“本手”筑基,“妙手”生花
2024-01-01夏巨星
摘要:从高考语文作文中的围棋术语“本手、妙手、俗手”切入,合理类比到数学解题教学与学习过程中,基于一道模拟题的实例解析,结合数学解题与数学教学,阐述立足“本手”与“妙手”的基本策略,从数学本质、数学思维以及教与学等不同层面加以拓展与深化,有效指导数学教学与复习备考.
关键词:本手;妙手;余弦定理;平面向量;特殊思维
2022年全国语文新高考Ⅰ卷的作文题中出现了“本手、妙手、俗手”这三个围棋术语,本手是指合乎棋理的正规下法;妙手是指出人意料的精妙下法;俗手是指貌似合理,而从全局看通常会受损的下法\.
在数学解题教学与学习过程中,也可以很好借助围棋术语中的“本手”与“妙手”来类比与拓展.“本手”筑基,合理构建并应用数学基础知识与基本思想方法等,筑牢基础知识,构建知识网络;“妙手”生花,巧妙创设场景并利用相关的精妙解法等,优化解题过程,提升解题效益.
1 问题呈现
众所周知,解三角形是高中数学的一个重点内容.合理构建于初中平面几何的基础上,融入解三角形、三角函数以及平面向量等相关高中知识,是高考数学试卷填空压轴题中经常设置的一类综合应用问题,特别是涉及多个知识点的交汇与融合的创新应用问题.
下面通过一道有关解三角形背景下平面向量数量积的求解问题,从多个角度进行分析,剖析数学解题与数学教学中的“本手”与“妙手”,以培养学生的推理论证能力和创新意识,促进学生思维能力和思维品质的提升.
问题〔2023届湖北省襄阳四中高三上学期周考(8)数学试卷〕在△ABC中,点O、点H分别为△ABC的外心和垂心,AB=5,AC=3,则OH·BC=.
此题最早出现在2022年浙江省宁波“十校”高考数学联考试卷(3月份)中,以一个相邻两边为定值的三角形为问题背景,结合三角形外心和垂心的给出,进而确定以这两个“心”所对应的向量与第三边所对应的向量的数量积,借助“不确定”的三角形的创设来“确定”对应向量的数量积,“数”与“形”结合,“动”与“静”转化,构建一幅完美、和谐的“画卷”.
特别,我们也尝试从“本手”与“妙手”这两个不同的层面来分析与处理该问题,阐述问题的内涵与解题的本质,剖析解题技巧与应试策略.
2 “本手”筑基
数学解题中,“本手”是基础,只有筑牢基础,落实“本手”,掌握相关问题的“通技通法”,才是数学教学与数学学习的根本所在.
此类以平面几何为场景,交汇并融合解三角形与平面向量的相关知识,破解的基本思维策略就是正确剖析平面图形中边与角的关系,通过解三角形中的正弦定理、余弦定理以及平面向量的线性运算、数量积等加以综合与应用,也是解决此类问题的“本手”所在,基础所在.
2.1 余弦定理法
解法1:由于OH=AH-AO,因此OH·BC=(AH-AO)·BC=AH·BC-AO·BC.
而H为△ABC的垂心,所以有AH·BC=0,则OH·BC=-AO·BC.
设∠AOB=α,∠AOC=β,△ABC的外接圆的半径为r.
由余弦定理,可得AB2=AO2+OB2-2AO·OB·cos α=r2+r2-2r2cos α=2r2-2r2cos α=25.
同理AC2=AO2+OC2-2AO·OC·cos β=r2+r2-2r2cos β=2r2-2r2cos β=9.
所以AO·BC=AO·(OC-OB)=OA·OB-OA·OC=r2cos α-r2cos β=12(2r2-25)-12\5(2r2-9)=-8,则OH·BC=-AO·BC=8.
故填答案:8.
解后反思:根据平面向量的线性运算,以及△ABC的外心和垂心的几何性质,结合解三角形中的余弦定理,合理转化,巧妙应用,特别是合理转化平面向量的数量积的关系中各向量的“同起点”问题,进一步优化解决与应用过程.
2.2 余弦定理的向量式法
解法2:由于OH=AH-AO,因此OH·BC=(AH-AO)·BC=AH·BC-AO·BC.
而H为△ABC的垂心,所以有AH·BC=0,则OH·BC=-AO·BC=OA·BC.
结合余弦定理的向量式,可以得到OA·BC=OA·(OC-OB)=OA·OC-OA·OB=|OA|2+|OC|2-|AC|22-|OA|2+|OB|2-|AB|22=|AB|2-|AC|22=52-322=8.
所以OH·BC=OA·BC=8.
故填答案:8.
解后反思:根据平面向量的线性运算,以及△ABC的外心和垂心的几何性质,巧妙结合解三角形中余弦定理的向量式,有机“串联”起解三角形与平面向量之间的联系,使得问题的解决得到很大的优化与提升.
3 “妙手”生花
数学解题中,“妙手”是创新.只有发展思维,推进“妙手”,拓展探究问题的“巧技妙法”,才是优化与提升解题能力、培养创新思维的土壤.
涉及此类由问题场景的“不确定”的创设来“确定”对应的数值等相关创新应用,往往可以借助特殊思维,从问题的特殊情况入手,通过特殊思维,借助特殊元素(包括特殊图形、特殊点、特殊值、特殊函数等)的构建,确定特殊场景下对应的数值,进而回归一般,得以“妙手”偶得.
解法3:(特殊思维法1)由于△ABC不能明确确定,而解题目标是求解平面向量的数量积OH·BC的值,可以借助特殊思维,视△ABC为直角三角形(此时AC⊥BC),
则知△ABC的外心O是斜边AB的中点,△ABC的垂心H与点C重合,如图1所示.
结合AB=5,AC=3,由勾股定理可得BC=AB2-AC2=4,则
OH·BC=OC·BC=CO·CB=12(CA+CB)·CB=12CA·CB+12CB2=0+12×42=8.
故填答案:8.
解法4:(特殊思维法2)由于△ABC不能明确确定,而解题目标是求解平面向量的数量积OH·BC的值,
可以借助特殊思维,视△ABC为直角三角形(此时AB⊥AC),
则知△ABC的外心O是斜边BC的中点,△ABC的垂心H与点A重合,如图2所示.
结合AB=5,AC=3,所以OH·BC=OA·BC=AO·CB=12(AB+AC)·(AB-AC)=12(AB2-AC2)=12(52-32)=8.
故填答案:8.
解后反思:根据三角形的相邻两边为定值进行极端思维,合理构建特殊图形进行特殊思维,通过不同场景下的直角三角形的创设,快速确定对应的外心与垂心,结合平面向量的线性运算与数量积公式加以转化与应用.“一般”中寻找“特殊”,“特殊”中呈现“一般”,优化解题过程,提升解题效益.
4 教学启示
其实,在新教材(人民教育出版社2019年国家教材委员会专家委员会审核通过)、新课程(《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订》)、新高考的“三新”背景下,高考试题更加注重思维品质、关键能力以及核心素养等方面的考查,凸显教师与学生对新高考方向与命题思路的适应程度,反映教考衔接环节之间的匹配度\.
因而,在数学解题教学与学习过程中,要立足“本手”,求取“妙手”;要学好“本手”,下出“妙手”;要勤于“本手”,方能“妙手”.同时,解题研究中,要以“本手”主本,才能“妙手”偶得;要以“本手”固基,才能“妙手”辉煌;要以“本手”行稳,才能“妙手”致远.
特别在数学解题过程中,不能再借助以往的老经验,一味地走“题海战术”的老路,应该合理下稳“本手”,科学实施“妙手”,全面促进学生数学基础知识与数学思想方法等“四基”的内化与提升,提升数学思维的发散性与开阔性,强化数学思维的灵活性与创新性,培养数学核心素养.
参考文献:
[1]孔令磊.以2022年高考Ⅰ卷第21题的探究为例谈数学解题的本手、妙手与俗手\.数学通讯,2022(15):54-57.
[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)\.北京:人民教育出版社,2018.