一类Kirchhoff-Schrödinger-Poisson方程的非平凡解

胡 仙，蓝永艺

(集美大学理学院，福建 厦门 361021)

0 引言

近几年来，Schrödinger-Poisson系统

(1)

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也开始引起了大家的关注。文献[9]基于一些条件和对L(x)∈L2(R3)的假设条件，证明了其解的存在性与不存在性。当4

本文在文献[11]研究基础上，考虑Kirchhoff-Schrödinger-Poisson方程

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非平凡解的存在性，其中，a>0，λ>0，b≥0，4

定理1 设条件(A1)、(A2)成立且40，问题(3)至少有一个正解。

1 预备知识

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将式(4)代入式(3)的第一个方程可得

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2 定理的证明

分3步来证明定理1。

第一步，(PS)条件。先证任意的(PS)c序列在H1(R3)中都是有界的，再证I满足(PS)c条件，即任意的(PS)c序列都有收敛子列。

设H1(R3)中序列{un}满足：I(un)有界，且I′(un)收敛于0，即I(un)→c，I′(un)→0。从而对任意的ψ∈H1(R3)，都有〈I′(un)，ψ〉→0，n→∞。

下面证明{un}在H1(R3)中有界。反证法，假设当n→∞时，tn=‖un‖→∞。令vn=un/tn，那么vn∈H1(R3)且‖vn‖=1。从而存在v∈H1(R3)，使得在任意有界区域Ω∈R3上，有

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接下来证v(x)=0在R3。令un=tnvn，

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接着证x包含在Ω+和Ω-中。假设条件(A1)和(A2)，暗示Ω+≠Ø和Ω-≠Ø。首先考虑x∈Ω+的情况。因为a(x)∈C(R3)，这里存在δ>0，有

a(y)>0，任意的y∈Bδ(x)。

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(9)

(10)

令〈I′(un)，ψ〉→0中ψ=vn，并对式(10)两边分别除以tn=vn，可得

(11)

现在证明{un}有收敛子列，依然记为{un}。假设存在u∈H1(R3)，使得

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首先令ψ=u，当n足够大时，有

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当n足够大时，可得

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(16)

接下来，不失一般性，假设a∞<-1。由条件(A1)可知，存在R0>0，使得a(x)<-1，|x|>R0。又因为a(x)∈C(R3)和4

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因为I(u)=I(|u|)在H1(R3)中，所以可得u≥0在R3，它为问题(3)的解且满足I(u)>0。由强极大值原理可得，u>0在R3中。