发学生观察、思维、理解、想象、转化和迁移,引导学生通过多种学习行为,达到学习的充分广度、充分深度和充分关联度,为学生的学科素养奠定发展基础.

题目: 在等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一,第二,第三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列 第二列 第三列第一行 3 2 3第二行 4 6 5第三行 9 12 8

(1)写出a1,a2,a3,并求数列{an}的通项公式;

(2) 若数列{bn}满足bn=an+(-1)nlog2an, 求数列{bn}的前n项和Sn.

问题1: 此题考查了什么知识点?

该题主要考查等比数列的定义,根据等比数列的定义从不同行和不同列中找出符合等比数列的前3 项,然后根据等比数列的定义求出通项公式;第2 问也是高考常考方式,数列求和问题.

问题2: 解决此题关键是解决什么问题?

第2 问本质是分组求和, 一组是数列{(-1)nlog2an},这种数列的求和问题,其实也是一个分组求和.

问题3: 第一问是基础题,第二问本质是数列的分组求和,解决此题重点是解决数列{(-1)nn}的前n项和,观察这个数列的组成特征,利用数列求和知识,你会有哪些解法呢?

学生给出了3 种不同的解法,如下.

∵bn= 2n+ (-1)nn, 记{2n} 的前n项和为Mn,, 记cn= (-1)nn的前n项和为Tn.

解法1 (配对求和)当n为偶数时,

当n为奇数时,

注: 数列题最后可用验证来检验结果是否正确,此题分奇偶验证.

比如,当n= 1 时,,当n为偶数时,. 正确.

学生分奇偶分类,不会借用已经得到的结果去解决未知问题,当n为奇数时,还是相同办法去配对,然后把多余的项加上,教师首先是肯定学生的解法,提出问题串.

问题4: 请同学们联想学习两角和与差的正弦余弦定理时,是如何推导的? 当两角差的余弦定理推导出来后,两角和的余弦是怎么推导的? 两角和与差的正弦和正切呢?

两角和的余弦公式是利用已知推导的两角差的余弦公式推导出来的,两角和的正弦又是利用两角和的余弦推导出来的,两角差的正弦公式由两角和的正弦推导出来的,两角和的正切公式由两角和的正弦余弦公式推导出来的.

通过教师的问题引导和公式的推导演示,让学生明白数学的学习是建立在已知定理和结论上进行的, 要善于观察,发现已知结论和未知问题的联系, 培养解决新问题的意识,然后教师可以追问.

问题5: 当n为奇数时,前n-1 项和与前n项和有什么关系? 前n-1 项和已知吗?

通过教师的问题引导和追问,接下来学生非常容易得出,当n为奇数时,Tn=Tn-1+cn,教师接着肯定学生的结论,继续追问.

问题6: 当n为奇数时,Tn=Tn-1+cn,这个等式是否总是有意义?

在老师的引导下学生不难发现,当n= 1 时,等式不成立. 教师故意引导学生从前n-1 项和与前n项和的关系发现规律,又引导学生发现不严谨之处,引发学生深度思考,进入层进式学习. 然后教师继续追问,那应该怎么调整呢? 有了教师问题串的引导,学生已经进入深度思考和理解,有些学生可以回答出Tn=Tn+1-cn+1. 教师加以总结数列前n项和问题的特点,即与前一项有联系,也与后一项有联系,学习数学要用联系和发展的眼光来看待问题,正如数学的核心素养一样要培养学生学会把所学的数学知识都排除或忘掉后剩下的东西,或者说从数学的角度看问题以及有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达的意识与能力.

为了学生更好的理解利用数学之间的联系,用已知结论解决未知问题的数学学习方法,继续追问.

问题7: 请同学们回忆我们学习了正弦函数的图像后,是如何学习余弦函数的图像的? 同角的正弦与余弦有什么联系呢?

问题8: 你能举个用已知结论推出新结论的例子吗?

学生展开联想, 例举出, 二倍角由两角和的正弦, 余弦,正切公式推出来的; 研究空间向量是类比平面向量的知识;研究三角函数的图像与性质的方法类比基本初等函数的研究方法,先定义,再图像,由图像研究形式. 故当n为奇数时,.

问题9:cn=(-1)nn的前n项和还有其他解法吗?

在前面的引导下,学生优化了解法2,展示了解法3.

解法2 (分奇偶项求和)当n为偶数时,

当n为奇数时,

解法3 (错位相减求和)cn=(-1)nn,

上式相减得

注: 验证n=1 时,∴T1=-1,正确.

从学生的角度来看, 此题数列{(-1)nlog2an}的求和,学生比较多用的是解法3,用解法3 的学生基本也是正确的,把cn=(-1)nn看成等比数列乘以等差数列求和问题,用错位相减的方法求解. 而解法1,和解法2 极少数学生选择,并且不能正确分奇偶项求和.在讲评这题这题时,教师分别请各解法较好的代表演示和讲解解法,教师在适当的步骤进行引导.

解法3 是学生比较容易接受的方法,错位相减,解法1 和解法2 是分最项是奇数和偶数;其中解法1 的本质是利用等差数列前后两项的差是定值公差来配对,所以分偶数个刚好可以配对,解法2 是按奇数项和偶数项分为两个不同的数列,然后按最后项是偶数和奇数分类,体现了奇偶项分类的数列求和方法. 三种解法本质是分段数列的前n项和常用方法.

2 变式拓展,培养高阶思维

数学问题犹如客观事物一样,是普遍联系和变化发展的,教师在数学教学课堂要培养学生用联系和发展的方法观察和分析问题的能力. 教师的教与学生的学的关系既不是对立关系,也不是对应关系,而是一种具有相融性的一体化关系,离开了教无所谓学,离开了学业无所谓教,教与学一致性是教学相融性的属性,那么教与学的深度,无论是价值达成的深度,还是知识理解的深度,学习过程的深度,都指向学生高阶思维和学科素养的表现.

2021 年全国卷1 的数列题也是一个奇偶项分类的数列求和问题,结合广州一模题和高考题,教师引导学生对分段数列的前n 项和的常见题型进行提炼和推广.

变式1 若cn=an±bn,其中{an},{bn}为常见可求和的数列,数列{an},{bn}可以为哪些类型的数列? 该如何求和呢?

数列{an},{bn}可以为等差,等比数列,等差乘以等比数列,可以裂项相消求和的数列,常数数列,总之是可以求和的数列. 可以用等差,等比或错位相减,裂项相消方法分组求和.

变式2 若cn= (-1)nan,其中{an}为等差数列,公差为d,首项为a1,该如何求和?

根据2022 年广州一模的数列题的解法分析,学生不难由特殊到一般进行方法总结.

解法1 (配对求和)当n为偶数时,

当n为奇数时,.

当n为奇数时,.

解法3 (错位相减求和)cn= (-1)nan,其中{an}为等差数列,公差为d,首项为a1,

上式相减得

评析 其前n项和的求法中,解法1 运算最简洁,解法2运算适中,解法3 错位相减思路简单,计算量大.

教师通过特殊例子让学生进行一般化归纳总结,对知识多维度,多层面的深度理解,对知识的科学本质规定性的理解,聚焦问题,关注情境,引导方法,思维才可能真实发生.

变式3 变式2 中的数列{an}可以是其他数列吗? 若cn= (-1)nan,公比为q,首项为a1,数列{an}是等比数列,又该如何求其前n项和Tn呢? 你有几种方法求解呢? 这个问题是给学生课后去探究,最后发现学生的解法非常多,在教师和学生共同总结和修正下,呈现出了以下几种解法.

解法1 (合成等比数列)cn=(-1)nan=(-1)na1·qn-1= -a1(-q)n-1是首项为-a1, 公比为-q,.

解法2 (类比变式2 的解法1 配对求和)当n为偶数时,

当n为奇数时,.

解法3(类比变式2的解法2 分奇偶项求和)cn=当n为偶数时,

当n为奇数时,.

解法4 (类比变式2 的解法3 错位相加求和)

前人的认知成果或所谓知识对儿童青少年的成长,仅仅具有“假定性意义”,真正的教育不是把知识及其假定性意义直接告诉学生,更不能要求学生对假定性意义直接接受,而是要通过感知与理解,抽象与移情,感悟与升华,体验与反思等活动过程,生成新的意义. 没有新的意义的生成,一切按照知识的假定性意义来灌输,那就是走向了教育的反面,当然新的意义的生成过程,就是学生的成长过程,也是学生的高阶思维的形成过程.

学生在教师的问题引领下,深入思考,类比总结,由2022年广州一模的一道特殊的数学求和问题归纳出变式的2 的一般形式及解法,又在教师问题的推动下继续思考,类比已经生成的知识的思考方式,拓展了变式3 的多种类似的解法,让学生感受到数学的知识不仅仅是一个“点”,而是一个多维度的“知识网”,“意义网”,在教学中教师的教学环节要清晰,目标针对性明确,并将目标任务化,引导学生层进式理解,提升层进式思维,达到深度学习的目的.

变式4 数列求和有等差, 等比, 错位相减求和, 若cn= (-1)nanbn,{an},{bn} 分别是等差, 等比数列, 公差为d,公比为q,首项为a1,b1,又如何求其前n项和Tn呢?

方法: 类比变式2 的错位相减法合成等比数列与等差数列相乘和变式3 的解法4 的错位相加法(-1)nan合成等比数列,用错位相减求和.

根据数列{an},{bn} 的特点求和, 当n为奇数时,Tn=Tn+1-cn+1.

变式6 我们知道数列通项一般有分式,会用裂项相消求和,若,其中{an}是等差数列,如何求其前n项和Tn呢?

当n为奇数,Tn=Tn+1-cn+1或

解法2: (根据分式特点化为分式和)

当n为奇数,Tn=Tn+1-cn+1或

经过前面6 个变式的深入思考和理解与归纳,学生对分段数列的求和有了广度和深度的多维认识,但是知识的意义达成是无界的,在后续的学习中,还会出现有关联有深度的数列求和问题,学生可以用已经掌握的数列求和的一些思维方法去类比探索,并学会用所掌握知识的学习方法去解决其他数学问题,生活上的问题,用数学的观点去观察事物,解决问题.

在高三数列的复习中,不忘初心,方能得始终,万变不离其宗,好好研究分段数列的求和的各种模型,并在一些典型问题的基础上进一步加以变式探究, 这点就显得尤为重要,可以有效避免题海战术,真正做到开拓学生的数学思维,拓展学生的数学学习能力,提升学生的数学素养,培养学生的数学核心素养.

理解是教学的根本基础,没有理解就没有生成,更没有学生的发展,为“理解而教”是教学科学性的起点,也是深度教学的实质,深度理解包括新旧知识的联结,知识与已有经验的联结,以及知识与情景和知识的发生过程的理解,从而把握知识本质及其意义,形成新的知识结构.