一道全国高中数学竞赛题的多种解法

李智清 马 瑜

(玉溪师范学院,云南 玉溪 653100)

全国高中数学联合竞赛是中国高中数学学科较高等级的竞赛,旨在培养高中学生对数学学习的兴趣,获得学习数学的乐趣,并能不断开拓学生的思维和激发学生的钻研精神.同时,在探索求解的过程中,从不同角度出发思考问题、分析问题和解决问题,体验一题多解的妙趣.

1 问题呈现

问题如图1所示,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,在CD上取一点E,BE与AC相交于点F,延长DF交BC于点G.求证:∠GAC=∠EAC.

2 问题解析

2.1 利用梅涅劳斯定理

分析通过读图发现,B,F,E三点共线,且直线BFE是△DCG的截线,再由题可知∠BAC=∠DAC.本题要证明∠GAC=∠EAC.而∠GAC=∠BAC-∠BAG,∠EAC=∠DAC-∠DAE,因此,可以对直线BFE和△DCG利用第二角元形式的梅涅劳斯定理.同理,D,F,G三点共线,且直线DFG截△BCE,也可以对直线DFG和△BCE使用第二角元形式的梅涅劳斯定理[1].

证明如图1,直线BFE是△DCG的截线,由第二角元形式的梅涅劳斯定理可得:

图1 梅涅劳斯定理图

因为AC平分∠BAD,所以∠DAC=∠CAB.

亦即(sin∠BAC·cos∠GAC-cos∠BAC·sin∠GAC)sin∠CAE=(sin∠DAC·cos∠CAE-cos∠DAC·sin∠CAE)sin∠GAC.

化简后,可得cot∠GAC=cot∠EAC.

又∠GAC和∠EAC均是锐角,

故∠GAC=∠EAC.

2.2 利用塞瓦定理

分析通过读图发现,AC,BE,DG三条线段交于点F,且∠BAC=∠DAC,要证明∠GAC=∠EAC.而∠GAC=∠BAC-∠BAG,∠EAC=∠DAC-∠DAE,因此,连接BD,对点F及△BCD利用第二角元形式的塞瓦定理.同理,对点C及△BFD利用第二角元形式的塞瓦定理也是可行的.

证明如图2所示,连接BD交AC于点H,对点F及△BCD应用第二角元形式的塞瓦定理可得:

图2 梅涅劳斯定理图

因为AC平分∠BAD,所以∠DAH=∠HAB.

亦即:(sin∠BAC·cos∠GAC-cos∠BAC·sin∠GAC)sin∠CAE(sin∠DAC·cos∠CAE-cos∠DAC·sin∠CAE)sin∠GAC.

化简后,可得cot∠GAC=cot∠EAC.

又∠GAC和∠EAC均是锐角,

故∠GAC=∠EAC.

2.3 利用全等三角形的性质

分析求证两个角相等的常用方法是利用全等三角形的性质.题中求证∠GAC=∠EAC,且这两个角的AC边是公共边,就只需构造两个全等三角形即可.

证明如图3所示,连接BD交AC于点H,过点C作CK∥AB交AG的延长线于点K, 过点C作CL∥AD交AE的延长线于点L.

图3 全等三角形图

①

对点F及△BCD应用塞瓦定理可得:

②

因为CK∥AB,所以△ABG∽△KCG.

③

④

将①③④代入②中,可得:

即CL=CK,且∠KCA=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠LCA,在△ACK和△ACL中,有

所以△ACK≌△ACL.故∠GAC=∠EAC.

2.4 利用直角坐标系

证明如图4所示建立直角坐标系,以A为原点,以AC所在直线为x轴,以垂直于线段AC的直线为y轴,设A(0,0),B(b,-kb),D(d,kd),C(c,0),F(f,0),其中,k为直线AD的斜率.

图4 直角坐标系图

即kAE=-kAG.故∠GAC=∠EAC.

2.5 利用解析几何知识

证明如图5所示建立直角坐标系,以A为原点,以AC所在直线为y轴,以垂直于AC的直线为x轴,设C(0,c),F(0,f),直线BC,CD,BE,DG的斜率分别为k1,k2,k3,k4,则直线BC的方程为y=k1x+c,即k1x-y+c=0.

图5 解析几何知识图

直线CD的方程为k2x-y+c=0.

直线BE的方程为k3x-y+f=0.

直线DG的方程为k4x-y+f=0.

又由直线系知识可得,直线AB的方程为

(k1x-y+c)+λ1(k3x-y+f)=0.

即(k1+λ1k3)x-(1+λ1)y+(c+fλ1)=0.

直线AD的方程为

(k2+λ2k4)x-(1+λ2)y+(c+fλ2)=0.

直线AE的方程为

(k2+λ3k3)x-(1+λ3)y+(c+fλ3)=0.

直线AG的方程为

(k1+λ4k4)x-(1+λ4)y+(c+fλ4)=0.

又因为直线AB,AD,AE,AG都经过点A(0,0),

由∠BAC=∠CAD,得kAB+kAD=0.

所以∠GAC=∠EAC.

证明两个角相等的方法多种多样,常见的途经有:(1)利用全等三角形的性质;(2)利用等腰(边)三角形的性质;(3)利用平行四边形的性质;(4)利用等腰梯形的性质;(5)利用两角的比例关系;(6)圆内相关定理,如:切线长定理、圆周角定理、弦切角定理、垂径定理等;(7)利用解析法,可以建立直角坐标系;(8)利用三角函数进行计算.