如何利用图形的平移解决规律探索题

郭祖涛

摘要：在初中数学日常思维训练中，经常会遇到规律探索题.这类题虽然趣味性强，但学生的实际解决水平比较弱，导致大部分学生在见到此类问题时往往避之不及.针对该问题，教师一方面要认识到规律探索题是中考命题热点题型，另一方面积极探索解决此类问题的方法，帮助学生不断提高探究能力.本文中结合实例探究如何利用图形的平移解决规律探索类问题.

关键词：图形的平移；规律探索题；趣味；方法

根据教学经验，规律探索题在日常检测与中考中出现的几率非常大，且难度较大，往往是学生提高学业水平的“拦路虎”［1］.基于此，本文中从例题分析出发，尝试总结出利用图形的平移解决规律探索题的方法.

1 规律探索题的素养体现

规律探索题之所以是初中数学教学的难点，是因为规律的探索尤为注重对规律性特征的把握，而这又依赖于从情境式的问题中寻找隐含的数学关系，整个过程可以看成是对规律性结构的重建与加工.因此，规律探索题主要体现了以下素养：

首先，数学抽象与逻辑推理素养.将图形的平移抽象成点的变化，通过点的变化进行逻辑推理，并得到其他点的坐标，这体现了数学抽象与逻辑推理素养.

其次，直观想象与逻辑推理素养.通过图形可直观地观察点的运动情况，并总结出点的变化规律，从而运用逻辑推理得到其他点的坐标，这是直观想象与逻辑推理素养的体现.

最后，逻辑推理及数学运算素养.点的运动会导致坐标的变化，而其变化规律既要通过逻辑推理得到，同时应用其规律推理其他点的坐标时，又是数学运算的体现.所以，应用图形的平移解决规律探索题时，体现了逻辑推理及数学运算素养.

2 例题分析及解法评析

下面结合例题分析尝试总结利用图形的平移解决规律探索题的方法.

例1 已知A1，A2，A3，A4，A5，……的坐标分别为（1，0），（1，1），（-1，1），（-1，-1），（2，-1），……，如图1进行下去，则点A2 013的坐标是（ ）.

A.（504，-503）

B.（504，504）

C.（-504，504）

D.（-504，-504）

解析：根据观察不难发现，凡是角标数字为4的倍数的点全部位于第三象限.

因为2 013÷4=503……1，所以

A2 013在第四象限，故

A2 012在第三象限.

由2 012÷4=503，可知

A2 012是第三象限第503个点.

所以A2012的坐标应是（-503，-503）.故

A2013的坐标应是 （504，-503）.

故选答案：A.

解法评析：本题主要考查学生观察规律、总结规律和应用规律解决问题的能力.规律的观察重在用数学眼光看待问题，规律的总结重在用数学的语言表达问题，规律的应用重在用数学方法解决问题，这是学科素养的体现.在解决这类问题时，抓住角标的变化规律，就可以抓住点的变化规律［2］.

例2 如图2所示，在平面直角坐标系中，将点A（-1，0）做如下的连续平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）……，按此规律平移下去，则点A102的坐标是（ ）.

A.（100，101）

B.（101，100）

C.（102，101）

D.（103，102）

分析：根据题意可知，点A平移时所在象限每4次为一个周期.由102÷4=25……2，可知点A102的坐标与点A4n+2的坐标规律相同，分别求出A2，A6，A10的坐标，找出规律后即可求解.

解析：根据将点A（-1，0）作如下的连续平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）……，得到其中的规律就是点A平移时所在象限每4次为一个周期.

因为102÷4=25……2，所以

点A102的坐标与点A4n+2的坐标规律相同.

因为A2，A6，A10的坐标分别是（2，1），（6，5），（10，9），以此类推，

点A4n+2的坐标是（4n+2，4n+1），所以

A102的坐标是（102，101）.

故选答案：C.

解法评析：本题与例1的解法类似，都是找出点的下标的规律，据此找出点A的平移规律或平移周期，最后根据这一规律计算即可.

例3 有一个从原点出发的动点，按照如图3所示的箭头移动，每次移动一个单位长度，依次得到点P1，P2，P3，P4，P5，P6，……，它们的坐标分别是（0，1），（1，1），（1，0），（1，-1），（2，-1），（2，0），……，按照这样的规律进行下去，点P60的坐标是.

分析：根据图形分别求出n=3，6，9时对应的点的坐标，可知点P3n（n，0），将n=20代入可得.

解：因为P3（1，0），P6（2，0），P9（3，0），……，所以

P3n（n，0）.

当n=20时，P60（20，0）.

故填答案：（20，0）.

解法评析：本题考查了點的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n=3，6，9时对应的点的坐标是解题的关键.

3 方法总结

通过上面几道例题的分析和解法评析不难发现，利用图形的平移解决规律探索题，既有趣又探究意义十足，是训练学生数学思维的重要方法.下面对利用图形的平移解决规律探索题的方法作如下总结：

首先，利用图形的平移解决规律探索题一定会应用图形的平移知识，其中主要涉及点的平移规律［3］.所以，在教学中需帮助学生不断巩固和强化图形平移中点的平移规律.笔者建议，教师可通过例题变式或举一反三的形式，让学生接触各种点的运动方式，如例1、例2的“旋转式”或例3的“S式”等.这样一来，学生就会不断积累相应的分析与解题经验，更有利于问题的解决.

其次，奠定知识基础后，接着通过图形观察点的运动状态.通常点的运动蕴藏着一定规律，这个规律不仅呈现出周期变化，而且往往与点的角标规律有关.所以，结合序号分析点的角标的变化规律对解决这类问题非常关键.但是，有时候角标的规律可能比较难分析，这就需要教师补充规律探索中的数字式规律，从而帮助学生弥补这一不足.

最后，在找到点的角标规律后，将题中要求的点的角标与该规律联系起来，并进行相关的计算即可求解.这种计算往往比较简单，但仍需学生多加注意.

综上所述，尽管规律探究题的难度不小，且其中点的运动过程需用心分析，但并非意味着学生遇到此类问题时可“绕道而行”，相反应“迎难而上”.因此，作为一线初中数学教师要善于从题中总结出解题方法，帮助学生解决疑难问题［4］.只有这样，学生的探究能力和问题解决能力才会得到提高.

参考文献：

［1］明廷军. 关注图形平移过程 掌握图形变化规律——微课教学的实践探索［J］. 中学数学研究（华南师范大学版）， 2020（18）：48-50.

［2］贺洪秋. 精心设计学习问题 促进目标有效达成——以《图形的平移》教学为例［J］. 数学大世界（中旬）， 2021（8）：55-56.

［3］安德枝. 借助图形运动 培养转化意识 ——以《运用平移解决问题》教学为例［J］. 湖北教育（教育教学）， 2020（8）：73-74.

［4］林海. 利用平移变换的思想解决几何综合题的策略与方法［J］. 求知导刊， 2020（43）：65-66.

作者单位：安徽省宿州市砀山县晨光中学