单天线功率约束和统计CSI 下的MU-MIMO 下行链路线性预编码*

张国洋，戴旭初

（中国科学技术大学，安徽 合肥 230026）

0 引言

多用户多输入多输出（Multiple-User Multiple -Input Multiple-Output，MU-MIMO）技术是5G 通信的关键基础技术之一，其可以实现空间复用，有更好的发射分集增益，因此具有更好的误码性能和频谱效率[1]。为了减轻多用户干扰，提高信道容量，需要合理设计基站端（Base-Station，BS）的预编码器，因此MU-MIMO 下行链路的预编码器设计在近年来以不同形式得到了广泛的研究。

根据预编码方式的不同，可以将预编码器分为线性预编码器和非线性预编码器，虽然脏纸预编码器[2]等非线性预编码器可以达到最优的性能，但是其复杂度过高，不适用于MU-MIMO。相比非线性预编码器，线性预编码器有着更好的性能/复杂度折衷。

线性预编码的目标是利用已知的信道状态信息（Channel Status Information，CSI），在一定的功率约束条件下，根据一定的优化准则增加信道容量。现有研究考虑的约束包括总功率约束（Total Power Budget）[3-5]和单天线功率约束（Per-Antenna Power Constraints，PAPCS）[6-12]。由于实际情况下，每根天线都有其独立的功率放大器，因此单天线功率约束更有实际意义。在BS 已知完美的CSI 和单天线功率约束下，文献[6-7]以和速率最大化为优化目标，基于迫零（Zero Forcing，ZF）算法设计了线性预编码算法；文献[8]则以加权和速率最大化为准则，基于加权最小化均方误差算法设计了线性预编码算法，该算法性能好，但复杂度较高。

然而，在实际应用中，由于信道估计误差、用户移动等原因，基站难以获得精确的CSI，利用统计CSI 进行线性预编码更为合理[13-14]。

现有的统计CSI 下的线性预编码算法通常将信道建模为已知的信道加未知的信道误差。信道误差的先验信息包括已知概率分布[3]、已知二阶统计量[4,9-11]和满足范数约束[5,12]几种情况。

在信道误差概率分布已知和总功率约束下，文献[3]以遍历和速率（Expected Sum Rate）最大化为准则，基于约束随机逐次凸近似（Constrained Stochastic Successive Convex Approximation，CSSCA）算法[15]设计了线性预编码算法，但是总功率约束不符合实际情况，这使得该算法难以实际应用。在信道误差二阶统计量已知和单天线功率约束下，文献[9]以遍历和速率最大化为准则设计了线性预编码算法，但是其以毫米波/太赫兹信道为基础，适用范围小。文献[10-11]以稳健均方误差最小化为准则，基于确定性等效（Deterministic Equivalent，DE）和交替优化算法设计了线性预编码算法，其遍历和速率性能较差。在信道误差满足核范数约束和单天线功率约束下，文献[12]以最坏情况和速率最大化为准则设计了线性预编码算法，并且使用了深度展开网络（Deep Unfolding Learning Network）减少了算法迭代次数。然而，目前并没有对信道误差概率分布已知且约束为单天线功率约束情况下线性预编码算法的研究。

相比文献[3]中不符合实际情况的总功率约束场景，本文考虑在单天线功率约束以及信道误差概率分布已知的情况下，以遍历和速率最大化为准则设计了线性预编码算法。首先将问题建模为一个随机非凸优化问题，该问题具有多个凸约束，进行半正定松弛（Semidefinite Relaxation，SDR）以简化问题，然后主要基于CSSCA 算法[15]设计了迭代优化算法，每次迭代需解决一个优化变量为多个半正定矩阵且包含多个凸约束的凸优化问题。本文主要基于二阶对偶法（Second-Order Dual Method）[16]和交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）解决了该凸优化问题。最终使用高斯随机化（Gaussian Randomization）[17]设计了最优预编码矩阵。

1 系统模型及问题构建

MU-MIMO 下行链路模型如图1 所示。基站配备nT个天线，用户k配备nRk个天线，用户数为K。

图1 MU-MIMO 下行链路

考虑基站端已知统计CSI，即将信道矩阵视为随机矩阵，并将其建模为：

式中：Hk是基站端已知的信道矩阵；Ek是信道随机误差矩阵，其概率分布已知；即为基站端进行预编码时所获得的非完美的信道矩阵。由于是一个随机矩阵，此时每个用户的香农速率也是一个随机变量，香农速率rk也应该表示为遍历香农速率，则有：

本文考虑在信道误差概率分布已知和单天线功率约束下，以遍历和速率最大化为准则，设计线性预编码矩阵Wk,k=1,2,…,K。

该预编码矩阵设计问题可以建模为：

式（4）是随机非凸优化问题，其优化变量为多个高维矩阵，并且存在多个凸约束，因此寻找其全局最优解非常困难。

由于式（4）中目标函数和约束中的预编码矩阵均以WkWkH形式存在，因此首先进行SDR 以简化优化问题，由此得到了随机非凸优化问题。本文主要基于CSSCA 算法[15]设计了迭代优化算法。该算法首先通过构造凹代理函数，构造了随机凸优化问题，然后基于蒙特卡洛采样和自回归模型的加权平均迭代求解该随机凸优化问题，在每次迭代时，需要解决一个确定凸优化问题。

该凸优化问题包含多个半正定矩阵自变量且目标函数包含对数行列式函数，求解相当困难。本文基于二阶对偶法[16]设计了交替迭代优化算法解决了该问题。然而，单天线功率约束包含多个凸约束，这使得交替迭代优化算法中的凸优化问题难以解决，本文使用了ADMM 算法，交替优化拉格朗日乘子和优化变量得到其最优解。交替优化后，得到了SDR 后该优化问题的局部最优解。最终，基于高斯随机化，得到了式（4）的局部最优解。

2 线性预编码算法设计

2.1 半正定松弛及代理凸优化问题构造

问题（4）是随机非凸优化问题，本文主要基于SDR 和CSSCA 算法[15]设计了迭代优化算法。首先进行SDR，设Mk=WkWkH，将式（4）松弛为：

式（6）为松弛后第k个用户的干扰加噪声协方差矩阵（下文中的该函数均以此表达式为准）。

CSSCA 算法是求解随机非凸优化问题的算法，其要求随机变量的概率分布已知，而式（5）是关于Mk,k=1,2,…,K的随机非凸优化问题，而且信道误差矩阵的概率分布已知，满足CSSCA 算法要求。

由于半正定松弛后速率函数是非凹函数，本文基于CSSCA 算法构造了其凹代理函数[3]，表达式为：

由此构造的代理随机凸优化问题为：

在消除常数项后，第t次迭代需要求解的优化问题为：

虽然式（12）是一个凸优化问题，但其包含多个凸约束，且优化变量是多个半正定矩阵，因此该问题的求解相当困难。

2.2 凸优化问题解决

本节中，基于二阶对偶法[16]和ADMM 算法解决优化问题（12）。

其中，

其中，

在已知Zk(m-1)的情况下，问题（19）是凸问题，满足强对偶性，因此本文使用ADMM 算法，交替优化和λ1得到了问题（19）的最优解。问题（19）的拉格朗日函数为：

其中，

式中：eig(*,*)为两矩阵的广义特征值分解，(Vk,Σk)中的Vk为广义特征值分解的特征酉矩阵，Σk为特征值对角矩阵。

第m次迭代时，式（21）的最优解Zk(m)的表达式为：

式中：vec(*)的含义是矢量化其中的矩阵，且有：

2.3 自变量更新

2.4 基于高斯随机化设计局部最优预编码矩阵

在得到问题（5）的局部最优解Mkopt（k=1,2,…,K）后，基于高斯随机化设计预编码矩阵成为问题（4）的局部最优解。

2.5 算法步骤总结及运算复杂度分析

综上所述，线性预编码算法步骤如下：

3 仿真实验对比与分析

本节中，通过仿真结果验证了线性预编码算法在单天线功率约束下及信道误差概率分布已知情况下遍历和速率性能的优越性。

在实验仿真过程中，假设已知的信道矩阵元素由满足相互独立的复高斯分布生成，其均值为0 且具有单位方差。信道误差矩阵Ek,k=1,2,…,K的元素相互独立，且满足均值为0 的圆复高斯分布。

设基站天线数nT=24，用户数K=5，每个用户接收天线数和流数k=1,2,…,K，每个天线的约束功率qs=5/24，s=1,2,…,nT。算法参数设置为τk=0.1，k=1,2,…,K，ρ(t)=1/t0.51，γ(t)=1/t0.57，v=1×10-6，CSSCA 算法迭代次数上限itr=30。设所有信道噪声功率σk2，k=1,2,…,K都一样，将信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）定义为SNR=∑qs/σk2，即所有天线约束功率之和与噪声功率的比值。

分别在信道误差方差σe2=0.1 和σe2=0.05 的情况下重复运行算法，重复次数为300，由此对比本文的线性预编码算法与文献[3]中信道误差概率分布已知和总功率约束下的线性预编码算法以及文献[8]中的信道已知和单天线功率约束下的加权均方误差最小化（Per-Antenna Power Constraint-Weighted Minimum Mean Square Error，PAPC-WMMSE）算法在不同信噪比下的遍历和速率，且当文献[3]的算法得到满足总功率约束的局部最优解后，使用缩放的方法使其满足单天线功率约束。通过调整信道噪声功率改变SNR，得到的遍历和速率随SNR变化的曲线如图2 所示。

图2 算法性能对比（nT=24，K=5）

可以观察到，在信噪比超过13 dB 后，文献[8]中利用已知信道的线性预编码算法的遍历和速率性能提升速度变慢，而本文的线性预编码算法的性能仍能线性提高，且遍历和速率性能优于文献[8]中和文献[3]中的算法。这说明本文提出的算法在单天线功率约束下的表现更加优越。在提高信道估计误差后，文献[8]中的算法性能显著下降，而本文的线性预编码算法的性能下降很少，这也说明了本文算法的稳健性。

进一步调整参数，令nT=4，K=8，每个天线约束功率qs=5/8，s=1,2,…,nT，以此模拟多用户MIMO下行链路的情况，分别在σe2=0.1 和σe2=0.05 的情况下，在不同的信噪比下重复运行本文的线性预编码算法和文献[3]中的算法，重复次数为300，比较遍历和速率性能。同时，在本文设计的算法得到Mkopt,k=1,2,…,K后，分别使用高斯随机化和特征值分解法生成最终的预编码矩阵。特征值分解法就是对Mkopt,k=1,2,…,K做特征值分解，选取其前Lk个特征值和特征向量，由此构造最优的预编码矩阵。通过调整信道噪声功率改变SNR，得到的遍历和速率性能随SNR变化的曲线如图3所示。

图3 算法性能对比（nT=4，K=8）

从图3 可以看出，在上述模拟多用户MIMO 下行链路的参数条件下本文设计的线性预编码算法性能的优越性，同时也说明了上述情况下高斯随机化相比特征值分解法有更好的遍历和速率性能。

4 结语

在单天线功率约束和已知信道误差概率分布的情况下，本文提出了一种以遍历和速率最大化为准则的线性预编码算法，在算法中通过高斯随机化，提高了算法的遍历和速率性能。提出的算法更适用于实际场景，并具备并行计算的能力。然而，本文提出的线性预编码算法所需的迭代次数较多，算法的运算复杂度较高，而且本文采用的二阶牛顿法的收敛速度及复杂度性能较差，需要后续研究进行改进。