高中函数问题的两种常用解题方法探究

2024-01-12吴叶

数理天地(高中版) 2024年1期

吴叶

【摘要】针对同一类型问题，掌握不同的解答方法，有助于促进学生对理论知识的理解与掌握，从而做到融会贯通、举一反三.函数问题是高中数学的重要知识点，其解题的思路和方法也是多种多样的.本文针对高中数学函数问题，分析了运用图象法和导数法这两种常用方法解答问题时的思考过程，并举例进行详解，以期望加强学生对这一知识点的掌握与理解.

【关键词】函数；多元；解题思路

1 图象法

图象法在解函数问题中的应用主要是根据图象的特点，判断函数单调性、方程根的个数，以及不等式解集等问题.解题的思考过程为：首先分析题设的含义，然后画出相应的函数图象，再依据函数图象得出相应的关系式，最后求解作答.具体题型分析如下：

1.1 利用函数图象研究函数的性质

例1 已知函数f（x）=2－x－1，x≤0，－x2+4x，x>0，求f（x）的单调区间.

分析对于容易在给定区间上画出图象的函数，当要求讨论其单调性、奇偶性、周期性等性质时，最便捷的方法是直接画出图象进行解答.

解如图1，画出f（x）的图象，易知f（x）的单调递增区间为0，2，单调递减区间为－∞，0和2，+∞.

1.2 利用函数图象研究方程根的个数

例2 已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1－x）=f（1+x），当x∈0，1时，f（x）=x，函数g（x）=e－x－1－1<x<3，求f（x）与g（x）图象的交点个数.

分析方程f（x）=0的根就是函数f（x）图象与x轴的交点的横坐标，方程f（x）=g（x）的根就是函数f（x）与g（x）图象的交点的横坐标.

解由题意可知函数f（x）和g（x）的图象关于直线x=1对称，

当1≤x≤2时，f（x）=2－x，g（x）=e1－x，设h（x）=2－x－e1－x1≤x≤2，则h′（x）=－1+e1－x≤0，当且仅当x=1时取等号，即函数h（x）在1，2上为减函数.又h（1）=0，则h（x）≤0，即函数f（x）和g（x）的图象在1，2上无交点.因此函数f（x）和g（x）在－1，3上的图象如图2所示，可知两个函数图象有3个交点.

1.3 利用函数图象研究不等式解集

例3 已知函数f（x）=2x－x－1，求不等式f（x）>0的解集.

分析当函数较为复杂，不方便用代数法求解不等式时，可以利用数形结合来处理，将不等式两边转化为两个函数，将不等式问题转化为两个函数图象的上下关系问题.

解不等式f（x）>0等价于不等式2x>x+1.画出函数y=2x和函数y=x+1的图象如，图3所示，易知两个函数图象的交点坐标为（1，2）和（0，1）.观察图象可知，当x>1或x<0时，函数y=2x的图象在函数y=x+1图象的上方，即2x>x+1，故不等式f（x）>0的解集为（－∞，0）∪（1，+∞）.

2 导数法

2.1 利用导数研究函数的单调性

利用导数讨论函数单调性或求单调区间是其重要应用之一，也是高考的热点，解决此类问题关键在于根据导数值的符号变化确定参数所满足的条件.解题的思考过程为：首先求函数f（x）的定义域，然后求导数f′（x），再解不等式f′（x）>0或f′（x）<0，最后得出结论.

例4 （2021·全国高考节选）已知函数f（x）=x3－x2+ax+1，请讨论f（x）的单调性.

解对函数求导得f′（x）=3x2－2x+a，对于3x2－2x+a=0，Δ=4－12a.

①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT当a≥13时，Δ≤0，即f′（x）≥0在R上恒成立，此时f（x）在R上单调递增；

②=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT当a<13時，Δ>0，方程3x2－2x+a=0的两个根为x1=1－1－3a3，x2=1+1－3a3，

即

x∈－∞，1－1－3a3和1+1－3a3，+∞时，f′（x）>0；

当x∈1－1－3a3，1+1－3a3时，

f′（x）<0.

综上所述，f（x）的单调递增区间为－∞，1－1－3a3和1+1－3a3，+∞，单调递减区间为1－1－3a3，1+1－3a3.