圆锥曲线的几何性质在解题中的应用研究

邹慧妤

(福建省龙岩市第二中学,福建 龙岩 364000)

圆锥曲线不仅是高中数学教学中的重点知识,还是一大难点.学生通过对圆锥曲线相关知识的学习,可以有效培养自身的逻辑思维、计算推理、数形分析、空间转换与想象等多项能力,还有助于学生转化思想、完整思维与乐观心态的形成.在高中数学解题教学中,教师需指导学生应用圆锥曲线的几何性质处理部分特殊试题,使其根据题意灵活运用圆、抛物线、双曲线、椭圆等相关知识来解题,助推他们顺利突破解题障碍,不断提升个人的解题水平.

1 运用圆锥曲线定义,有效解答数学最值问题

解析当读完题目内容以后,教师要求学生把圆锥曲线的定义、最值等基础知识罗列出来,结合现有现象研究本题所考查的知识要点.围绕题干中提供的两个条件,他们可采用椭圆的第一定义与不等式的基本性质等知识,把原题转变为求点D与两个焦点的距离积问题,据此求解[1].

由于只有当|DF1|=|DF2|时,等号才能够成立,根据题意是求点D距椭圆两个焦点的距离之积A的最大值,所以当|DF1|=|DF2|时距离之积的最大值是16,所以点D的坐标是(0,2)或者(0,-2).

本题主要考查学生对圆锥曲线定义的具体应用.通过分析题目能明确这一点,但是需注重对圆锥曲线定义的拆分,使学生快速掌握解题思路,提高解题效率.

2 借助数形结合思想,解决动直线过定点问题

动直线过定点问题是高中数学中一类难度比较大的题目,既考查学生对圆锥曲线相关几何性质的应用,又对学生的数学分析能力有着较高要求.教师可提示学生借助数形结合思想的优势,深化个人逻辑思维,使其快速找到解题的切入点.

解析本题是一道典型的动直线过定点问题,结合题干中给出的信息让学生进行梳理,发现点A不仅在l1上,还在l2上,l1和l2又是垂直关系,所以与斜率肯定有所联系,学生从斜率着手几何恒等关系列出相关方程来解决.

设直线l1的斜率是k,根据题意可知l1过定点A(0,1),则直线l1的方程是y=kx+1.

图1 例2题图

3 几何性质入手分析,驱使学生简洁解答试题

在一些解析几何类试题中往往含有一定的几何图形结构,教师应当引领学生从圆锥曲线的几何性质入手分析题意,认真审理题目内容,找出各个条件及条件之间的联系,使其从中迅速找到解题思路,驱使学生简洁解答试题.

解析学生通过对题目内容的阅读与分析,可以根据题意画出图形,如图2所示,根据正弦定理求sin∠AFB值,然后根据图形结构求出a与c的值.

图2 例3题图

由此可知sin∠AFB=1,则∠AFB=90°,那么在Rt△ABF中,BF2=AB2-AF2=102-62=64,所以|BF|=8.

设F′是该椭圆的右焦点,那么四边形AFBF′是矩形,|BF′|=|AF|=6.

所以2a=6+8=14,解得a=7.

4 注重融入相关知识,有效降低学生解题难度

数学是一门典型的逻辑性科目,各个知识点之间有着关联性较强的特点,尤其是在解题训练中,在处理一些数学题目时往往要用到与之有关的知识.要求学生阅读题目内容时,深入发掘题目中涉及的知识点,找到这些知识之间的内在联系,使其形成清晰、简便的解题思路,有效降低解题难度.

解析大部分学生看到这一题目时,一般都能够明确解题的大致方向,即采用坐标求解矩形面积.不过由于受到思维的限制,导致他们习惯性把坐标设为x与y,这样后续计算量较大,十分麻烦.结合题意发现求解这一最值时要用到函数知识,其中三角函数是一种有界函数,能够提供很好的助力,可联系三角函数及圆锥曲线的几何性质进行解题.

5 巧妙利用几何性质,解答轨迹类型问题

在轨迹类型题目中,圆锥曲线主要表现在两个方面,即根据方程对动点运动轨迹进行判断、利用圆锥曲线性质求解方程式.轨迹类型题目主要考查学生对曲线性质的掌握以及运用,灵活利用曲线性质对运动轨迹进行分析,列出相应的方程式[2].

例5 方程x2+(y-2)2=x-y-4对应点P(x,y)的轨迹是____.

A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.两直线

解析在解题时,通过对方程进行变形,可以看出动点P(x,y)到定点F(0,2)的距离与其到直线l:x-y-4=0的距离的比值是2,根据曲线的性质可以得出,离心率大于1的只有双曲线,所以点P的运动轨迹是双曲线.

6 灵活利用曲线性质,有效解决三角形问题

在高考数学中,圆锥曲线与三角形结合是高考命题的一个重要趋势,要求学生利用曲线性质,结合已知条件做出判断,构建圆锥曲线与三角形的关系,完成三角形问题解题.

例6已知椭圆的两个焦点分别是F1,F2,经过点F2作出椭圆长轴的垂线,和椭圆的一个交点是P,如果△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是____.

根据题意得知∠F1PF2=90°,∠PF1F2=45°.

总而言之,圆锥曲线是一类极为重要的数学知识,在整个高中数学课程体系中占据着非常关键的位置,而圆锥曲线的几何性质不仅有着自身的特殊性,还能够应用到解题中.数学教师在解题训练中,应当指引学生根据实际情况有的放矢地运用圆锥曲线的几何性质,使其形成清晰的解题思路,找到更为便捷的解题方法,继而提高他们的数学解题能力.