基于向量最值（或范围）问题的解题教学

平面向量的范围与最值问题是热点问题，也是难点问题.此类问题综合性强，体现了知识的交汇整合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如，向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等；解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼有“数”与“形”双重身份，故平面向量的范围与最值问题的另一种思路是数形结合.

题型1与系数有关的最值（范围）问题

例1如图1，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F为线段BD上的一动点，若AF=xAE＋yDC（x＞0，y＞0），则2－3x2y2+1的最大值为.

分析：根据题设条件，通过平面向量的线性表示与转化，利用线性组合的构建，结合三点共线的等价条件得到系数x，y之间的等量关系，代入目标关系式进行消参处理，进而利用基本不等式加以放缩处理，得以确定系数关系式的最值问题.

解析：设BD，AE交于点O.因为DE∥AB，所以△AOB∽△EOD，所以AOOE=ABDE=2，

即AO=2OE，则AE=32AO.所以AF=xAE＋yDC=32xAO＋yAB.

因为O，F，B三点共线，所以32x＋y=1，即2－3x=2y.所以2－3x2y2+1=2y2y2+1=22y+1y.

因为x＞0，y＞0，利用基本不等式有2y+1y≥22y×1y=22，当且仅当2y=1y，即y=22时等号成立，此时x=2－23，

所以2－3x2y2+1=22y+1y≤222=22.

感悟提升：解此类问题一般分两步走.第一步，利用平面向量的运算、性质等将问题中的系数等相关信息转化为相应的等式关系；第二步，运用基本不等式或函数的性质求其最值.

针对训练（2023年辽宁省葫芦岛市高考数学二模试卷）如图2所示，在△ABC中，点P满足2BP=PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若AM=xAB（x＞0），AN=yAC（ygt;0），则2x+y的最小值为（）.（A）

A.3

B.32

C.1

D.13

题型2与数量积有关的最值（范围）问题

例2已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=|c|=1，a·b=12，则（a+b）·（2b－c）的最小值为（）.

A.3+3

B.3－3

C.2+2

D.2－2

分析：根据平面向量的数量积的定义a·b=|a||b|cos α，借助两向量的夹角的构建与应用来合理变形与转化，通过平面几何思维来直观，有时也是解决此类问题时比较常用的一种技巧方法.这里要注意的是平面向量的夹角应与平面几何中的对应角加以联系，结合图形直观来分析即可.

解析：设OA=a，OB=b，OC=c.

由|a|=|b|=1，a·b=12，得a·b=cos∠AOB=12，则有∠AOB=π3.

如图3所示，设平面向量a与c的夹角为α，其中α∈＼b与c的夹角为α+π3，

那么（a+b）·（2b－c）=2a·b－a·c+2b2－b·c=2×12－cos α+2×12－cosα+π3=3－cos α－cosα+π3=3－cos α－12cos α－32sin α=3－32cos α+32sin α=3+3sinα－π3≥3－3，当且仅当sinα－π3=－1，即α=11π6时，等号成立.

所以（a+b）·（2b－c）的最小值为3－3.

感悟提升：求数量积的最值（范围）的方法通常有两种.（1）坐标法.通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理；（2）向量法.运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决.

针对训练〔2023届山东省潍坊市高考模拟试卷（2023潍坊东营一模）〕单位圆O：x2+y2=1上有两定点A（1，0），B（0，1）及两动点C，D，且OC·OD=12，则CA·CB+DA·DB的最大值是（）.

A.2+6

B.2+23

C.6－2

D.23－2

题型3与模有关的最值（范围）问题

例3已知平面向量a，b，c满足|a|=1，b·c=0，a·b=1，a·c=－1，则|b+c|的最小值为（）.

A.1

B.2

C.2

D.4

分析：根据平面向量的“数”的结构属性，构建平面直角坐标系，合理引入平面向量的坐标，利用平面向量中的相关要素，转化为涉及坐标的函数、方程或不等式等，进而从代数视角来数学运算与逻辑推理.这里通过平面向量所对应的坐标的构建，利用题设条件确定对应坐标的关系式，再利用基本不等式、三角函数的应用等来确定最值.

解析：在平面直角坐标系xOy中，设向量a=（1，0），b=（x1，y1），c=（x2，y2），如图4所示.

因为a·b=1，a·c=－1，b·c=0，

所以x1=1，x2=－1，x1x2+y1y2=0，即y1y2=1.

利用基本不等式，可得|b+c|=（x1+x2）2+（y1+y2）2=y12+y22+2≥2y1y2+2=2，当且仅当y1=y2=1或y1=y2=－1时，等号成立，

则|b+c|的最小值为2.

感悟提升：求向量模的最值（范围）的方法通常有两种.（1）代数法.把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示；需要构造不等式，利用基本不等式、三角函数，再用求最值的方法求解.（2）几何法（数形结合法）.弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行，以及其他数量关系，合理的转化，使得过程更加简单；结合动点表示的图形求解.

针对训练若向量a，b互相垂直，且满足（a+b）·（2a－b）=2，则|a+b|的最小值为（）.

A.－2

B.1

C.2

D.2

题型4与夹角有关的最值（范围）问题

例4平面向量a，b满足|a－b|=3，|a|=2|b|，则a－b与a夹角最大时，|a|为（）.

A.2

B.3

C.22

D.23

分析：根据题设，由平面向量的数量积运算加以合理变形与转化，通过平面向量的夹角公式合理消参，利用基本不等式的应用进行放缩，进而确定夹角的余弦值的最小值，利用三角函数的性质来进一步分析与处理.

解析：因为平面向量a，b满足|a－b|=3，|a|=2|b|，所以（a－b）2=a2－2a·b+b2=4b2－2a·b+b2=9，则有a·b=52b2－92.

所以（a－b）·a=a2－a·b=4b2－52b2+92=32b2+92.

由夹角公式，得cos 〈a－b，a〉=（a－b）＼5a|a－b||a|=32b2+926|b|=14|b|+34|b|≥32，当且仅当14|b|=34|b|，即|b|=3时，等号成立.

因为0≤〈a－b，a〉≤π，所以0≤〈a－b，a〉≤π6，即|b|=3时，〈a－b，a〉的最大值为π6，此时|a|=2|b|=23.

感悟提升：求夹角的最值（范围）问题时，往往要选取对应夹角的三角函数值，以选取夹角余弦值为主，通过余弦值的三角函数表达式，利用关系式的变形与转化，采用基本不等式或函数的性质进行求解.

针对训练已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，AD上（包含端点），若EG·HF=2，则EG与HF夹角的余弦值的最大值是.45

平面向量中的最值（范围）问题，是高考对平面向量比较常见的考查形式之一，也是常考常新的基本考点之一，主要考查的知识点涉及平面向量的模、坐标、夹角、数量积以及相关的参数等.在实际解答与应用时，挖掘题目内涵，结合题意，从平面向量的本质出发，选取函数法、三角法、不等式法、图形法等行之有效的基本方法来解决，进而达到解决相关的最值（范围）问题的目的.