基于状态估计的分数阶线性系统同步控制

蒋文芳，刘 恒

（广西民族大学 数学与物理学院，广西 南宁 530006）

在过去的几十年里，分数阶微积分在各个领域得到了广泛的应用，例如在测量和自动化科学的工程[1]、自动控制理论[2]、交通流短时预测[3]、神经网络研究[4]等领域。与整数阶系统相比，分数阶系统可以更准确地描述物理现象，因为它具有记忆性和遗传性。近年来，针对分数阶线性系统，学者们已经做了很多研究工作，例如文献[5]研究了由Caputo-Fabrizio 导数描述的分数阶线性系统的稳定性；文献[6]提出了一种新的离散分数阶滑模控制方案，保证了线性电机控制系统的期望跟踪性能。随着研究的不断深入，分数阶线性系统的同步问题受到了很多学者的关注。例如文献[7]研究了有向连通拓扑下分数阶复杂网络与一般线性系统的同步问题，利用伪状态变换技术和矩阵的实Jordan 正则形式，将同步问题转化为相应独立子系统的等效稳定性问题；文献[8]研究了具有一般线性动力学的分数阶复杂网络在连通拓扑下的同步问题，通过引入伪状态变换，将该问题转化为独立子系统的等效同时镇定问题；文献[9]研究了一类分数阶线性系统的预览跟踪控制，基于系统与其增广误差系统之间的关系，可以得到原系统的预览跟踪控制器。

但在上述文献中，考虑的响应系统的状态都是已知的。实际上，在一些应用中，某些信息（状态）存在无法测量或难以直接测量的情况，而这些信息（状态）会影响到控制器的设计效果。文献[10]提出状态变量并不都能通过测量得到，可采用输入状态稳定性理论分析闭环跟踪系统的鲁棒性，并据此给出控制系统参数调整的指导性准则；而鲁棒性强调的是控制器的结构本身特征。因此，在这种情况下的同步控制问题值得进一步研究。近年来，研究人员提出了一些动态系统状态估计的方法，如卡尔曼滤波[11]、H1滤波[12]、分数阶扩展状态观测器[13]、鲁棒观测器[14]、阶降阶观测器[15]等。其中，基于观测器的状态估计这一方法易于实现，已在许多实际系统中得到了应用。例如文献[16]设计了一种非奇异的鲁棒伪状态估计器去观测状态未知的分数阶线性系统；文献[17]针对一类分数阶线性系统，通过重构状态变量设计观测器，分析了系统在无干扰情况下的有限时间稳定性，并由观测器估计出系统状态和干扰；文献[18]提出了一种基于线性矩阵不等式的新方法来解决分数阶线性系统的稳定性和镇定问题，并给出了基于观测器的分数阶线性不确定系统二次稳定性的充要条件；文献[19]针对线性时不变单输入单输出系统，建立了联合状态参数估计的全局渐近收敛性，提出了自适应状态观测器的潜在应用；文献[20]根据Mittag-Leffler 稳定性的充分条件，研究了状态反馈镇定问题，然后在一些充分的假设下构造了观测器。然而，上述文献的研究都集中于阶数在（0，1）之间，而且由于分数阶运算的性质，其结果不能直接应用到阶数在（1，2）之间的分数阶线性系统上。因此，在这种情况下，分数阶系统的状态观测器的设计有待进一步研究。

根据以上讨论，本文研究了基于状态观测器的分数阶阶数在（1，2）上的线性系统的同步控制问题，主要贡献如下：1）相比于大多数的相关文献，本文研究的是阶数介于（1，2）之间的分数阶线性系统的同步控制问题，得出的相关结果具有较好的理论意义；2）相较于文献[18-19]，本文令α=2 β，将α 在（1，2）上的分数阶线性系统的同步问题转化为阶数β 在（0，1）上的分数阶线性系统的同步问题，并且假设响应系统的状态是未知的，设计了观测器。

1 预备知识

1.1 分数阶微积分概述

下面给出一些有关分数阶微积分的定义和性质。

定义1[21]分数阶积分定义为

常见的分数阶导数定义有3 种，但在实际应用中，由于Caputo 分数阶导数与整数阶导数定义的初始条件形式一致且有较好的物理意义，所以本文采用Caputo 分数阶导数的定义。

定义2[21]设f（t）是（0，t）上的光滑函数，则其Caputo 分数阶导数为

引理2[23]设x（t）∈Rn是连续可微的向量函数，则下列不等式成立：

1.2 线性系统描述

为了研究分数阶线性系统的同步控制问题，设响应系统模型为

其中：α∈（1，2）是系统的阶数；X（t）=（x1（t），x2（t），…，xm（t））T∈Rm是响应系统的未知状态向量；M（t）=（m1（t），m2（t），…，mn（t））T∈Rn是可测的输出向量；u（t）=（u1（t），u2（t），…，uq（t））T∈Rq是控制输入向量。A∈Rm×m，B∈Rm×q，在这里假设C∈Rn×m是行满秩的常数矩阵，并且m >q，m >n。假设X0∈Rm，X（0）=（0，0，…，0）T。

驱动系统模型为

其中：Y（t）=（y1（t），y2（t），…，ym（t））T∈Rm为已知的状态向量；S（t）=（s1（t），s2（t），…，sn（t））T∈Rn为输出向量。假设Y0∈Rm，Y（0）=（0，0，…，0）T。

由于大部分研究成果集中于阶数在（0，1）上而本文研究的阶数在（1，2）上，为了使用已知的理论和便于控制器的设计，注意到一阶导数初值为0，根据引理1，本文使用变量替换法将响应系统（1）和驱动系统（2）进行如下转换。令α=2β，则有

和

其中：β∈（0，1）为系统的阶数；v1（t）=（v11（t），v12（t），…，v1m（t））T∈Rm和v2（t）=（v21（t），v22（t），…，v2m（t））T∈Rm分别为响应系统和驱动系统的中间变量。

2 响应系统观测器的设计

由于响应系统（5）的状态未知，因此可设计观测器

为进行稳定性分析，定义响应系统（5）的观测误差为

根据以上分析，可得如下定理：

定理1对于系统（5）和（7），若可以选择增益矩阵L，使得Ω=HTH（E -LC1H）为半负定的，则动态误差系统（9）是渐近稳定的。

3 同步系统的控制器设计

在本节中，为了设计反馈控制器使响应系统（5）跟踪驱动系统（6），首先定义同步误差

其中e3=Z2-Z1，则同步误差e 的动态方程为

为了使响应系统（5）能有效地跟踪驱动系统（6），设计同步控制器

根据上述分析，本文的主要结果如下：

证明：构造Lyapunov 函数

根据式（11）、（13）和（14），对V 求β 阶导数，可得

4 数值仿真

为了验证所设计方法的有效性，设计响应系统为

驱动系统为

其中初始状态y0=（0，0，0）T。

由于给出的系统阶数α∈（1，2），因此，使用变量替换法将其化简。响应系统为

驱动系统为

其中Z2=（y1，y2，y3，v21，v22，v23）T。

根据理论分析，先取

显然，Ω 是半负定的，满足定理1 的条件，因此，观测误差是渐近稳定的。

根据上述结论，首先取

显然，Λ 是半负定的，满足定理2 的条件，因此，同步误差是渐近稳定的。

仿真结果见图1—图2。图1 中（a）为观测误差随时间t 变化的图像，从图中可以看出，观测器的设计使得观测向量逐渐趋于真实向量x；（b）为同步误差随时间t 变化的图像，从图中可以看出，控制器的设计使得响应系统状态向量x 与驱动系统状态向量y 趋于一致。图2 为控制输入u 随时间t 变化的图像。

图1 观测器误差和同步误差随时间变化的图像Fig.1 Diagram of observer error and synchronization error over time

图2 控制输入u1、u2 与u3 随时间t 的变化图像Fig.2 Time responses of Control inputs u1，u2 and u3

5 结束语

本文的创新之处在于，针对阶数在（1，2）之间状态未知的分数阶系统，采用变量替换法将其简化为求解（0，1）之间线性系统的同步问题，并设计了反馈控制器，利用Lyapunov 方法证明了误差系统的稳定性。此外，由于响应系统的状态是未知的，因此设计了状态观测器。基于分数阶Lyapunov 稳定性判据，观测误差和同步误差渐近稳定。仿真结果验证了观测器和同步控制器的有效性。进一步的工作将集中于分数阶系统阶数在（1，2）之间的非线性系统的研究。