单元整体教学在中考数学复习课的应用——以定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”复习教学为例

广东省佛山市三水区三水中学附属初中(528100) 罗增胜

1 教学过程

1.1 定理复习,巩固概念

1.1.1 定理呈现

定理: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

教材位置: 北师大版九年级上册第一章“特殊的平行四边形”第1 节“矩形性质与判定”;人教版八年级下册第18 章第2 节“特殊的平行四边形”.

教学意图旨在复习定理的基本内容,分析定理在教材中的位置与作用,帮助学生总体上回顾定理. 在教学中,教师引导学生区分该定理在两种主流教材的呈现形式. 人教版教材直接指出利用矩形的性质得到直角三角形的一个性质(定理), 而笔者所在地市使用的北师大版教材则安排在“议一议”中,提出问题,让学生自主探究,并未给出定理证明的具体方法. 笔者认为,北师大版教材的呈现形式更能激发学生的求知欲,更容易提升学生的思维能力,这也契合了卜以楼老师所提倡的“生长数学”理念.

1.1.2 定理证明

已知: 如图1,在ΔABC中,∠ABC=90°,点O为AC的中点.

图1

教学意图旨在复习定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明方法. 本定理的证明较有技巧,灵活运用了矩形对角线相等的性质, 需延长线段BO到点D,使得OD=OB,连接AD,CD,如图2. 证明四边形ABCD为矩形,再由对角线相等得到AC=BD,进而证得. 而证明矩形常用的方法有两种, 这两种解法对中考复习很有帮助, 也是中考压轴题解题中常用的方法. 法一是用“边角边”证明了ΔAOBΔCOD,再由全等三角形对应边和对应角相等, 得到AB=CD,∠BAO= ∠DCO,从而AB//CD,这样得到四边形ABCD为平行四边形,结合∠ABC=90° 得到四边形ABCD为矩形;法二是利用对角线互相平分得到四边形ABCD为平行四边形,结合∠ABC= 90° 得到四边形ABCD为矩形. 法一使用的“倍长中线”法是一种重要的辅助线作法,法二可以帮助学生复习解题中较少用到的判定平行四边形的方法,两种方法都是中考压轴题解题的重要方法.

图2

1.1.3 简单应用

例题1已知: 如图3, 在ΔABC中,AD⊥BC,E,F分别是AB,AC的中点, 且AB=AC.

图3

求证:DE=DF.

变式1已知: 如图3,在ΔABC中,AD⊥BC,E,F分别是AB,AC的中点,且DE=DF.

求证:AB=AC.

变式2如图4,点C和点D在AB的异侧, 如果∠ACB= ∠ADB= 90°, 点E是AB的中点,连接CE,DE,那么线段CE与DE长度相等吗?

图4

变式3如图5, 点C和点D在AB的同侧,如果∠ACB= ∠ADB= 90°,点E是AB的中点,连接CE,DE,那么线段CE与DE长度相等吗?

图5

变式4在学习“圆”一章时,我们学习了圆周角定理的一些推论,其中一个推论是“90° 的圆周角所对的弦是直径”,你是怎样证明的? 请完成以下的证明:

已知: 如图6,ΔABC的三个顶点A,B,C在⊙O上,∠ABC=90°.

图6

求证:AB为直径.

教学意图: 例题及变式均为定理的直接运用,例题1 与变式1 是条件与结论互换,变式2 与变式3 是图形的位置变化,变式4 是本节复习课的亮点,整合了“圆”一章的知识,目的是对圆周角定理推论进行复习,是基于单元整体教学视角下的教学设计. 将矩形、直角三角形、圆三个独立的内容通过定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”联系在一起,串联多个知识点,体现了整体性和关联性. 这样,通过系列的变式找出不同问题的共同特点以及解决问题的基本方法,降低了解决问题的难度,大大的提升了复习的效率.

1.2 逆向思考,拓展提升

例题2已知: 如图7,在ΔABC中,点O为AC的中点,且.

图7

求证: ∠ABC=90°.

变式5在学习“圆”一章时,我们学习了圆周角定理的一些推论,其中一个推论是“直径所对的圆周角为直角”,你是怎样证明的? 请完成以下的证明:

已知: 如图8, ΔABC的三个顶点A,B,C在⊙O上,AB为直径,连接OC.

图8

求证: ∠ACB=90°.

教学意图例题2 实际上是定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半, 那么这个三角形是直角三角形”的证明, 该命题为真命题, 为北师大版初中数学九年级上册第14 页数学理解第4 题的内容. 设∠A=α,∠C=β, 由题设可知OA=OB=OC, 所以有∠OBA=∠A=α,∠OBC=∠C=β,这样,由三角形内角和得到2α+2β= 180°,从而∠ABC=α+β= 90°. 变式5 为“圆”一章的复习,解决方法同例题2. 变式5 与变式4 均为整合的内容,建立在学生已有认知的基础上,注重了前后知识的整体性和关联性. 解题中体现了数形结合的思想,能更直观的帮助学生理解角度关系,更高效的解题,这种方法可以有更广的应用价值,下文将通过例题及变式强化.

1.3 拾级而上,学以致用

例题3如图9, 在ΔABC中,∠ACB= 90°, 分别以点A和点C为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点, 作直线MN, 直线MN与AB相交于点D,与AC相交于点E,连接CD,若AB=4,则CD的长是_____.

图9

变式6如图10,E,F分别是ABCD的BC,AD边上的点,且CE=AF,AE=BE, ∠BAC=90°.

图10

求证: 四边形AECF是菱形.

教学意图: 例题3 虽有直角作为条件,但并没有点D为斜边中点的条件, 亦无DA=DB=DC的条件, 因此, 与例题1 和例题2 有所不同. 教师应启发学生分析已知条件,区分题目结构, 寻求解题方法. 学生在例题2 的数形结合法的启发下,设∠A=α,可由线段垂直平分线的性质得到DA=DC,从而有∠A= ∠ACD=α,由∠ACB= 90° 得∠B=∠DCB=90°-α,所以得到DB=DC,这样就有了DA=DB=DC,从而得到. 例题3 还可以有其他解题方法,由图可知直线MN为线段AC的垂直平分线,由定义可知点E为中点,易知DE//BC,这样根据平行线分线段成比例定理得到点D为中点,就可以利用定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解决问题了. 例题3 的两种解法均可用在变式6 中,因此,变式6 能有效的强化例题3 的教学,这样,通过例题3 和变式6 复习了线段垂直平分线的定义与性质,复习了平行线分线段成比例定理,复习了平行四边形和菱形的性质与判定,从而达到了串联知识以实现高效复习的目的,同时,也强化了数学结合思想.

变式7(2023 年广东中考第22 题节选)如图11, 在矩形ABCD中(AB＞AD),对角线AC,BD,相交于点O,点A关于BD的对称点为A′,连接AA′交BD于点E,连接CA′.

图11

求证:AA′⊥CA′;

教学意图本题为2023 年广东中考数学真题的节选, 有多种解题方法, 较为常见的方法是由点E和点O为中点,得到OE为中位线,推出OE//A′C,进而由OE⊥AA′得AA′⊥CA′. 除了这种方法,教师可引导学生利用本节课复习知识解题,连接OA′,由轴对称得OA=OA′,由矩形的性质得OA=OC,从而有OA=OA′=OC,这样又回到了上文的变式5 了. 可以用变式5 的证明方法解题,也可以由圆的定义解题,由OA=OA′=OC得知A,A′,C三点共圆,再由圆周角定理的推论“直径所对的圆周角为直角”得到∠A′=90°. 本题既可让学生练习中考真题,还是本节所复习的内容的升华,有一石二鸟之妙.

2 教学思考

2.1 关注数学内容的本质

众所周知,《义务教育数学课程标准(2022 年版)》明确指出,“单元整体教学设计要整体分析数学内容本质和学生的认知规律, 合理整合教学内容”[2], 而定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的本质是矩形性质的延伸,“90°的圆周角所对的弦是直径”和“直径所对的圆周角为直角”这两个圆周角定理的推论的本质就是定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”. 中考复习的内容非常多,零散的知识点之间有着紧密的联系,在中考复习课中,抓住数学问题的本质,整合零散的知识,理清数学内容的内在逻辑,有助于帮助学生构建数学知识网络,形成有机的整体,进而促进学生深度学习.

2.2 关注学生的认知逻辑

教师是课堂的引导者,而学生是学习的主体,教学设计要遵循学生的认知规律和心理特点,循序渐进,中考复习的知识是零散的,教师要依托教学内容,巧妙设计课堂的各个环节,精选题目,帮助学生激活记忆,巩固已学内容. 教学设计要从简单到复杂,在学生建立了整体的认知结构后,再进行知识的延伸和深拓,如例3 及对应的变式6、变式7 为本节课的升华,所选题目指向了学生已有的认知,符合学生的思维特点. 题目较之前的定理证明和练习在难度上有一定的提升,使学生形成认知冲突,学生的求知欲被激活. 有了之前的方法提炼,学生思维被打开,解决问题便水到渠成了.

2.3 关注数学思想方法

作为概念或定理复习课,既要发挥到巩固知识、延伸拓展的作用,也要让学生感悟思想方法和发展解决数学问题的能力,学生在知识的再认知过程中,进一步领悟定理证明和习题解决过程中用到的数学思想方法,提炼出一般的解题方法,显得尤为重要. 比如本节课的数形结合思想,在不同的题目中有着同样的应用,题目变化了,但解题的数学核心思想方法并没有变化,通过变式练习,培养了学生在变化中寻找不变的思维能力.

2.4 关注中考复习的整体性

在中考复习课中应用单元整体教学理念,对教师的要求较高,并不是简单地重复学生在新课中的知识,而是对初中三年所学习内容的进行整合,挖掘所复习知识内部的紧密联系,这就需要教师对教学内容有更好的研究. 除了老师平时教学的积累,还需要备课组的通力合作. 在习题选取时,要基于复习的目标选择适当的题目, 要注意知识点的全面覆盖,注意题目的延伸,这样才能更好地实现整体性,进而提高中考数学复习效率. 本节课在基于单元整体设计理念的指导下,从学生学习的方法和认知特点的一致性角度进行整体的设计,对中考数学的复习有着深远的意义.