考查数学思维，引导有效教学
2024-01-05刘再平刘祖希罗新兵
刘再平 刘祖希 罗新兵
【作者简介】刘再平，陕西师范大学教育博士，陕西省教学能手，主要从事高考和数学教学研究；刘祖希，副编审，华东师范大学出版社培训部（教师进修中心）主任，主要从事数学教育研究；罗新兵，教育学博士，陕西师范大学教授，博士生导师，主要从事数学课程与教学、数学教师教育研究。
【基金项目】陕西省教育科学“十四五”规划2023年度课题“新高考背景下高考数学研究、展望与教学建议”（SGH23Y1834）
【课堂聚焦·评价研究】
【摘 要】2023年全国乙卷数学试题立足基本知识与基本思想，拓宽解题入口，打破常规套路，通过少算多想，注重知识的融合，分别考查了数学思维的深刻性、严密性、发散性、灵活性、批判性与创新性，落实素养立意的理念，突出关键能力的考查，实现人才的选拔。文章在理论上首先阐述了数学思维的含义、品质与表现；然后，结合具体试题对数学思维的考查进行评析；最后，在问题命制、学生学法和教师教法三个层面提出了相应的建议。
【关键词】高考数学；全国乙卷；试题评析；数学思维；引导教学
一、问题的提出
数学教育的主要目的应该是促进学生数学思维的发展［1］，通过数学教学帮助学生更清晰、全面、深入、合理地学会思考，并从低阶的具体数学知识、基本技能和各种解题技巧层面上升到高阶的数学思维层面，促进普遍性思维策略和思维品质的提升，并能由“理性思维”走向“理性精神”。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课程标准》）［2］在课程性质部分指出：数学教育要引导学生会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界（以下简称“三会”），促进学生数学思维能力的发展，并在《课程标准》中首次界定了数学核心素养，数学教育改革也正式过渡到素养立意时代。《中国高考评价体系》（以下简称《评价体系》）［3］也指出：新时代高考数学试题的命题理念是以价值引领、素养导向、能力为重、知识为基，关键能力是高考重要的考核目标，也是测试和评价的核心指标和因素。然而，不论《课程标准》还是《评价体系》，数学思维能力是“三会”和诸多关键能力的核心，各种数学核心素养的培养都离不开数学思维能力。
要体现《课程标准》理念和落实《评价体系》要求，实现素养立意、人才选拔和变革机械教学，高考在考查学生数学思维方面作出了很多努力。因此，本文拟对以下问题进行探讨和分析：（1）数学思维的含义、品质与表现是什么？（2）2023年全国乙卷高考数学试题对数学思维的考查有什么要求？（3）在教学上，对试题的命制、学法与教法有什么启示？
二、数学思维的含义、品质与表现分析
数学思维从属于一般思维，一般思维指具有意识的人脑对客观事物的本质属性和相互联系的概括和间接的反映［4］。而数学思维指人脑与空间形式、数学关系、结构关系等数学对象交互作用，并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。数学思维的深刻性、严密性、发散性、灵活性、批判性与创新性等是数学思维的重要品质，直观感知、观察发现、归纳类比、符号表达、运算求解、数据处理、空间想象、抽象概括、演绎与证明、反思与构建等思维活动是数学思维能力的具体表现［5］。其逻辑关系如图1。
三、高考数学思维的考查评析
（一）挖掘基本知识，考查思维的深刻性
思维的深刻性主要指思维活动的抽象程度、逻辑水平，以及思维活动的广度、深度和难度等。而数学思维的深刻性是指在分析与解决数学问题时，能够抓住问题的实质以及问题间的相互联系的一种思维品质。数学思维的深刻性既表现在严谨的数学思维活动过程中，又表现在数学思维活动结果的广度和深度上，并能经受数学实践活动的检验，达到举一反三、触类旁通的效果。数学思维深刻性的反面是思维的表面性，它表现为认识的肤浅性，思维活动的浅尝辄止，只知其现象而不知其本质。在数学教学中，教师要加强学生数学语言的表达能力，提高学生的逻辑思维能力，引导学生深入挖掘基本知识的本质，培养学生数学思维的深刻性。如2023年全国乙卷理科第16题深入挖掘了指数函数的性质，考查了数学思维的深刻性。
例1 （2023年全国乙卷理科第16题）设a[∈（0，1）]，若函数f（x）=ax+（1+a）x在（0，[+∞]）上单调递增，则a的取值范围是 。
例1需要对指数函数求导，然而含参指數函数的求导是比较繁杂的，并且求一次导并不能解决问题，若不深入挖掘，停留于表面，思维停滞不前，很容易导致解题失败，所以需要透过表面，继续深入求导，然后小题小做，再用端点效应解决。当然，也可以另辟蹊径，深入挖掘构成f（x）的两个指数函数的增减趋势，即g（x）=（1+a）x在（0，[+∞]）上的增加速度一定大于y=ax在（0，[+∞]）上的减少速度，则将y=ax沿直线y=1对折统一单调性后，得出函数h（x）=2-ax在x=0处的导数g′（0）≥h′（0）即可解决。本题虽然表面上只是考查了最基本的函数性质，但是深入挖掘了指数函数的单调性，扎实考查了数学思维的深刻性，对教师的教学来说具有很好的导向作用。
（二）立足基本思想，考查思维的严密性
数学思想是数学的精髓，是对数学规律的本质和理性认识，是在数学认知过程中从具体的数学内容提炼上升的观点。数学思想在数学认知活动中应用广泛，具有普遍的指导意义，是构建数学体系和解决数学问题的指导思想［6］。数学是一门高度抽象与逻辑严密的科学，数学思维的严密性是数学的重要特点，数学思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，解决数学问题时规范、准确，进行数学运算和推理时精确无误。高考中常见的分类讨论思想和数形结合思想等都对数学思维的严密性有较高要求，如2023年全国乙卷文科第7题和第20题等。
例2 （2023年全国乙卷文科第7题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域[x，y|1≤x2+y2≤4]内随机取一点A，则直线OA的倾斜角不大于
A.[18] B.[16] C.[14] D.[12]
例2考查了几何概型的相关计算，若紧扣题意直线OA的倾斜角在0到
例3 （2023年全國乙卷文科第20题）已知函数[f（x）=1x+aln1+x]。
（1）当[a=-1]时，求曲线[y=f（x）]在点[1，f（1）]处的切线方程；
（2）若函数[f（x）]在[0，+∞]单调递增，求[a]的取值范围。
例3转化为[f（x）]的导数[f ′（x）≥0]恒成立后，还需要局部构造函数[g（x）]。当对[g（x）]第一次求导后，需要展开第一层分类讨论，即a[≤0]和a[>0]；当对[g（x）]第二次求导后，需要展开第二层分类讨论，即a[≥12]和0[<]a[<12]。分类讨论要求有序，并不重不漏。
综上所述，例2、例3都需要立足基本数学思想，才能减少很多不必要的失误，考查了数学思维的严密性。
（三）拓宽解题入口，考查思维的发散性
发散思维是20世纪50年代，由美国心理学家吉尔福特在研究智力结构模型时提出来的，发散思维是从同一对象中产生多种分化因素，或者揭示同一本质所表现出来的现象、形式之间的差异性思维过程。发散性思维要求思维流畅、独特与开阔，对已知信息进行多方向、多角度的联想，从而帮助问题的解决。在日常教学中，一题多解、一题多用往往有益于培养学生数学思维的发散性，如2023年全国乙卷文科第11题等解答方法多样，入口宽，有利于考查学生数学思维的发散性。
例4 （2023年全国乙卷文科第11题）已知实数x，y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是（ ）
A. 1+[322] B. 4 C. 1+3[2] D. 7
例4虽然处在选择题次压轴位置，但是这道高考试题解答入口宽，学生容易上手，其主要解答方法如下：方法一先换元令x-y=t，即将x=y+t代入条件获得主元为y的一元二次方程，且方程有解，判别式非负，建立关于t的不等式，解得其范围即可。方法二将条件化为圆的标准形式（x-2）2+（y-1）2=9后，运用圆的参数方程，令x=3cos[α]+2，y=3sin[α+1]，即x-y=3[2cos]
综上所述，例4的三种解法分别基于一元二次方程、三角函数、解析几何视角，这些解法都很常规，相关内容学生比较熟悉，较好地考查了学生数学思维的发散性。
（四）打破常规套路，考查思维的灵活性
学生的成绩受试题的难度和分布顺序等因素的影响，在以前的高考数学中，特别是每道解答题的考试内容、解法和难易程度都是相对固定的。通常来说六道解答题的内容顺序是：解三角形或数列、立体几何、概率统计、圆锥曲线、导数、选考（极坐标参数方程或不等式）。六道解答题的难度顺序是：前三道试题和最后的选考题简单；圆锥曲线试题第一问简单，第二问难度中等偏上，是次压轴点；导数试题第一问简单或中等难度，第二问难度较大，是真正的压轴点。这种试题固化的局面很容易造成高考考什么有的教师就只教什么、学生也就只学什么的机械学习态势，不利于国家选才。因此，2023年的全国数学乙卷在试题顺序方面打破了连续四年的“第四题效应”，并把概率统计放在了解答题第一题。在考查内容与解题方法上，试题也打破了固有套路，如理科第9、19题求线面角和二面角时，教师常教的、学生熟悉的建系、利用空间向量的解答套路失去了应有的效果。这种从试题顺序与解法等多方面打破试题套路和固化的现象，不仅有利于培养学生良好的心理素质，而且考查了思维的灵活性，还引导教学摒弃猜题、押题和疲劳刷题的高三复习模式［7-8］。
例5 （2023年全国乙卷理科19题）如图3，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=2[2]，PB=PC=[6]，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=[5DO]，点F在AC上，BF⊥AO。
（1）证明：EF∥平面ADO；
（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；
（3）求二面角D-AO-C的正弦值。
例5是2023年全国乙卷理科试题中典型的“反套路”题。首先，证明F为AC的中点是解决第（1）（2）问的关键，然而用常见证明中点的平面几何方法基本失效，学生虽然熟悉，但是在立体几何中运用得较少。若学生分别以BA、BC建立x、y轴的解析几何方法和平面向量的方法则不难解答。其次，第（3）问在求二面角时，由于题目条件的限制，建立空间直角坐标系，运用空间向量的解法套路很难展开。最后，运用二面角的定义，转化为平面几何也可以求解二面角的正弦值，然而要找到二面角D-AO-C的平面角却很困难，且计算量较大，比较恰当的解法是将其转化为[DO]与[BF]的夹角，然后再用基底向量[BA]、[BP]、[BC]解答。显然，该题打破了立体几何在求角时的固有套路，深入考查了学生数学思维的灵活性。
（五）通过少算多想，考查思维的批判性
数学批判性思维能力是指面对各类数学问题情境，运用已有数学知识经验进行严密思考、分析推理和评价重构的多种思维能力，是学生优化问题解答的重要能力［9-10］。批判性思维能力也是国家培养创新人才的迫切需要。在数学学习过程中，发现问题、提出问题、思辨问题、优化问题策略，对数学结论进行大胆猜测和通过逻辑推理验证猜想的心路历程就是批判性思维的具体表现，然而学生要在高考短时间内充分展开上述批判性思维过程，就需要高考数学试题适当的减少运算量，增加思维含量，让学生少算多想，为学生批判性思维的蔓延提供空间，从而才能达到真正考查学生思维批判性的目的。如2023年全国乙卷理科第12题就需要学生认真分析、自主探究，不断辨析和优化思维策略，增加思维含量，实现对学生批判性思维能力的深入考查。
例6 （2023年全国乙卷理科第12题）已知[⊙O]的半径为1，直线PA与[⊙O]相切于点A，直线PB与交于B、C两点，D为BC的中点，若[PO]=[2]，则[PA]·[PD]的最大值为（ ）
A.[1+22] B.[1+222] C.1+[2] D.2+[2]
例6是一道选择压轴题，若按常规引入角分类讨论后，再利用三角函数的有界性解决比较麻烦。因此，学生需要积极思辨和及时优化思维策略，联系初中平面几何知识与高中投影概念，获得如下简解：由OD⊥PD，即动点D在以OP的中点E为圆心，[22]为半径的圆弧上运动，[PA]·[PD]=
|[PA]|[×]|[PD]|cos<[PA]，[PD]>=|[PD]| cos<[PA]，[PD]>，根据向量投影的概念只需求[PD]在[PA]上的最长投影即可，如图4，当点D运动到最左F点的位置时，投影最长为|EF|+[|PA|2=22+12]。因此，只有当学生具备这种少算多想的能力后，解题思维才会自然地流淌，批判性思维才得以充分的考查。
（六）注重知识的融合，考查思维的创新性
数学创新能力是数学实践研究活动中不断提供具有原创价值、学术价值、发展价值的新思想、新理论和新方法的能力。当今社会的竞争，与其说是人才的竞争，不如说是人的创造力的竞争，加强对创新能力的考查是社会进步和民族振兴对高考改革的迫切要求，也是高考数学作为工具学科和基础学科的重要体现。高考数学对创新能力考查的主要特点有：一是借助试题相对的新颖性，即考查的对象不是学生没见过的，而是学生不熟悉的，对学生来说相对新颖；二是注重知识的融合，在考查学生解决综合问题的过程中，突出学生数学思维的创新能力，如2023年全国乙卷理科第21题。
例7 （2023年全国乙卷理科第21题）已知函数[f（x）=1x+aln1+x]。
（1）当[a=-1]时，求曲线[y=f（x）]在点[1，f（1）]处的切线方程。
（2）是否存在a，b，使得曲线y=[f1x]关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由。
（3）若[f（x）]在[0，+∞]存在极值，求a的取值范围。
例7综合了导数的几何意义、函数的对称性与函数的极值等核心知识，不仅考查了学生的问题分析能力、运算求解能力、逻辑思维能力等关键能力与核心素养，更重要的是综合考查了学生的创新思维能力，即在解决这种压轴题的思维瓶颈之处，学生能够表现出积极的心理状态，运用所学数学知识、思维策略，独立思考与顽强探索，创造性地突破思维的障碍，使得问题的解决柳暗花明。因此，这种知识综合、能力综合、思维跨度大、區分度明显的高考压轴题，不仅考查了学生数学思维的创新性，而且还实现了人才的选拔。
四、教学启示
综上所述，2023年全国乙卷文理科两套数学试题既有创新，又保持稳定。2023年全国乙卷数学试题立足基本知识与基本思想，拓宽解题入口，打破常规套路，通过少算多想，注重知识的融合分别考查了数学思维的深刻性、严密性、发散性、灵活性、批判性与创新性，落实了《课程标准》素养立意的理念，突出了《评价体系》关键能力的考查，实现了人才的选拔，在引导数学教学方面得到以下启示。
一是在问题命制方面，创设问题情境，注重问题情景的熟悉与陌生的思辨性，激发思维动机，构建良好的思维场域。教师在教学中可以尝试命制一些跨学科和学科融合的新题型，为发展学生的数学思维能力提供良好的载体，培养学生的高阶思维能力。
二是在学生学法方面，引导学生“三个重视”：重视数学概念的生成过程，因为概念不仅是思维的细胞，还是数学思维创新的基础；重视数学思想方法，提高学生思维策略水平；重视暴露解决典型问题的思维历程，积累从有限道题目中获取解决无限道题的思维活动经验［11］，促进学生深度学习。
三是在教学方式方面，关注问题驱动与数学探究，深入到数学思维层面，鼓励学生对问题进行反复、深入的思考，探究离不开合作，但也少不了独立思考，应该将两者有机融合起来，实现深度教学，提升数学思维品质。当然，数学探究要把握好度，以避免表面的热闹掩盖学生思维贫乏的现象［12-13］。
参考文献：
［1］郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践［J］. 数学教育学报，2019（5）：24-32.
［2］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.
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［6］刘再平. 高考压轴题中的数学思想研究与教学建议：以2010—2019年高考数学全国卷为例［J］. 中国数学教育，2021（1-2）：65-69.
［7］胡凤娟. 促进“学会学习”：基于2022年高考数学试题的分析［J］. 基础教育课程，2022（8）：11-19.
［8］胡凤娟. 走出“机械刷题”：基于2021年高考数学试题的分析［J］. 基础教育课程，2021（8）：19-26.
［9］赵轩，任子朝，陈昂. 高考数学科批判性思维考查研究［J］. 数学通报，2019（12）：38-42.
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［11］罗增儒. 数学解题学引论［M］. 2版. 西安：陕西师范大学出版社，2001.
［12］李祎. 别被理念绑架了教学［J］. 数学通报，2019（2）：18-20，25.
［13］李祎. 高水平数学教学到底该教什么［J］. 数学教育学报，2014（6）：31-35.
（责任编辑：陆顺演）
