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卷筒纸中的数学奥秘

2024-01-11陈文萍

数学大王·中高年级 2024年2期
关键词:卷筒纸总长度同心圆

陈文萍

你能想到一卷小小的卷筒纸,居然蕴含着数学奥秘吗?且听我细细道来。

在平常生活中,我们总会留意到,一卷使用过半的卷筒纸总是比想象中用得要快。这是为什么呢?

这跟卷筒纸的形状有关。卷筒纸是圆柱形的,使用之后,卷筒纸的直径就随之减小。在高度不变的情况下,卷筒纸的侧面积也在变小(如图1)。比如,刚开始使用的卷筒纸是最粗的、直径最大的圆柱体,一圈有四段纸(侧面积最大)。当卷筒纸使用超过一半的时候,这个圆柱体就变得很细了,一圈只有一段卫生纸(侧面积减小)。

一个人如果每次需要使用八段卫生纸的话,最初只需要两圈卷筒纸。慢慢的,就需要八圈才行。因此,从卷筒纸使用过半时起,我们就会感觉越用越快。

我遇到这样一道题(如图2),于是我展开了对第2小题的思考。

方法一

将卷筒纸全部拉出来,测量总长度。它的缺点是,要找到题目中指定大小的卷筒纸是很困难的。除此之外,也很少有人会真的这么做。

假设这卷卷筒纸是由很多个同心圆套在一起的,那么它最外侧的圆的直径就是12 cm。一层纸的厚度是0.01 cm,往内的下一个圆的直径则减少0.02 cm,变成11.98 cm,再往内的圆的直径则是11.96 cm……由内侧往外的第二个圆的直径是6.04 cm,而最内侧的圆的直径则是6.02 cm。

因此,各个同心圆的周长分别是12π、11.98π、11.96π、…6.04π、6.02π,卷纸的总长度为12π+11.98π+11.96π+…+6.04π+6.02π。

如果一步步計算的话,这个计算量太大了。我们要像天才数学家高斯在课上快速算出从1加到100的和那样,采用简便的算法。

S = 12+11.98+11.96+…+6.04+6.02

+ S = +6.02+6.04+6.06…+11.98+12

2S = 18.02+18.02+18.02+…+18.02+18.02=18.02×300=5406

S = 2703

总长度= S×π = 2703×π=8487.42(cm)

我们在脑海中试着将所有的纸都拉出来,拉出来之后从侧面看,就是一个宽为0.01 cm的长方形(如图4)。

根据第1小题用圆环面积公式求出的阴影部分面积为84.78 cm2。假设卷筒纸全长为x cm,长方形的面积为0.01 x,则0.01 x =84.78,x=8478 cm。

看来,数学和生活实际密切联系,在日常生活中,我们要学做有心人。在做题时,有时候不妨可以从不同的角度去思考,可能就会有更好的方法!

数学真有趣!

浙江省绍兴市上虞区博文小学

指导老师   李湘婷

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