基于微积分的牛顿力学教学测评

徐明骄,冯福洋,陈兰馨,章 梅

(1. 北京师范大学 物理学系,北京 100875;2. 北京师范大学 天文学系,北京 100875)

物理学是研究物质基本结构与运动规律的自然科学,应用广泛,是许多其他自然科学与工程技术的理论基础.基础物理是理工科学生的一门通识必修课程,学生通过本课程的学习,了解各种物理现象的本质规律,提升科学素养,为今后的专业学习奠定必要的物理基础.基础物理课程内容庞杂且难度较大,学生在学习过程中往往会遇到诸多困难而丧失学习兴趣;课程内容涵盖力、热、光、电四个部分,其中力学部分是大一学生学习物理的起点,该部分牛顿力学的学习又基于对微积分思想的理解并依赖微积分数学工具的应用,学生对此较为陌生;此时的学生又经历着从高中学习到大学学习的过渡,学习方法还不成熟,教学上需要面对的问题更多.因此在基础物理课程的开端即力学部分的教学中,有必要及时进行教学检测与结果评估.

教学评估是教育的重要组成部分.良好的评估可从教与学两方面促进教育的发展,不仅能够衡量学习者的学习成效,影响学生的学习动机,帮助学生实现他们的目标,同时也能够帮助教师明确学生的疑难所在,从而有针对性地解决问题,进一步提高教学水平[1,2].教学评估可分为两大类别,一是标准化测验,即命题、施测、评分和分数解释等各环节均进行标准化科学化规范的测验,能有效反映测试目的;二是非标准化测验,即未进行严格标准化的测验,如课堂评估,包括教师自编课堂测验、作业分数、教师与学生的谈话等等[1].

本研究将立足于基础物理基于微积分的牛顿力学部分的测验成绩分析,利用力学概念测试卷(Force Concept Inventory,简称FCI)对学生进行标准化测验,利用教师自编基础物理力学测试卷进行非标准化测验,评估学生的理解与掌握水平,分析问题原因,并提出改进教学的相关建议.

1 研究设计

1.1 研究对象

本文研究对象为北京师范大学基础物理BI课程06班2022级共125名学生的FCI成绩与力学测试成绩,学生所学专业包含地理科学与数学两大类.

FCI是美国David Henstenes研究团队依据牛顿力学体系的基本概念设计而成的标准化测量工具,具有较高的信度与效度,涵盖运动学、牛顿第一定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律、力的合成与分解、力的种类六大类内容[3],旨在检验学生对牛顿力学基本概念的了解情况.为消除学生对英文理解的偏差影响,本研究FCI量表选用修订后的中文版问卷[4].FCI量表共有30道单选题,每小题均有A、B、C、D、E共5个选项,每题1分,满分30分.基础物理力学部分测试卷为本课程授课教师自编,侧重考查基础物理课程中经典运动学与经典质点动力学相关内容的计算应用,共有6道计算大题,每题10分,满分60分.

1.2 研究方法

在学生系统学习过基础物理课程力学部分中经典运动学与经典质点动力学的内容后,使用FCI量表与力学测试卷对学生进行后测,利用社会科学统计软件(简称SPSS)对成绩进行统计分析,在此基础上进一步分析学生对测试卷所考查的知识能力的掌握情况.

2 研究结果与分析

2.1 FCI量表成绩分析

(一) 描述性统计分析

FCI量表共回收100份,其中有效问卷为95份.通常将FCI满分的60%即18分作为牛顿物理学概念的入门门槛[5],获得18及以上分数可认为学生对力学概念理解掌握情况较好,低于18分认为掌握情况较差,有待于进一步学习提高.

表1 FCI量表成绩描述性统计量

运用SPSS软件对FCI量表成绩进行描述性统计分析,如表1所示,本次测试入门率接近99%;满分30分,其平均分达到26.49分,分数较高;并且结合图1与图2中具体的得分情况,可认为该班级学生对力学概念的理解水平整体较高.

图1 FCI量表成绩频数分布图

(二) 具体题目分析

为了解学生对力学概念的理解情况,如图1所示,本文统计了量表中每一道题目的得分率,从中选取得分率低于80%的题目即第3、8和17题进行详细分析.

图2 FCI量表每题得分率

表2 FCI量表第3、8和17题作答情况

第3题考查直线运动中自由落体运动的原因分析,得分率为63.2%.学生的错误选项较多集中在A、E上,我们推测这是由于大学生经受过长期的物理学习训练,不会轻易受到头脑中错误前概念的影响,会更多地运用科学的推断方法而非原始直觉的思维方式,因此多数同学不会错选物体趋向地面是一种自然属性,或物体速度越来越大是因为受力越来越大这样的观点.大学生因了解到较多的物理模型,会考虑物体在下落过程中不仅受到重力还会受到空气阻力,但却忽略了题目中所给的情境满足自由落体运动的条件,错误地将问题复杂化.

第8题考查对牛顿第一定律的理解,得分率75.8%.学生的错误选项多集中在D上,结合学生以往物理学习过程中所做的练习可知,学生对D选项描述的抛物线路径接触更多也更加熟悉,如物体平抛运动的路径,所以学生可能并非不理解牛顿第一定律,而是将头脑中熟悉的情景套用在本题中,忽略了题目给出的冲击力是瞬时的,错误认为冲击力像做平抛运动的物体所受重力一样是守恒的.

第17题考查牛顿第二定律,得分率为69.5%.学生的错误选项多集中在A、D上,认为上升的升降机受到钢索的拉力大于所受重力,或拉力大于重力与空气阻力之和,没有审清题目中升降机匀速上升与不受一切摩擦的条件,也有可能受到近期经常利用拉力与重力求物体加速度的习题训练的影响.

通过以上分析可知,尽管学生整体对牛顿力学概念的掌握情况较好,但仍存在细节问题,如自动抓取材料中与以往学习遇到的相似要素与相近情境,受到思维定势的影响而错误判断当前问题.根据认知策略迁移理论[1],认知策略的成功迁移是指学习者能够辨别新问题的要求并将已获得的知识或技能正确用于解决新问题上,因此在教学中应加强引导学生梳理好条理清晰、组织良好的信息呈现框架,做好新旧知识与技能异同点的识别与区分,明确不同策略的使用范围与使用程序,促进学生学习的正迁移.

2.2 力学测试卷成绩分析

(一) 试卷设置分析

与FCI量表考查牛顿力学概念不同,本力学测试卷侧重考查基础物理课程中经典运动学与经典质点动力学相关内容的计算应用,进而评估学生对本阶段力学内容的掌握情况.测试卷共六道计算题,每题考查内容如表3所示,基本覆盖本阶段学习内容.

表3 力学测试卷各题考查内容

试题难度可用来衡量试卷题目设置的合理性.试题难度反映题目的难易程度,是试题对考查学生目标知识能力水平合适程度的指标[6],统计学定义为每道题平均分/满分(10分),取值范围为0～1,越靠近1表示题目越简单,反之则越难.实际命题中,试题难度的确定受测验性质、及格率、分数分布等多方面因素影响[7],需要在尽可能达成测验目的的同时,避免打击学生学习的积极性.如表4所示,试卷各题难度有大有小,分布在0.32～0.82之间,同时满足难度较小试题考查基础知识与难度较大试题增加区分度的要求,整体难度为0.54,难度适中,由此可知试卷测试难度设置较好,具有一定可靠性.

表4 力学测试卷各题平均分与难度系数

(二) 试卷成绩分析

力学测试卷共收回118份,全部有效.首先运用SPSS对力学测试卷总分进行描述性统计分析,利用峰度系数与偏度系数确定分布形态.一般而言,学生的学习成绩基本符合正态分布[8],当偏度与峰度均为0时,分布为正态分布.如表5所示,总分成绩分布偏度与峰度均接近0,结合总分的直方图,可认为学生得分基本服从正态分布,且学生总分相对集中,本次考试成绩分布基本正常.

表5 力学测试卷总分描述性统计量

图3 力学测试卷总分直方图

为了解学生对本阶段学习不同类别的内容掌握情况是否存在差异,运用SPSS对每道题的成绩进行差异性检验.每题得分的正态性检验结果表明各题成绩分布均为非正态分布,因此选择非参数检验中多个相关样本比较的Friedman检验进行计算,其结果显著性P=0.00<0.05,可认为六道题总体得分情况存在显著性差异[6].Friedman检验成对比较结果如表6所示,显著性小于0.05时表示两个样本之间具有显著差异.结合各题的平均分与中值判断,可确定第二、四、六题得分情况并不理想,与另外三道题有显著差异.下面将对这三道题进行详细分析,探究力学阶段学生学习的难点与问题.

表6 力学测试卷Friedman检验成对比较结果

表7 力学测试卷各题平均分与中值

第二题考查动量定理的应用,得分率为0.8%.86.4%的学生能够正确计算出落地速度,其中多数学生利用高中物理所学的运动学公式来计算,而非在本课程中所学的运用积分求解质点动力学方程得到速度,说明学生对这一基本方法掌握并不熟练;只有11.9%的学生能够正确运用动量定理来求解问题,在这一环节出现的问题主要有受力分析错误、动量变化量计算错误、不知道可以运用动量定理求解等,说明学生对动量定理的理解不透彻、掌握不牢固,并且将公式定律等理论应用在具体情境上存在困难;在答题细节方面,56.8%的学生没有建立坐标系,85.6%的学生遗漏运用牛顿第三定律说明作用力与反作用力相等.

虽然大学的课程学习并不推荐刷题的学习方式,但是学生在学习基础物理时也需要进行必的解题练习,在练习中加强对理论知识的理解与掌握,提高学生运用知识的能力与综合分析、归纳演绎、假设验证等思维能力,教师也可根据解题练习的情况反馈,及时进行合理的教学调控与补偿[9].例如本题可训练学生的物理审题策略与构思解题方案的策略,分清题目叙述了物体只受重力作用机械能守恒与物体克服阻力消耗机械能两个过程,从已知的多个物理量中确定运用与待求目标直接相关的动量定理.

第四题考查质点的角动量守恒与机械能守恒定律的应用,得分率为13.6%.55.9%的学生能够正确无误运用机械能守恒定律,相比之下能正确运用角动量守恒的学生占比为38.1%,与前者有明显差异,推测其原因是学生在高中阶段从未接触过角动量相关的概念,学生对全新概念的接受度理解度并不高,且判断不同情境下角动量守恒定律是否成立也是力学重难点之一,学生也容易将动量、角动量、机械能三个守恒定律的应用条件相混淆.

第六题考查求解质点动力学方程时积分的应用,得分率为2.5%.分析物理情境并列出牛顿第二定律的等式这一环节,多数学生都能够正确完成;但在应用微积分这一数学工具求解时,尽管在前面的学习中有专门讲授过这种计算方法的应用,只有7.6%的学生能够正确运用链式法则作变量代换来求解.此外,从学生平时作业情况可知,部分学生并不理解自变量x的增量Δx、自变量x的微分dx、质点运动微分方程(组)等概念的含义,也无法正确书写定理的微分与积分形式.

数学是基础物理学习的重要工具,基于微积分的牛顿力学解题中经常运用结合数学工具的一种方法,即“在解题中首先把物理规律和物理条件表达为数学方程式,把物理问题化为一个数学问题;再求解这一方程组;最后求出具有物理意义的解并对解作必要的分析讨论”[10].由于大一学生在同一学期修读基础物理与高等数学课程,微积分数学工具的学习较物理课程应用有所滞后,虽然基础物理课程教师在讲授力学内容时都会辅以高等数学的知识,但大一刚入学的学生仍然不能熟练掌握微积分的思想与方法并加以运用.

通过以上分析可知,学生应加强必要的习题练习与相应微积分数学方法的学习,从而加深对基础物理力学部分内容的理解.

2.3 FCI量表成绩与力学测试卷成绩相关分析

通过上述FCI量表成绩与力学测试卷成绩分析可知,学生对牛顿力学概念理解程度较好,但对基于微积分的牛顿力学内容计算应用水平并不高.

为探究二者之间是否存在一定的联系,运用SPSS对两种成绩进行相关性分析.由于FCI成绩呈非正态分布,故选用Spearman等级相关性检验[6,7],其结果如表8所示.双尾检验显著性小于0.05时,二者具有显著的相关性;相关系数为0.342,介于0.2～0.4之间,表示二者是弱相关;相关系数大于0表示正向相关,二者同升同降.由上述结果可知,FCI量表成绩与力学测试卷成绩为正向的弱相关关系.尽管不能直接用牛顿力学概念的理解水平来衡量基于微积分的牛顿力学内容计算的掌握程度,但二者仍具有一定程度的贯通之处,从基础定性与进阶定量两个角度共同检测与评估学生对力学部分的学习情况具有其合理性.

表8 FCI量表与力学测试卷成绩及Spearman相关性检验

3 结论与建议

FCI成绩与力学测试成绩的分析结果显示：

从FCI量表的描述性统计量可知,学生对牛顿力学概念掌握情况较好,对其中得分率低于80%的题目具体分析,发现学生易将知识点杂糅、头脑中缺乏条理清晰与组织良好的信息框架;力学测试卷的题目内容基本覆盖本阶段知识点,难度设置合理,试卷设置较好,具有一定可靠性;试卷成绩总分基本服从正态分布,依据每道题成绩差异性分析结果,对成绩明显较差题目具体分析,发现学生具体知识点在情境中的应用答题存在困难、相关联知识内容易混淆、应用在物理的微积分数学工具掌握情况较差;对FCI量表与力学测试卷成绩进行相关分析,得出二者存在正向的弱相关关系,二者结合共同检测与评估学生对牛顿力学部分的掌握情况具有一定合理性.

基于以上分析,提出如下建议：

1) 基础物理对大多数学生来说是一门较为困难的课程,知识内容也较为庞杂,教师在教学上应引导学生做好知识联结与梳理,课程安排上及时进行复习;课程助教也要对学生课堂上与作业中的疑问及时进行解答,辅助好教师教学;学生更应端正学习态度,夯实物理基础知识,提升物理基础能力,克服对基础物理课程学习的恐惧心态.

2) 物理课程教学上可以适当加入必要的习题练习,提供不同的问题情境,做好物理问题的详细剖析,学以致用,从应用中提高学生综合思维能力,加深学生对理论知识的理解.

3) 在课程设置上,基础物理课程的修读时间可以设置在高等数学之后,学生在有一定数学基础后再进行基础物理的学习,更有利于课程的顺利开展.

不可避免的是,尽管本文结论皆来源于数据分析与学生平时学习情况,但学生答题正确率也会受其他多种因素影响,得出的结论的可靠性也有待于后续其他方法如访谈法进一步验证.希望本文的研究分析能对大学基础物理的教学提升有一定的参考.