紧抓问题条件形式 巧妙构造函数

付 洵

(赣东学院基础教学部,江西 抚州 344100)

导数问题是高考试题中的重点和难点,其中与不等式的交汇问题更是考试的热点内容,它的命题模式以抽象函数为基础[1],对学生的思维能力要求较高.在求解时,要能够通过所给条件的形式,选取合适的运算法则,适当构造函数[2],再根据所构造函数的单调性研究问题所给出的不等式问题.

1 根据f ′(x)±g′(x)构造函数

2 根据xf ′(x)±nf(x)构造函数

A．a

C．b>a>cD．a>b>c

又因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,

则a

3 根据f ′(x)±nf(x)构造函数

A．eaf(c)

C．ecf(1)eaf(b)

因为f′(x)>f(x),所以g′(x)>0.

因为c<1,所以g(1)>g(c).

所以ecf(1)>ef(c),C错.

所以eaf(b)>ebf(a),D错;

同理,g(a)>g(c),A对;g(b)>g(c),B错.

4 根据f(x)±f ′(x)tanx构造函数

解析由题得f(x)cosx-f′(x)sinx<0.

因此g(x)在定义域上单调递增.

代入函数得

故选D.

5 根据f(x)±f(-x)=g(x)构造函数

例5 设函数f(x)在R上存在导函数f′(x),对任意的实数x都有f(x)=f(-x)+2x,当x>0时,f′(x)>2x+1．若f(a+1)≥f(-a)+2a+1,则实数a的取值范围是____．

解析因为f(x)=f(-x)+2x,

所以f(x)-x=f(-x)+x.

设g(x)=f(x)-x,则g(-x)=f(-x)+x.

故g(x)=g(-x).所以g(x)为偶函数.

因为g′(x)=f′(x)-1,且当x>0时,f′(x)>2x+1,所以g′(x)=f′(x)-1>2x>0.

所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.

故g(x)在(-∞,0)上单调递减.

因为f(a+1)≥f(-a)+2a+1,

所以f(a+1)-(a+1)≥f(-a)-(-a).

所以g(a+1)≥g(-a).

所以|(a+1)|≥|-a|.

点评由f(x)=f(-x)+2x,得f(x)-x=f(-x)+x,构造函数g(x)=f(x)-x,再整理出g(x)的单调性和奇偶性即可.一般地,若给出f(x)±f(-x)=g(x)可构造偶函数或奇函数.

6 根据所给比较大小的数值特点构造函数

例6 设a=2ln3π,b=3ln2π,c=3lnπ2,则( ).

A．a>c>bB．b>a>cC．b>c>aD．c>b>a

所以a>c>b．