高中数学数列通项公式求解技巧

余 涛

(杭州市富阳区江南中学,浙江 杭州 311421)

高中数学数列通项公式的求解一直是教学的重难点,其求解技巧的灵活性较强,通常较难被学生掌握.为了帮助学生更好地把握数列通项公式的求解,文章汇总了不同类型的数列通项公式实例求解技巧,帮助学生在具体应用中去感受.

1 公式法

例1已知等差数列{an}符合a1+a2=10,a4-a3=2.

(1)求{an}的通项公式;

(2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,求b6与数列{an}的第几项相等?

解析(1)令等差数列{an}的公差为d,因为a4-a3=2,所以d=2.

因为a1+a2=10,所以2a1+d=10.所以a1=4.

综上,an=2n+2(n=1,2,…).

(2)令等比数列{bn}的公比是q,因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2,得n=63[1].

由此可知,b6与数列{an}的第63项相等.

2 累加法

针对隶属于an=an-1+f(n)类型的递推式,可以通过移项取相邻两项的差,从而得到一种函数关系an-an-1=f(n),再采用代入方法累加每个递推式使之相互抵消后,又可以得到一种只具有a1,an的递推式,将得到目标数列的通项公式.一般可采用数列求和、错位相减、裂项相消等技巧实现化解.

因为an=Sn-Sn-1(n≥2),

3 累乘法

解析由a1=2,an+1=2an,得an=2n(n∈N*).当n=1时,b1=b2-1,所以b2=2.

所以当n≥2时,

同时因为b1=1,b2=2,所以bn=n.

4 数学归纳法

首先计算数列的前几项,然后观察an和n的关系并猜想数列通项公式,最后通过数学归纳法予以验证,确定所猜想的数列通项公式成立于所有项数条件下.

由此推测cn=(n+1)n(n∈N*).

通过数学归纳法进行证明,具体过程如下:

(1)当n=1时,左边=右边=2,等式成立.

(2)假设当n=k时等式成立,则

=[(k+1)+1]k+1.

所以,当n=k+1时,等式成立,结合(1)(2)可知,Cn=(n+1)n对所有正整数n均成立.

5 对数变换法

所以lgan+1=lg2+nlg3+5lgan.

令lgan+1+c(n+1)+d=5(lgan+cn+d),

则lgan+1=5lgan+4d+4cn-c.

得到:

6 构造法

例6已知数列{an}满足a1=1,an=3an-1-2n2-1(n≥2),求an.

解析因为an=3an-1+2n2-1(n≥2),令an+xn2+yn+z=3[an-1+x(n-1)2+y(n-1)+z],

整理,得

an=3an-1+2xn2+(-6x+2y)n+(3x-3y+2z).

本文主要研究了高中数学数列通项公式的求解技巧,不同求解技巧应用了不同的数学思想,在公式法中呈现的是一种分类讨论思维,数学归纳法则呈现了一种回归整理思想,剩余技巧呈现的则是转化化归的思想.