“仅用无刻度直尺作图”课堂实践例展与分析

李志明

摘要：无刻度直尺作图一直是中考命题的热点，也是初中生数学活动实践中的一大薄弱点.从学生的作图情况来看，利用无刻度直尺作图仍存在着诸多问题，如错误地直接取中点、错画垂直或平行等.本文中通过一节课堂教学片段，呈现如何帮助学生学会仅用无刻度直尺作图的方法.

关键词：无刻度直尺；作图；实例

无刻度直尺作图是尺规作图中的一种，有些省市的中考命题者对此十分青睐.然而，这一内容恰巧是学生的薄弱项，表现出了诸多不足，导致利用无刻度直尺作图题的得分率整体偏低.为此，本文中首先呈现例题及其错误画法，并在分析之后简要说明无刻度直尺的工具属性，最后通过呈现课堂教学片段的方式，和学生探究无刻度直尺作图的方法.

1 例题及其错误画法呈现

例题呈现如下：

如图1所示，四边形AOCB是⊙O内一菱形，且A，B，C都在圆上，请仅用无刻度直尺作出线段OA的中点.

本题图形简单，条件不多，要求也比较明

确，难度较小，笔者预

估学生完成的质量较高.但从学生的作图来看，存在很多错误之处，下面展示几种错误画法（如图2）：

2 错解分析

图2中的四种错解具有代表性.下面对这四种错解进行分析.

图2（1）虽关注到了可用无刻度直尺连接菱形AOCB的对角线构造出点D，但之后直接取OA的中点并连接DE，这正是错误之处.因为仅用无刻度直尺作图时，无法直接且准确地取一条线段的中点，所以违背了无刻度直尺的工具属性.

图2（2）的画法虽然简单，但同样违背了无刻度直尺的工具属性.体现在两个方面：首先，直接取BC的中点；其次，直接取OA的中点.

图2（3）连接BO并延长与⊙O相交于点D，连接DA，作∠BDA的角平分线DE，与OA交于点F，与⊙O相交于点E.这种作法虽部分尊重了无刻度直尺的工具属性，如“连接OB并延长与⊙O相交于点D”“连接DA”，但仅用无刻度直尺难以直接、准确地画出一个角的角平分线.

图2（4）延长CO与⊙O相交于点D，连接DA，连接BD，与OA相交于点E.这种作法虽然准确找到了OA的中点E，每一步操作也符合无刻度直尺的工具属性，但存在多余的线段，应将DA删除.

3 仅用无刻度直尺作图的工具属性说明

从上述四种错解分析中可以看出，违反无刻度直尺的工具属性最常见.那么，无刻度直尺的工具属性有哪些呢？

首先，用无刻度直尺可连接点，如图2（1）中连接CA，OB和图2（4）中连接BD的操作步骤都利用了这一点.

其次，用无刻度直尺可将线段延长，如图2（3）中“连接BO并延长与⊙O相交于点D”和图2（4）中“延长CO与⊙O相交于点D”的操作步骤都利用了这一点.

也就是说，在仅用无刻度直尺作图的情况下，只能进行连接点、延长等操作，不能直接利用无刻度直尺取线段中点、作角平分线、作平行线、作垂线等^［1］.

4 仅用无刻度直尺作图课堂实践

虽然当前的尺规作图题无需写出作图步骤及证明过程，但这类题处处体现着数学学科特有的逻辑思维^［2］.那么，该如何引导学生去解决这类问题？下面，展示教学片段：

师：请同学们取出一张白纸，将之折叠再折叠使之成为一把“无刻度直尺”.

学生折纸.

设计意图：长期以来，有刻度的直尺作图给学生留下了极其深刻的印象.用白纸折出“无刻度直尺”，帮助学生脱离有刻度直尺的束缚，是正确利用无刻度直尺作图的關键.

师：请问这样的“直尺”有刻度吗？

生：没有.

师：利用它能否画出一条直线或线段呢？请和同桌交流.

学生交流并分享.

生1：可以画出直线，也可以画出线段，还可以画出射线.

师：请用你的“无刻度直尺”给所画线段找出中点，可以吗？

学生寻找并讨论.

教师巡视并收集错解，在白板上展示.

师：请看白板上展示的两种作法，你认为它们正确吗？

学生观察并思考.

生2：我认为图3的作法不正确.因为仅用无刻度直尺“找”不到它的中点.线段是由无数个点组成的，你怎么知道点O正好就是线段AB的中点呢？所以，我认为这种画法不正确.

生3：我觉得图4的作法也有问题.因为用无刻度直尺画中间直线时，如何知道该直线恰好与线段AB互相垂直呢？

设计意图：收集错解并向学生展示，有利于学生发现问题、分析问题.借助错解让学生反思，更有利于学生形成批判性思维，甚至创造性思维.

师：分析得非常有道理.那么仅用无刻度直尺作图时，到底能做什么呢？

生4：我认为可以连接点.

生5：我认为可以把线段向两端延长.

…………

师：非常好.那么对于图1，应如何利用无刻度直尺作图呢？请思考.

生：（思考）

生6：首先可以把能连接的点用无刻度直尺连接起来，还可以延长线段.如图2（1）中连接OB，CA，如图2（3）中连接OB后延长BO与⊙O交于点D.

生7：线段延长后会产生新的点，这些新的点又可以连接.如图2（4），延长CO，与⊙O交于点D，这个点D就是新产生的点，可以将这个点与其他点连接起来.

生8：我认为还有非常重要的一点，就是把多余的线段去掉，如图2（4）中应该去掉线段AD.

师：大家说得非常好，生8补充得更好.所以，图1中OA的中点可如图5所示作图.

综上所述，在仅用无刻度直尺作图时，一定要摒弃习惯思维对学生的影响，在明确无刻度直尺的工具属性后，才能正确作图.否则，极易出现文中展示的几种错误.

参考文献：

［1］张洁.造境·串问·灵动：从中考题谈情境教学——以“直尺作图”为演示案例［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2020（22）：16-17，15.

［2］吕科利，郑旭常.浅析“无刻度直尺”作图的作法探讨与应用［J］.理科考试研究，2018，25（8）：21-24.