基于HOT-FSMO的数控机床永磁同步电机无感控制*

陈志鹏,张会林,张建平,程文彬

(上海理工大学机械工程学院,上海 200093)

0 引言

当前永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor,PMSM)由于其优越的控制性能被越来越多的应用在数控机床系统中,PMSM的性能很大程度影响着机床的控制精度。高精度的PMSM控制系统需要实时准确地提取转子位置和转速的信息,但机械传感器的安装不仅增加了电机的成本和体积,而且在恶劣的环境下运行不稳定,大大降低了系统的可靠性。因此,永磁同步电机的无位置传感器控制成为研究的热点[1]。

其中,滑模变结构控制技术因具有良好的鲁棒性和抗干扰性被广泛应用于中高速的PMSM无感控制系统[2]。传统的滑模控制因其将不连续的开关函数引入了控制律中,加上电机引入额外的电压和电流噪声信号,引起抖振现象[3]。此外,传统的线性滑模面不能实现状态变量在有限时间内收敛。固有的抖振和非有限时间收敛是限制滑模控制技术进一步发展的两个重要的问题。

首先,为了有效抑制抖振,通常利用饱和函数、分段指数型函数和双曲正切函数来代替传统的符号函数,但这都是以牺牲系统鲁棒性为代价。低通滤波器(LPF)能在一定程度上平滑不连续的趋近律,YE[4]使用多次迭代滑模观测器(SMO),但多个LPF进一步增加了相位的滞后和时间延迟。邓豪、YIN等[5-6]提出了分数阶滑模控制策略并应用到永磁同步电机的速度控制,利用分数阶系统随时间缓慢衰减的特性削减抖振。PAI、闵磊等[7-8],提出一种基于超螺旋算法的滑模观测器,能有效抑制抖振,但仅适用于一阶模型中的线性滑模面,不适用于高阶模型。其次,针对非有限时间收敛的问题,张祺琛等[9]引入积分滑模面,但积分有对误差累加的作用,如果初始误差大或参考信号变化大会使执行器饱和而产生积分饱和效应,从而导致系统响应超调增大、调节时间变长,恶化系统动态性能。史宏宇等[10]结合线性滑模与非奇异终端滑模的控制策略,实现了状态变量的全局快速收敛,但该方法观测得到的定子磁链估计值不能直接用于电机模型的旋转坐标变换,还需进行定子磁链和转子磁链之间的变换,使得过程繁琐且会使误差放大。

综上所述,本文针对传统一阶线性磁链滑模观测器存在固有的抖振和收敛速度缓慢的问题,首先将终端滑模因子引入滑模面,并用电流误差的导数取代了传统的线性部分,实现了状态变量误差在有限时间内全局收敛;其次设计了新型高阶滑模控制律,从根源上抑制滑模抖振。仿真结果表明,在不同的运行工况下,本文提出的HOT-FSMO不仅能有效减少滑模抖振,提高了永磁同步电机无感控制系统的观测精度,还能缩短状态变量误差的收敛时间,提高了系统的动态性能。

1 PMSM扩展状态模型

本文以表贴式永磁同步电机为例,假定电机为理想电机且在理想条件下运行,不计永磁体磁滞和涡流损耗,不考虑铁心磁饱和程度,励磁磁场和电枢反应磁场在气隙中均呈正弦分布,可得两相静止坐标系下PMSM的定子电压方程:

(1)

式中:uαβ和iαβ分别表示αβ轴定子电压和电流,p表示微分算子,Rs和Ls分别表示定子电阻和电感,εα和εβ则表示拓展反电动势,可由下式求出:

(2)

式中:λm为永磁体的磁链,ωe和θe分别表示转子的电角速度和位置角。

由式(1)可得到定子电流的状态方程为:

(3)

在两相静止坐标系下的永磁同步电机的转子磁链方程为:

(4)

式中:λα和λβ分别表示αβ轴的转子磁链。

结合式(3)和式(4),可得到以定子电流和转子磁链为状态变量的扩展状态方程表达式:

(5)

2 传统磁链滑模观测器

基于扩展状态方程式(5),传统的磁链滑模观测器可以构造为:

(6)

利用电流的估算误差构建的滑模面如式(7)所示:

(7)

由式(6)减去式(5)可得估计误差方程:

(8)

为了分析传统磁链滑模观测器的收敛性能,将式(8)进行变形可得:

(9)

(10)

3 高阶终端磁链滑模观测器的设计

HOT-FSMO的设计需要考虑3个方面:①滑模面(切换函数s)的设计,用来保证滑动模态运动的品质,由它确定的滑动模态渐进稳定并保证系统期望的动态性能;②滑动模态控制律的设计,用来保证趋近运动的品质,由它确保系统状态在有限时间内到达滑模面并实现滑动模态运动;③在此基础上,根据李雅普诺夫稳定性定理,证明所设计高阶终端磁链滑模观测器的稳定性。图1为高阶终端磁链滑模观测器的结构框图,具体的设计过程在下文展开。

图1 高阶终端磁链滑模观测器结构框图

3.1 终端滑模面的设计

传统滑模面是由系统误差或误差的导数构成[12],但是,在感应电机转速控制中,转速和定子电流信号一般是通过传感器检测所得,容易引进干扰噪声,若对它们直接求导则使系统对干扰噪声更加敏感。文献[13]中指出,在传统的线性滑模面的基础上加入终端滑模因子,能实现状态误差在有限时间内全局收敛;文献[14]将此方法用于基于反电动势的滑模观测器中并得到理想的控制性能。因此,本文将终端滑模面设计为:

(11)

式中:γ,m为常数且γ>0,0

3.2 高阶滑模控制律的设计

高阶滑模控制律设计为:

(12)

式中:Zi=[ZiαZiβ]T为新型高阶等效控制律,un=[unαunβ]T,初始状态un(0)=0;ωf和k为增益参数。

根据式(6)、式(11)和式(12),高阶终端磁链滑模观测器可设计为:

(13)

3.3 高阶终端磁链滑模观测器的稳定性证明

为了证明所设计HOT-FSMO的稳定性,首先做以下合理假设:

假设3:存在正实数ε,满足ε>D(x)。

选取李雅普诺夫函数:

(14)

对式(14)进行微分可得:

(15)

由式(13)减去式(5)得到定子电流误差和磁链误差的微分表达式:

(16)

将式(16)中的定子电流误差微分表达式代入式(11)中,可得滑模面的表达式:

(17)

将式(17)进行微分,并将式(12)与式(16)中的磁链误差微分表达式代入得:

(18)

再将式(18)代入(15)中有:

(19)

(20)

(21)

式(20)可化简为:

(22)

根据假设1和假设3,考虑电流误差微分的上界为ε,即:

(23)

求得增益k的取值范围为:

k>max(|A11ε|+|ωfunα|,|A11ε|+|ωfunβ|)

(24)

4 高阶终端磁链滑模观测器的性能分析

本节从抑制抖振和有限时间内收敛两个方面对所设计的高阶终端磁链滑模观测器进行分析。

4.1 抖振抑制分析

对于估计磁链,将式(13)积分:

(25)

由式(25)可知,通过对不连续的符号函数进行积分,所设计的高阶磁链滑模观测器能够实现估计磁链的抖振抑制。

对于高阶滑模控制律,根据式(12),可以得到un相对于sgn的传递函数为:

(26)

与一阶低通滤波器类似,这里ωf可视为等效低通滤波器的截止频率。从这个角度分析,本文所设计的高阶滑模控制律对不连续的sgn(s)信号进行了一次滤波,从而平滑了un,一定程度上减小了控制律的抖振。

通过减小ωf,控制律中un的抖振也会随之减弱。然而过低的截止频率会使控制律的带宽减小,进而导致滑模系统的动态性能变差。因此,参数ωf的选择必须同时考虑抖振和系统动态性能两个问题。

以上分析表明,通过积分和滤波两种形式,所设计的高阶终端磁链滑模观测器对估计磁链和控制律都有抑制抖振的作用。

4.2 有限时间收敛分析

(27)

(28)

与传统的一阶磁链滑模观测器相比,高阶终端磁链滑模观测器不仅能实现定子电流误差为零,还能保证电流误差的导数为零。结合以上分析可知定子电流误差能在有限时间内收敛且收敛时间为ts。

为了分析磁链误差的收敛性,将式(16)变形为:

(29)

5 仿真分析

为了验证本文设计的高阶终端磁链滑模观测器在PMSM无感控制中的优越性和动态性能,与文献[11]中所提出的一阶磁链滑模观测器进行对比仿真。具体仿真包括:空载启动运行、变速(负载突变)运行、鲁棒性能测试。根据图2系统整体框图在MATLAB/Simulink仿真平台搭建模型,采用转速、电流双闭环控制的调速系统,id=0的矢量控制策略;PMSM的参数如表1所示。

表1 PMSM参数表

图2 基于HOT-FSMO的PMSM系统框图

5.1 空载启动运行

当给定转速n=800 r/min时电机启动,仿真结果如图3所示。

图3 定子电流误差对比图

从图3可以看出,传统的一阶磁链滑模观测器定子电流误差在电机空载启动阶段有着明显的波动,且当电机稳定运行时抖振较大,定子电流误差的最大值为±0.016 A,这是传统一阶磁链滑模观测器线性滑模面固有的缺陷;相对于传统的一阶磁链滑模观测器,设计的高阶终端磁链滑模观测器显著减小了定子电流误差,电流误差最大值只有±0.009 6 A,有效削弱了抖振。

图4中估计磁链仿真波形图表明,相比于传统的一阶FSMO,HOT-FSMO能有效抑制高频信号,估计的磁链曲线更加平滑,仿真结果与第4.1节中抖振抑制分析吻合。

(a) 传统一阶FSMO (b) HOT-FSMO图4 估计磁链仿真波形图

从图5a和图5b可以看出,传统的一阶FSMO转子位置角的最大估计误差为0.29 rad,而HOT-FSMO的转子位置角最大的估计误差只有0.057 rad,表明HOT-FSMO估计的转子位置能很好地跟踪实际转子位置,明显提高了估计精度。

(a) 传统一阶FSMO转子位置曲线及位置误差曲线

5.2 变速(突加负载)运行

为了验证系统在负载恒定、速度突变时的运行性能,在仿真实验时给定转速为:0～0.3 s运行在200 r/min,0.3 s～0.6 s运行在1200 r/min,前0.6 s的负载转矩设定为2 N·m。为了验证在负载突变时的控制性能,0.6 s时在原来2 N·m的基础上突加5 N·m的负载扰动,仿真结果如图6所示。

图6 传统一阶磁链滑模观测器变速(突加负载)运行仿真图

从图6可知,传统的一阶磁链滑模观测器在电机带载且处于低速运行阶段时,估计转速误差为±10 r/min,转子位置角误差为0.002 rad;在0.3 s给定转速突变后,估计转速误差为±15 r/min,转子位置角误差为0.002 5 rad;在0.6 s负载突变后,转子位置角误差变化不大,但估计转速误差出现较大抖振,达到了±60 r/min,说明传统的一阶磁链滑模观测器抗负载干扰能力较弱。

图7中的高阶终端磁链滑模观测器仿真结果可以看出不管电机运行在低速阶段还是中高速阶段,估计转速误差都要明显小于传统的一阶滑模观测器。面对负载突变时,估计转速误差只有±6 r/min,极大的削弱了抖振,且转速恢复的响应时间只有0.015 s,小于图5中的0.03 s,说明高阶终端磁链滑模观测器不仅抗负载干扰能力更强,还具有提高系统响应速度的优点。

图7 HOT-FSMO变速(突加负载)运行仿真图

5.3 鲁棒性测试

在实际数控机床应用中,周围环境变化以及磁饱和等诸多不确定因素会导致PMSM内部结构参数如电感和电阻的变化,失配会直接影响到转子位置估计精度下降,进而导致整个控制系统性能恶化。

而根据式(13),本文设计的高阶终端磁链滑模观测器依赖于电机定子的电阻Rs和电感Ls,因此鲁棒性测试是非常有必要的。以电阻为例,选取20%的参数摄动量,仿真结果如图8所示。

图8 HOT-FSMO电阻值变化20%的仿真图

图8表示定子电阻R依次变为0.8R、1.2R再回到R时的仿真结果,可以看出不管是估计磁链、转速误差还是转子位置角误差都只有轻微的脉动,说明本文提出的高阶终端磁链滑模观测器受参数变化的影响较小,具有较好的鲁棒性。

6 结论

本文在传统一阶磁链滑模观测器的基础上,提出了一种高阶终端磁链滑模观测器。该观测器在滑模面中引入了终端滑模因子,并且使用电流误差的导数替代了传统的线性部分,这样的改进使得状态变量误差能够在有限时间内全局收敛。接下来,本文设计了新型的高阶滑模控制律。该控制律利用传递函数与一阶低通滤波器相似的性质对不连续的开关信号进行滤波,并将不连续控制律转化为高阶控制律的导数,从根源上抑制了滑模抖振现象。通过不同运行情况下的仿真实验,验证了高阶终端磁链滑模观测器的有效性。该观测器能够抑制系统抖振,提高转子位置估算的精确度和转速跟踪能力,加快响应速度,并且能够克服系统参数摄动问题,表现出良好的鲁棒性。