考虑局部模态约束的卫星结构优化

刘嫣洁，杨苗苑，李子轩

（航天科工空间工程发展有限公司，北京 100039）

0 引言

随着机械复杂性和动力学性能要求的显著提高，动力学优化已成为结构设计中的关键问题，尤其是对于航天器结构而言[1]。如果卫星结构的固有频率与运载火箭发动机的激励频率相同，则在发射阶段会发生共振，而通过卫星结构传递的高振幅振动将会对星内有效载荷造成破坏。因此，卫星结构的固有频率必须高于目标值以避免发生共振，从而提高结构自身和有效载荷的安全性[2]。结构优化方法已被应用于解决实际卫星结构设计中的频率约束问题[3-6]。然而，大多数研究考虑的是全局频率约束，例如一阶横向和一阶纵向固有频率，很少有研究关注到对于改善关键有效载荷安装区域的局部结构刚度同样非常重要的局部频率约束。

局部频率约束和全局频率约束的优化问题之间没有本质区别[7]。然而，由于结构尺寸的改变而引起的模态置换是局部频率约束优化问题的主要难点[8]：自动识别某一确定的局部频率难度很大，且其阶数在结构优化过程中通常不是恒定的，从而导致优化程序收敛困难[9-10]，使得确定局部频率约束的优化问题的最优值变得极为复杂。因此，全局频率约束的结构优化方法不能直接应用于局部频率约束的结构优化问题。近几十年中，关于局部模态领域的研究较多：Tenek 和Hagiwara[11]将单元密度限制在较大的阈值之上以避免局部模态，这就是动态结构频率最大化设计中材料布局的优化结果中出现明显灰色区域的原因。Pedersen[12]提出一种改进的可变惩罚因子方法来避免SIMP（solid isotropic microstructure with penalization）的局部模态。Cheng和Wang[13]提出一种利用多项式惩罚低密度区域单元刚度矩阵的方法。然而，目前的研究大多集中在连续体结构的拓扑优化方面，对于尺寸优化问题的研究较少。此外，目前关于局部模态识别的参考方法很少。

本文提出一种解决局部频率约束的结构优化问题的近似方法，其基本思想是将具有局部频率约束的原始结构动力学优化问题转化为具有节点位移约束的近似结构静力学优化问题，以回避在优化过程中使用局部模态阶数和局部模态识别。方法仍以最小化结构质量为目标建立近似优化模型，并将横截面尺寸作为设计变量，将局部区域在一定局部频率下的节点位移作为约束；节点位移约束由局部区域的初始位移以及初始局部频率与期望局部频率之间的比值导出。最后给出数值算例和实际的卫星结构优化问题验证所提出方法的合理、有效性。

1 原优化问题

具有频率约束的传统动力学结构优化问题可以表述为非线性数学规划问题，即

式中：xi(i=1, 2, ···,n)为设计变量；F(X) 为结构质量（Weight）；g(X) 为频率约束；ωlocal为当前设计结构的局部频率； ω˜local为局部频率的期望值；xli和xui分别为xi的下限和上限。

2 近似策略

2.1 约束变换

为了提高局部结构刚度，将在局部区域增加加强筋以提高局部模态频率。为了近似转换原始优化问题，提出以下2 个必不可少的假设：

1）由于加强筋引起的质量增加与结构的总质量相比非常小，所以在优化过程中结构整体质量矩阵的变化可以忽略不计；

结构修改对单元刚度影响重大，其变化不应忽视[14]。因此，假设刚度矩阵是优化问题中设计变量的函数，即

考虑到可以将初始结构的局部模态振型视为在一定静载荷下的节点位移，本文根据模态振型定义了静载荷F˜local，

式中：K(X0)为初始结构的单元刚度矩阵；为初始结构的节点位移。

基于假设2），静载荷也可以表示为

式中：K(X)为当前结构的单元刚度矩阵；ulocal为当前结构的节点位移。

无阻尼结构系统的特征值问题可以表述为

式中：K为刚度矩阵；M为质量矩阵； ∅i为第i阶特征向量或固有模态； ωi为相应的第i阶特征值或固有频率。通过求解该特征值问题，可以计算出结构的第i阶固有频率，

定义放大倍数P为局部频率的期望值 ω˜local与初始结构的局部频率的比值，即

可以将当前结构的局部频率表述为

同样基于假设2），当前结构的局部频率也可表述为

将式(4)代入式(8)，得到

将式(3)代入式(10)，得到

将式(7)代入式(11)，可以进一步将期望的局部 频 率 ω˜local与 当 前 结 构 的 局部频率 ωlocal联 系 起来，得到

至此，原始问题中的局部频率约束可表述为

由于结构的频率肯定为非负，所以可以用节点位移约束代替频率约束，则式(13)可以表述为

从最终的节点位移约束表达式g*(X)可以看出，最优化工程中需要约束结构中每个节点的位移，这给近似优化模型的建立带来了极大的工作量，同时也增加了优化问题求解的复杂性。然而，结构的节点位移与模态振型相同。也就是说，对于局部振动模态，相对明显的节点位移几乎都分布于局部振动区域。因此，在建立近似优化模型时仅约束局部振动区域的节点位移是一种合理的简化方式。

2.2 近似优化模型

当前的近似优化模型可以表示为非线性规划数学问题，

此近似优化模型不再受局部模态的影响，局部模态置换现象不会改变优化模型中的约束条件。

定义相对误差e=|PT-PP|/PT，其中，PT和PP分别为局部频率的理论放大倍数和实际放大倍数。可用相对误差的大小来度量近似方法的精度。

3 近似优化过程

应用近似方法的优化过程（见图1）概述如下：

图1 近似优化模型优化过程Fig.1 Optimization process of the approximation optimization model

1）在Patran 中建立结构的初始有限元模型，并进行详细的模态分析。

2）从模态分析结果中提取局部振动模态的节点平衡力。

3）根据步骤2）获得的节点平衡力建立静载荷边界条件。

4）使用上述信息创建近似优化模型，并进行优化分析。

5）更新分析模型并检查优化结果是否收敛到最佳值，如是，优化结束；如否，则返回步骤2）。

6）重复步骤2）～步骤5），直到满足收敛标准，结束优化过程。

值得注意的是，由于局部模态的阶数等必要的数据需要手动获取，故需手动建模以获得具有更高近似程度的优化模型。如何获得局部模态的节点平衡力并建立有限元模型中的静态载荷条件是创建近似优化模型时的2 个难点，本文进行算例验证时将使用Msc.Patran/Nastran 软件完成这2 项操作。

4 数值算例

本章将通过2 个数值算例验证本文所提出的近似优化方法的合理性和有效性。第1 个简单数值算例的参数来自于Pedersen[12]论文中的一个例子；第2 个算例是某大型卫星的实际结构优化问题。

4.1 算例1——结构板优化

该算例是简单的结构板优化问题，以局部频率不大于60 Hz 为优化约束，以结构的质量最小为优化目标，初始有限元模型（FEM）如图2 所示，共包含20×20 个有限元网格（网格尺寸50 mm×50 mm），图中白色和黑色区域的材料分别为M1和M2，其中：M1的弹性模量E1=2.0×1011N/m2，泊松比v1=0.3，质量密度ρ1=7800 kg/m3；M2的E2=2.0×105N/m2，v2=0.3，ρ2=78 kg/m3。结 构 板 的 尺 寸 为L1×L2×T=1 m×1 m×0.002 m，T为板厚。局部模态存在高振动密度区域的设计特征，因此结构板的黑色区域出现局部振动，如图3 所示。

图2 结构板的初始有限元模型Fig.2 Initial FEM of the structural plate

图3 初始结构板的局部振型Fig.3 Local modal shape of the initial structural plate

局部振动模态的节点平衡力可直接从结构模态分析结果中提取，并据此建立静载荷条件。根据新建立的工况进行静力学分析，可以看到，图3 所示初始结构板的模态振型与图4 所示静力分析的节点位移分布保持一致，与第2 章提到的近似优化思路完全相符。

图4 静力学分析得到的初始结构板节点位移Fig.4 Nodal displacements of the initial structural plate obtained from static analysis

在最大位移发生处设置1 个加强筋以增大局部频率。在近似模型中，设计变量为加强筋的横截面尺寸（参见图5），通过约束局部区域的节点位移来确定最小结构质量。初始设计对所有4 个设计变量施加下限和上限。原优化问题中以局部频率不大于60 Hz 作为优化约束，转化至近似优化问题中即以加强筋上的最大节点位移不大于0.557 m 作为优化约束。

图5 加强筋加固方式及加强筋横截面尺寸Fig.5 Reinforcement method and cross section dimension of the reinforcing stiffener

近似模型优化结果如表1 所示，迭代历程如图6 所示。可以看到，经过4 次优化迭代后得到结构板的最小质量为125.3 kg，仅比初始质量增加了0.2 kg，符合2.1 节提出的假设1）。

表1 结构板近似模型优化结果Table 1 Optimization results of approximation model of the structural plate

图6 结构板近似模型迭优化代历程Fig.6 Iteration history for approximation model of the structural plate

为了验证近似方法的准确性，使用当前参数对优化后的结构板进行模态分析并提取局部模态振型。如图7 所示，结构板优化前后局部模态振型保持一致，符合2.1 节提出的假设2）。经进一步观察，局部频率仅存在1.44%的相对误差，符合设计要求。

图7 优化前后结构板的局部模态振型Fig.7 Local modal shapes of the structural plate before and after optimization

4.2 算例2——某大型卫星的结构优化

本算例中，某大型卫星被用于验证本文近似方法在大型卫星结构优化中的效率。首先建立由壳单元和梁单元组成的原始结构有限元模型并进行模态分析，结果表明卫星结构舱内某水平舱板上存在局部振动模态振型（如图8 所示），且局部振动频率小于火箭激励频率（60 Hz）。此时卫星及星内设备的安全存在重大共振隐患，因此，需针对水平舱板进行卫星结构优化设计，优化设计约束为局部频率不大于60 Hz，优化目标为卫星结构质量最小。

图8 卫星的初始局部模态振型Fig.8 Initial local modal shape of the satellite

与算例1 的优化过程相同，通过静力学分析得到整星的节点位移结果，如图9 所示。可以看到，图8的局部模态振型与图9 的节点位移分布保持一致。

图9 静力学分析得到的卫星节点位移Fig.9 Nodal displacements of the satellite obtained by static analysis

通过在出现节点最大位移的区域设置矩形横截面加强筋来增大对应的局部频率。以加强筋的横截面尺寸作为优化设计变量（矩形截面的长为H、宽为W），以节点位移不大于0.029 m 作为优化约束，以卫星结构质量最小为优化设计目标建立近似优化模型。

近似模型的优化结果如表2 所示，迭代历程如图10 所示。可以看到，经过5 次优化迭代后得到卫星的总质量为8 194.4 kg，比卫星初始质量仅增加6.5 kg，符合2.1 节提出的假设1）。此外，在最后2 次迭代中，优化目标的值变化不大。

表2 卫星结构近似模型优化结果Table 2 Optimization results of the satellite structural approximation model

图10 卫星结构近似模型优化迭代历程Fig.10 Iteration history for approximation model of the satellite structure

对优化后的卫星进行模态分析并提取局部模态振型。对比优化前后的局部模态振型（图11）可见，优化前后卫星的局部模态振型保持相似，符合2.1 节提出的假设2）。经进一步观察，局部频率仅存在0.54%的相对误差，符合设计要求。

5 结束语

本文提出一种处理局部频率约束的结构优化问题的近似方法。其核心思想是将具有局部频率约束的动力学优化问题转化为具有节点位移约束的静力学优化问题，则可以不受局部频率非恒定阶数的影响。在节点位移约束的推导过程中，分别对优化前后的质量矩阵和局部振型进行了近似。本文中的数值算例和实际工程优化算例均验证了该方法合理可行，可以有效处理具有局部频率约束的结构优化问题。