非等压圆形巷道围岩塑性分析

尚阳光，杨自友，高 鹏，张煜

（安徽建筑大学土木工程学院，合肥 230601）

引言

地下巷道的开挖会使围岩产生塑性区，塑性区的大小和形态往往决定着围岩的稳定性[1]。在多数情况下，围岩应力计算过程中常常以双向等压为基本条件[2-3]，此时得到的塑性区形态都是圆形，但地下岩体一般都处于非等压应力状态，围岩的塑性区形状往往呈蝴蝶形、十字形或舌状[4]。因此有必要研究非等压巷道的围岩塑性区特征，以便对实际工程提供理论参考。

在非等压圆形巷道研究过程中，王卫军等[5]和孙珍平等[6]用Mohr-Coulomb(M-C)强度准则，分别推导了支护反力和渗流力作用下的巷道围岩塑性区边界方程的近似解，但是M-C 强度准则本身并没有考虑到中间主剪应力的影响，计算结果往往偏于保守。陈立伟等[7]和关晓迪等[8]运用统一强度理论推导出了塑性区边界线方程式、围岩应力和塑性区半径解析解，但统一强度理论未能考虑最小主剪应力的影响。

高江平等[9]在双剪统一强度理论的基础上提出了三剪应力统一强度理论，该理论能够考虑3 个主剪应力同时作用于材料的影响，是所有非凸性强度理论和外凸性强度理论的上限，且数学表达式简洁，已经在工程理论的计算中得到了初步的应用[10-11]。本文基于该理论，推导出了非等压圆形巷道的塑性区边界方程式、围岩应力以及塑性区半径解析解，并结合工程实例，研究了侧压力系数和主剪应力参数对围岩塑性区和应力的影响。

1 三剪应力统一强度理论

三剪应力统一强度理论认为：当作用于菱形十二面应力单元体上的正应力（σ13、σ12、σ23）及剪应力（τ13、τ12、τ23）的影响函数达到某一极限值时，材料的破坏才开始发生。此理论下的抗剪强度参数cs和φs由下式计算：

式中，φ0为岩体内摩擦角（°）；c0为岩体粘聚力（MPa）；c为最小主剪应力τ23和正应力σ23综合影响的作用系数，取值范围为[0～1.0]；b为中间主剪应力τ12和正应力σ12综合影响的作用系数，取值范围为[0～1.0]；m为中间主应力系数，在弹性区域，m=2ν（ν为泊松比）；在塑性区域，m=1。

三剪应力统一强度理论应力单元体如图1所示。

图1 菱形十二面应力单元体

根据参数b、c的不同取值，三剪应力强度理论可以退化成M-C 准则（b=0，c=0）、双剪应力准则（b=1.0，c=0）、三剪应力准则（b=1.0，c=1.0）以及双剪统一强度理论（0 ≤b≤1.0，c=0）。另外，当b、c分别取0～1.0 之间的其他值时，可以退化成一系列新的强度准则。

在平面应变问题中，当岩体处于塑性破环状态时，m→1，且中间主应力σ2=(σ1+σ3)/2[12]。联立式(1)～(3)，可以得到平面应变状态下的三剪应力强度理论线性表达式：

在平面应变情况下，非均匀场中主应力和各应力分量之间的关系为：

式中，σθ为围岩中任一点的环向应力（MPa）；σr为围岩中任一点的径向应力（MPa）；τrθ为围岩中任一点的剪应力（MPa）。

联立式(4)和式(5)，可得平面应变状态下岩体的屈服方程：

2 非等压圆形巷道围岩塑性区求解

2.1 力学模型

针对平面应变下的非等压圆形巷道，给出以下几点假设：1)巷道的围岩可以视为各向同性、连续、均匀的理想弹塑性材料；2)原岩应力为非等压状态，侧压力系数为λ，围岩竖直应力为P0,水平应力为λP0，巷道半径为R0，巷道的塑性区半径为R，巷道围岩中任意一点到巷道中心的距离为r，方位角为θ，范围取[0°～90°]，支护阻力为Pi；3)忽略巷道影响范围内的岩体自重，可以简化成平面应变状态。具体力学模型如图2所示。

图2 非等压圆形巷道力学模型

2.2 非等压巷道围岩弹性状态应力场

根据文献[13]可知，当侧压力系数λ≠1.0时，对于深埋圆形硐室的弹性区围岩应力，通常将其计算简图分解成轴对称围岩弹性应力状态和反对称围岩弹性应力状态。因此，非等压巷道围岩力学模型可转化为两种应力状态的叠加，具体如图3所示。

图3 非等压圆形巷道应力分解模型

将两种应力场叠加,即可得巷道在非等压下的围岩弹性应力场为：

2.3 围岩塑性区边界线方程

目前对于非等压圆形巷道塑性区的求解尚无理论解，国内外学者通常用近似解法来求解塑性区范围，通过弹性理论求得围岩应力。近似解法通常有近似隐式法和应力构造法两种[15]，前者是将弹性围岩应力代入塑性屈服条件，从而求出塑性区边界方程来确定塑性区的范围；后者是把塑性区的力学模型视为轴对称平面应变问题，然后利用弹塑性交界面上应力分量连续的特点，得出塑性区边界解。

近似隐式法所求的边界方程虽然是一种近似解，但能在一定程度上反映围岩塑性区形态，对于分析巷道围岩塑性区形态有重大意义。本文采取此方法，推导出了围岩塑性区边界方程。

将式(10)代入式(6)中，可求出塑性区边界线方程式为：

当侧压力系数λ=1.0 时，均布压力作用于围岩，边界方程可以写成：

由边界方程推出均匀应力场下的围岩塑性区半径为：

2.4 非等压圆形巷道围岩弹塑性交界面应力

根据式(9)，出现塑性区时的非等压圆形巷道弹性区应力场表达式可以写成：

式中，σR为围岩弹塑性分界面上的径向应力。

当巷道任意一点半径r=R时，由式(14)可以推出巷道围岩弹塑性分界面处的应力表达式：

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联立式(15)与式(6)，可以得出基于三剪应力统一强度理论的围岩弹塑性交界面上的应力场表达式为：

2.5 非等压巷道围岩塑性区应力及半径

非等压圆形巷道围岩的平衡微分方程为[17]：

支护反力作用下，围岩应力边界条件为：

联立式(17)、式(18)和式(7)，可以得到基于三剪应力统一强度理论推出的塑性区应力表达式为：

当巷道围岩任意一点半径r=R时，由式(15)可知，弹塑性交界面处围岩应力满足如下关系式：

由于巷道围岩弹塑性交界面上应力分量连续，将式(19)代入式(20)中，通过应力构造法，可推出非等压圆形巷道围岩塑性区半径为：

3 算例分析

为了更好地分析侧压力系数和主剪应力系数对围岩应力和塑性区的影响，以安徽淮南潘一东矿-848 m 充电整流硐室为例进行参数分析。该巷道基本力学参数如下：等效开挖圆巷道半径R0=2.95 m，巷道围岩粘聚力c0=2.89 MPa，内摩擦角φ0=27.83°，初始竖向地应力P0=28.86 MPa，巷道支护反力Pi=0.1 MPa。

3.1 不同侧压力系数下的塑性区形态和大小

将算例数据代入式(21)中，可得到在不同侧压力系数下围岩塑性区形态如图4所示。

图4 不同侧压力系数下围岩塑性区形态

以λ=0.7 和1.5 为例，分别研究侧压力系数在小于1.0 和大于1.0 的情况下岩体的主剪应力参数对非等压围岩塑性区大小的影响，具体如图5所示。

图5 不同主剪应力系数下围岩塑性区大小

巷道围岩塑性区范围受中间主剪应力系数b值、最小主剪应力系数c值的影响，且b值、c值越大，围岩塑性区半径越小。从图5(a)可见，当侧压力系数λ=0.7，θ=0°（巷道两帮）时，b值、c值影响下的塑性区半径变化最为明显。以b=0、c=0为参照，b=1.0、c=0和b=1.0、c=1.0计算出的塑性区半径分别减少了18.5%、51.8%。从图5(b)可见，当侧压力系数λ=1.5，θ=90°（巷道顶板）时，b值、c值影响下的塑性区半径变化较为明显，也以b=0、c=0 为参照，b=1.0、c=0和b=1.0、c=1.0 计算出的塑性区半径分别减少了24.5%、54.0%。可见在非等压应力场中，主剪应力参数对水平和竖直方向上的塑性区范围影响显著。

3.2 巷道围岩弹塑性交界面应力分布情况

同样以λ=0.7 和1.5 为例，分别研究侧压力系数在小于1.0 和大于1.0 的情况下，岩体的主剪应力参数对非等压围岩弹塑性交界面上应力的影响。侧压力系数λ为0.7时，围岩弹塑性交界面应力分布曲线如图6所示。

图6 λ=0.7时围岩弹塑性交界面应力分布曲线

由图6 可知，λ小于1.0 时，巷道围岩弹塑性交界面上径向应力、环向应力均受到b值和c值的影响，呈现出随着b值、c值增大，径向应力减小，环向应力增大的特点，并且弹塑性交界面上应力会随着θ角的增大而减小。在θ=0°时，b值、c值影响下的围岩应力差值最为明显，以b=0、c=0为参照，b=1.0、c=0和b=1.0、c=1.0 计算出的径向应力分别减小了16.4%、54.1%，环向应力分别增大了5.3%、20.0%。

侧压力系数λ为1.5时，围岩弹塑性交界面应力分布曲线如图7所示。

图7 λ=1.5时围岩弹塑性交界面应力分布曲线

由图7 可知，巷道围岩弹塑性交界面上径向应力和环向应力均受到中间主剪应力系数b值和最小主剪应力系数c值的影响，同样呈现出随着b值、c值增大，径向应力减小，环向应力增大的特点，且弹塑性交界面应力均会随着θ角的增大而增大。在θ=90°时，b值、c值影响下的围岩应力差值最为明显，以b=0、c=0 为参照，b=1.0、c=0和b=1.0、c=1.0 计算出的径向应力分别减小了17.9%、59.8%，环向应力分别增大了9.8%、26.9%。

3.3 公式退化分析

三剪应力统一强度理论可以通过改变b值、c值，退化为M-C 强度准则（b=0，c=0）、双剪应力准则（b=1.0，c=0）和三剪应力准则（b=1.0，c=1.0）等一系列强度准则。为了更好地分析文中所求塑性区半径的三剪应力系列解，取侧压力系数λ=1.0，分别代入式(13)、式(21)中，塑性区半径随b值、c值的变化情况分别见表1、2。其中表1给出了c取0，不同b值下的塑性半径变化情况；表2 给出了b取1.0，不同c值下的塑性半径变化情况。

表1 不同b值下的塑性区半径计算结果 m

表2 不同c值下的塑性区半径计算结果 m

从表1、2 可见，近似隐式法求得的塑性区半径跟应力构造法求出的塑性区半径差别较大，但随着b值、c值的增大，两者之间的误差逐渐减小。从总体的计算结果来看，均匀应力场下的塑性区半径随着b值、c值的增大而减小，其中M-C 准则求出的塑性半径最大，三剪应力准则所求的塑性区半径最小，双剪应力准则求出的塑性区半径介于前两者之间。M-C 准则计算出的结果偏于保守，三剪应力统一强度理论覆盖了现有的各种强度理论，更符合岩体的实际受力情况，在工程中若一定程度上考虑主剪应力对岩体的影响，选取适当的b值、c值，可以得到更为经济合理的方案。

4 结论

本文基于三剪应力统一强度理论，针对非等压巷道围岩开展塑性分析，推导出了巷道塑性区边界线方程式、围岩应力和塑性区半径解析解，丰富了非均匀应力场下巷道围岩的弹塑性分析理论计算方法，主要结论如下：

1）侧压力系数λ对弹塑性交界面应力和围岩塑性区有着较大影响。当方位角θ处于第一象限时，若侧压力系数λ＜1.0，巷道塑性区半径和应力随着θ值的增大而增大，且在θ=90°时增加至最大；若λ＞1.0 时，两者随着θ值的增大而减小，在θ=90°时减小至最小。

2）中间主剪应力系数和最小主剪应力系数越大，围岩的塑性区范围就越小，尤其对非等压巷道顶、底板和两帮位置处的塑性区范围影响显著。

3）中间主剪应力系数和最小主剪应力系数越大，围岩的弹塑性交界面上的径向应力越小、环向应力越大。当中间主剪应力系数和最小主剪应力系数达到最大时，若侧压力系数λ＜1.0，巷道两帮处围岩应力差值达到最大；若侧压力系数λ＞1.0，巷道顶、底板处围岩应力差值达到最大。