惠更斯问题的三种解法及物理背景

王慧娴

(江苏省启东市东南中学,江苏 启东 226200)

多元函数最值问题是数学竞赛中的难点,它的解题思路灵活,解题方法新颖,学生不易掌握.惠更斯问题就是经典的多元函数最值问题.本文以惠更斯问题为例,从AM-GM不等式、指数变换和局部变动法等角度,给出惠更斯问题的三种解法,并介绍其物理背景.

1 惠更斯问题

2 三种解法

思路1利用AM-GM不等式.

两个不等式相加,得

(1+b1)(1+b2)…(1+bn)

①

当且仅当b1=b2=…=bn时等号成立[1].

由不等式①,得

思路2指数变换.

解法2令bi=exi(i=1,2,…,n),由不等式①,得到

②

当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.

f=a(1+eθ1)(1+eθ2)…(1+eθn)(1+eθn+1),

由不等式②,得

f=a(1+eθ1)(1+eθ2)…(1+eθn)(1+eθn+1)

同解法1知,此时

点评已知xi>0(i=1,2,…,n),且x1x2…xn=M,求函数f(x1,x2,…,xn)的最值.这时,我们可以利用指数变换,令xi=eθi(i=1,2,…,n),则问题转化为,在限制条件“θ1+θ2+…+θn=lnM”下,求函数f(eθ1,eθ2,…,eθn)的最值.然后利用函数f(ex)的凹凸性或不等式②,问题可得到解决.

思路3局部变动原则.

解法3u作为n元函数,其定义域为n维立体[a,b]n,因此利用有界闭集上的连续函数必有最小值,可见最大值点是存在的.

用同样的方法可得到,当u达到最大值时有

由此得到

设上式的比值为q,则

点评局部变动模式是一种让某一因素变动而其余因素暂时固定,从而由局部到整体解决问题的模式.局部变动原则为:如果多变量X,Y,Z,…的函数f(X,Y,Z,…)在X=A,Y=B,Z=C,…处达到最大值,那么单变量的函数f(X,B,C,…)在X=A处,双变量X,Y的函数f(X,Y,C,…)在X=A,Y=B处,等等,也达到最大值.

3 物理背景

惠更斯问题源于一个有趣的力学问题,问题的解可归结为求解n元函数的最大值问题.惠更斯(Huygens)提出的问题如下:

根据在封闭力学系统中的能量与动量守恒原理,经过不太复杂的计算可以证明:两个质量为m1与m2,初速度为v1与v2的绝对弹性的球发生对心完全弹性碰撞以后,它们的速度(速度方向沿着两球中心的连线)由下面的式子确定:

③

由此看出,若0≤m≤M,则V≤v≤2V.

用什么方法可以把大质量物体的较多的动能转移到质量小的物体呢?例如,可以在小质量球与大质量球之间放入具有中间质量m

这个问题由惠更斯提出,故也称为惠更斯问题.

按照公式③,小球获得的速度v可表示为变量m1,m2,…,mn的函数:

据此,可抽象出纯数学味的惠更斯问题如下.

从对惠更斯问题的一题多解中,可以获得求解多元函数最值问题的一般方法,比如AM-GM不等式、指数变换、局部变动原则等.最后分析惠更斯问题的物理背景,实现从物理问题到数学问题的过渡,体现了数学建模、数学抽象的核心素养以及“跨学科”教学理念.