提供表达的支架，创造表达的机会——以苏教版数学五年级下册“因数与倍数”一课为例

江苏省常州市新北区三井实验小学 王红菊

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，数学课程要培养学生的三大核心素养，其中之一便是会用数学语言表达现实世界。郑毓信教授指出，强调数学表达有益于人们日常表达的改进或表达能力的提升。在小学阶段，数学表达的长远目标即“有条有理，有根有据”，教师应努力让课堂上的数学表达，做到言之有物，言之有序，言之有理，言之有情。笔者将结合五年级下册“因数与倍数”一课的课堂教学，谈谈培养学生表达能力的一些做法。

一、在丰富的操作中学会表达的方法

学习是一个探索未知的过程，引导学生在操作中进行体验，在体验中进行表达，从而有效地学习核心概念。通过操作等活动来引导学生运用数学语言表述，不仅可以训练语言的条理性和准确性，而且也可以进一步把形象思维转化为抽象思维。在引入“因数”和“倍数”的概念中，笔者借助“摆”长方形的过程，把图形与算式有机结合起来，帮助学生掌握概念。

【教学片段一】

导入：今天的学习我们从拼长方形开始。这里有12个同样大的正方形，你能用这12 个正方形摆成一个长方形吗？

1.你准备怎么摆？有几种不同的摆法呢？

先想一想，把你的想法记录在学习单上（如图1），并用乘法算式表示出来。

图1

完成的同学和同桌说一说你的摆法以及如何列乘法算式。

2.学生介绍。

学生回答：3 种摆法及3 个乘法算式。（语言表达完整，每排摆几个，摆几排，乘法算式是……）

追问：大家想的摆法和他的摆法一样吗？有不同的可以补充。

（课件根据学生介绍，分别呈现6 幅图3 种摆法）

聚焦：每排摆4 个、摆了3 排与每排摆3 个、摆了4 排其实是同一种摆法，都可以用乘法算式4×3=12 来表示。

下面的这两个也是同一种摆法，乘法算式：6×2=12，12×1=12。

3.揭示概念：同学们，我们一起来看，以4×3=12 这道乘法算式为例。

介绍：根据4×3=12，就可以说4 是12 的因数，3 也是12 的因数，12 是4 的倍数，12 也是3 的倍数。

师：请你也像我这样，说说这几个数的关系。

根据（ ）×（ ）=（ ），就可以说（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）的倍数。

提炼：你们会说了吗？根据乘法算式4×3=12，也可以简单地说成4 和3 都是12 的因数，12 是4 的倍数，也是3 的倍数。

【评析】从12 个同样大的正方形拼成长方形的操作活动出发，学生在“思考—操作—观察—对比”的过程中，找出得数是12 的乘法算式，体会到所有的乘数都能被12 整除。以4×3=12 这个乘法算式为例，观察拼成的长方形，发现摆3 行4 列或4 行3 列，正好把12 个正方形拼完，也就得到了对应的乘法算式，从而揭示“因数”和“倍数”的概念，即根据乘法算式得出，乘数是积的因数，积是乘数的倍数（这里的数一般指非0 自然数）。学生经历“摆正方形”的操作过程，明晰了数与数的关系，并能在大脑中想出相应的“长方形”，根据乘法算式，熟练表达“因数和倍数”的概念。

二、借助多层资源对比凸显表达的意图

课堂教学要把学生、教师和教学资源有机结合，从而打造高效的课堂。而教学资源的有效利用，是教师教和学生学的有力载体。每节课的教学资源往往都是比较丰富的，教师如何对教学资源进行选择和呈现，都将直接影响教学质量，从而也直接体现了教师的教育理念和目标，反映教师对教材的理解与应用。

【教学片段二】

提问：大家已经能根据乘法或除法算式，说清楚两个数之间倍数和因数的关系。那你们能找出一个数的所有因数吗？

1.找出36 的所有因数。

你准备怎样找36 的因数？（列出等于36 的乘法算式，或被除数是36 的除法算式）

2.你有办法找出36 的所有因数吗？

别急，请看几个小提醒：

（1）想一想：怎样找才能一个不漏，也不重复。

（2）写一写：找到之后按从小到大的顺序写下来。

（3）说一说：和同伴介绍你的方法。

3.资源交流。

（1）呈现3 份学生资源，他们的方法你们都能看懂吗？（乘法、除法、无序）

（2）这几种寻找36 的因数的方法，有什么相同之处？（从1 开始，有序地找，一对对地记录）

（3）对于他们的方法，你还有什么建议吗？（记录的方法）

（4）介绍方法：为了更方便地写出36 的所有因数，我们可以从1 想起，根据乘法算式或除法算式，一对一对地进行记录。

板书呈现：从两端往中间写：1，2， …，18，36。

追问：为什么不写5？

4.集合圈表示：我们找到了36 的所有因数，也可以这样记录。

板书呈现：36 的因数集合圈。

5.刚刚，我们根据等于36 的乘法算式，或被除数是36 的除法算式，有序地找出了36 的所有因数。那你们能快速并有序地找到6 和15 的所有因数吗？

活动要求：

（1）想一想：怎样快速找到6 和15 的所有因数。

（2）写一写：把6 和15 的所有因数有序地记录下来。

（3）说一说：观察几个例子，说说一个数的因数有什么特点，和小组成员交流。

借助资源介绍，你是怎么快速并有序地找到6 和15的所有因数的？

交流：一个数的因数有什么特点？（板书：最小是1，最大数是本身，个数有限）

【评析】在教学“因数和倍数”的概念后，在理解概念的基础上，尝试寻找36 的所有因数，学生就会收集不同的资源。大部分学生都会根据“因数”的概念，利用乘法算式或者能整除的除法算式，找出36 的因数，但是寻找的过程往往不一样，结果也不同。有的学生依据以往学习经验，能有序地进行探究；有的学生则直接根据概念想算式，从而无序地探究；也有的学生知道有序寻找，却出现了重复或者遗漏。

这些都是学生最原始的资源。课堂上，教师要进行资源的交流与对比，让运用每种方法的学生，说出自己的思考过程：为什么这么找？同学们是否能看懂？接着，就要进行资源的并列对比，寻找它们的相同之处，尽管学生们的方法和结果不同，但是思考的过程是否有相同之处呢？最后，教师可以充分发掘不同资源背后的思考过程，让学生充分表达自己的思路，在观察对比中，提炼寻找“因数”的方法。

掌握寻找“因数”的方法后，学会有序记录，成对书写，从而及时应用，寻找出6 和15 的所有因数。在进一步的观察对比中，学生逐步感知一个数的因数有怎样的特点。通过练习、感悟，到小组内的思维碰撞，最终完整地进行“因数”特点的表达。

三、设计趣味化的练习强化表达的思路

数学的本质是思维，思维的本质是推理，数学语言是思维的工具，而思维又离不开语言。学生在一节数学新授课中，是否真的掌握了知识，就要看其在练习中是否能用数学语言把思维表达清晰，能否把推理思考过程用严谨的数学语言进行表述。因此，有效的练习设计，在一节课中尤为关键。

【教学片段三】

练习：小明把一个数的因数和另一个数的倍数，按从小到大的顺序写在了卡片上，如果只翻其中的一张卡片，就能猜出这个数是多少，你准备先翻哪张卡片？

（1）（ ）的因数：□、□、□、□、□。

最后一张：一个数的因数最大是自己。

中间2 张：因数个数是6 个，说明中间2 张因数相乘就是原来的数。

追问：为什么不翻第一张？第一张一定是1。

（2）（ ）的倍数：□、□、□、□、□…

第一张：一个数的倍数最小是自己。

追问：翻其他的卡片，能猜出原来这个数吗？如果第二张翻出来是14，你知道这个数是多少吗？你是怎么想的？

总结：只要熟练掌握找一个数因数和倍数的方法，了解因数和倍数的特点，就能很顺利地完成任务。

接下来，我们一起来完成一项每个人都不一样的任务。

根据自己的学号，写出学号所对应的所有因数以及对应的倍数。

（1）找两名学生介绍，因数的个数是有限的，倍数我们一般找5 个比100 小的数，也就是说，超过100 可以不写了。

（2）大家都找到了自己学号对应的所有因数，大胆猜一猜，哪个学号对应的因数最少？哪个学号对应的因数最多？（看来，不是数字越大因数就越多）

（3）知识拓展：“完美数”

请学号为6 的同学起立，介绍一下6 的因数。

师：知道我为什么要找“6”这个号码？因为数字6在数学上还有个非常好听的名字。瞧，它的所有比自己小的因数相加（1+2+3=6），和仍然是6。这样的数，数学家们称它为“完美数”。

还有哪些同学的学号是“完美数”呢？同学们可以试着算一算哦。

【评析】练习设计，不仅要符合一节课的教学目标，还要能突出教学的重难点，好的练习设计，往往可以帮助学生把所学的知识点进行整合、提升。通过“玩”来进行练习，学生在不知不觉中就把知识进行了融合与应用。

“翻卡片”的游戏，就是结合因数和倍数的特征设计的练习，通过翻一张卡片，来判断一个数是多少，学生需要对因数和倍数的概念有很深的认识，同时，结合因数和倍数的特点，进行思考和判断。在练习中，不仅是“翻卡片”，更主要的是通过“翻卡片”表达自己的思考过程：为什么翻这一张？根据翻出的卡片，又是如何判断出原来的数的？这些问题就是把所有的知识点进行灵活应用，学生在推理的过程中，进行表达，从而外显思维。

找“学号”的因数与倍数的练习，则是让学生在对比中加深对“因数和倍数”的应用，通过寻找自己学号的因数和倍数，达成本课的学习目标，会找任意一个数的因数和倍数。同时，在寻找的过程中，逐步感知，并不是数字越大，因数就越多。在探究一个数的因数的过程中，进行知识的拓展，认识“完美数”。

学生的数学表达能力的培养，不是一朝一夕就能形成的，而是一个序列化的系统过程。教师在培养学生表达能力的过程中，要有清晰的目标，多样的策略；持续的指导，把数学表达渗透在每节课中，充分利用每一个教学环节，鼓励学生用数学的语言进行思维的表达；在操作、对比、练习的过程中，逐步形成规范、完整、有条理的表达。