“将军饮马”模型在初中数学中的迁移运用

杨徐梦

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：学生经历数学观察、数学思考、数学表达、概括归纳、迁移应用等学习过程，发展数学核心素养.数学的学习除了基本概念、原理、法则、性质等内容的掌握，更要会用所学知识解决数学问题.这就要培养学生的知识迁移应用能力.“将军饮马”模型在数学中的应用，就是利用“两点之间，线段最短”这一简单的原理解决生活和学习中的许多数学问题.模型的迁移应用可以把复杂的问题简单化，抽象的问题具体化.通过建立联系，形成规律，从而准确地解决数学问题.

1 “将军饮马”情境再现

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个非常有趣的数学问题.这首诗中将军骑马观望烽火之后从山脚下的A点（如图1）出发，骑马到河边饮马后再到B点宿营，要怎样走才能使所走的总路程最短.

2 “将军饮马”模型

如图2，把宿营地和山脚出发点看作两个点A，B，把河流看作直线a，即在直线a同侧有两个定点A，B，在直线a上找一点C，使AC+BC的值最小.如果点A，B在直线a的异侧，利用公理“两点之间线段最短”就可以解决.下面利用两个模型进行探究学习.

模型一：“异侧两定一动”模型.

已知：定点A，B在定直线l的两侧.

要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小.

分析：连接AB，交直线l于点P，点P即为所求点.线段AB的长度即为PA+PB的最小值.

理由：“两点之间线段最短”，可以利用“三角形两边之和大于第三边”来证明.如图3，在直线l上任取一点P′（点P′与点P不重合），连接AP′，BP′.

因为在△ABP′中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP，所以當P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB的值最小.

模型二：“同侧两定一动”模型.

已知：定点A和定点B在定直线a的同侧.

要求：在直线a上找一点P，使PA+PB的值最小（或△ABP的周长最小）.

分析：此问题的关键是要把“同侧两定”转化成“异侧两定”，这样就可以利用模型一来解决.而要实现等距离迁移，就不难想到利用对称来解决.所以可以作点B关于直线a的对称点B′，如图4，连接AB′，交直线a于点P，则点P就是所要找的点.

理由：因为PB′=PB，所以可得

PA+PB=PA+PB′=AB′.

3 “将军饮马”模型的迁移应用

3.1 在方案设计题中的迁移应用

例1 在河流CD的同侧有两个村庄A，B，A村庄到河流的距离AC=10 km，B村庄到河流的距离BD=30 km，且CD=30 km.现在打算在河边建一个自来水厂，向A和B两个村庄供水，铺设水管的费用为3万元/km，要使铺设水管的费用最省，请你在河流CD上选择水厂的位置M，并求出铺设水管的总费用？

分析：A，B两定点在直线CD的同侧，M是一个动点，所以此题属于“同侧两定一动”模型.

解：如图5所示，作点B关于直线CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点M，则AM+BM=AM+B′M=AB′，此时水厂建在点M时，费用最小.

对于“将军饮马”模型类问题，利用轴对称变换，通过化曲为直，把折线路径转化为两点间距离，根据“两点之间，线段最短”求出线段之和或三角形周长最小值，可利用两边之和大于第三边作简单证明.此类问题的解题步骤为：（1）选择模型；（2）作对称；（3）定交点；（4）连路径.