反套路 重计算 孕思想

2023年高考早已落下帷幕，笔者作为一线数学教师，结合自己和部分同行做全国甲卷理科数学试题的感受，以及笔者的学生在考场上和考后的感受，对2023年全国甲卷数学理科试题进行评析与反思.笔者所在学校的学生大致处于中等及中等偏上的水平，对试卷整体的感受有一定的代表性.

1 全面考查而重点突出

2023年高考全国甲卷数学理科试题较2022年甲卷数学理科试题，难度有所增加，但总体保持平稳.试卷没有偏题、怪题，注意控制文字数量和阅读理解难度，与2022年甲卷（约1 600字）相比，2023年甲卷约1 300字，减少约19%.但题目简洁不等于试题简单，表面看平平无奇，内里却蕴含深刻思想.

1.1 知识考查有重点

统观全卷，全面考查高中数学知识，分布合理，兼顾基础性、综合性和创新性.某些板块与其他板块联系广泛，比如三角函数板块，第7，10，11，12，13，16，21等近三分之一的题目都不同程度对其进行了考查.

1.2 素养考查有侧重

喻平教授指出：“逻辑推理、直观想象是基础，数学运算是媒介，数学建模和数据分析是应用，其本质是数学抽象.”可见，六大核心素养联系紧密，亦有侧重.

令人印象最深刻的有两点：一是直观想象素养的考查，以第11，18题为代表的立体几何题目，让学生暴露出不少问题，学生不甚适应，考后普遍感觉难算、难想；二是数学运算素养的考查贯穿全卷，学生普遍反映选填题运算较花时间，个别学生甚至因为选填题用时过多，导致解答题时间不足.

1.3 难度设置反套路

全卷送分题不多，都需要一定的运算与思维，但难度特别大的题目没有.单独看选择题第12题、填空题第16题等传统意义上的压轴题，难度并不大；第1题开始就体现了一定的抽象性，第10，11题难度适中，基本与第12题持平；学生原本认为应该容易“过关”的第18题难度陡升，对学生心理素质和临场决策能力是一个巨大的考验.

1.4 情感态度价值观

情境创设方面，全卷坚持立德树人，紧跟时代大潮.第6题以滑雪为背景，呼应2022年北京冬奥会后的冰雪经济；第9题以志愿者公益活动为背景，引导服务社会的意识；第19题以研究臭氧效应的科学实验为背景，引导环境保护的意识.

全卷服务于优秀创新人才的选拔.第10，11，21题都有一定的创新性，思维难度大，运算量也大，要求学生兼具创新品质与坚强意志.

反思与启示1：注重知识跨板块、跨学科的迁移应用.如，三角函数、平面向量等.事实上，人教A版高中数学（2019年）新教材不仅增加了很多实际应用例子，还专门设置了数学探究栏目，比如在数学必修第二册中就有“用向量法研究三角形的性质”探究栏目.

反思与启示2：对学生临场决策能力的训练很重要，如改变解答题出现顺序、不同难度题目出现顺序、难题对应知识板块等，让学生对高考试卷的变化有心理准备.

反思与启示3：在平时教学中注重结合正能量、社会热点情境，关注教材中有现实背景的例题教学.如，一般科学实验的方法、个人所得税纳税方式等.

2 立体几何中的反套路

本套试卷的立体几何题成为学生答题过程中的拦路虎.普遍反映选择题中第11题比第12题更难，解答题中第18题让很多学生不知该用哪种方法，决策困难，影响全卷答题.

第18题：如图1，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥底面ABC，∠ACB=90°，AA1=2，A1到平面BCC1B1的距离为1.

（1）证明：A1C=AC；

（2）已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.

此题第（1）问的难点在于条件“A1到平面BCC1B1的距离为1”，同时一条棱长未知.对于线面距离的处理，切入点较多，但每个切入点又都有其难度，学生在选择方法时容易陷入困难.

几何角度：（1）利用等体积法，先证明BC⊥平面ACC1A1，中VA1－CC1B1=VC－A1C1B1，得A1C=A1C1=2，从而证得A1C=AC，绕开寻找过点A1作平面垂线的垂足；（2）

根据定义作出平面的垂线，通常先在平面内作交线的垂线，再证明该直线垂直于平面.如图2，先过A1在平面A1ACC1内作A1O⊥CC1于点O，再证明A1O⊥平面CC1B1B，从而A1O的长度即为A1到平面BCC1B1的距离，几何味十足.

代数角度：以C为原点，CA，CB，CA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，但CA，CB的长度未直接给出，需要先设未知数，通过列方程组解得，部分考生在考场上难以准确算出答案.

此题第（2）问也可以从两个角度分别思考.

几何角度：先通过证明Rt△ACB≌Rt△A1CB，得BA=BA1，进而求出A1B=AB=5，BC=3，AB1=13，再利用“A1到平面BCC1B1的距离为1”得到A到平面BCC1B1距离也为1，最终求出线面角的正弦值.

代数角度：在第（1）问求出A1C=A1C1=2的基础上，以C为原点，CA，CB，CA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设BC=x，通过条件列方程求出x，进而利用空间向量法得到所求线面角的正弦值.

本题的解答，综合运用几何和代数两种方法，可使解题过程得到最大的简化，充分体现立体几何的考查要有几何味，不能一味靠建立坐标系来解答.

反思与启示4：在教学中，采用单元整体教学，帮助学生建立知识的整体架构并体会研究问题的一般观念，正如章建跃博士谈到的“研究对象在变，研究套路不变，思想方法不变”，让学生掌握并熟练应用这些“不变”的思想方法.学生不能因为学习了空间直角坐标系，就忽略研究几何问题的一般方法.

3 处处可见的数学运算

数学运算素养是六大核心素养的媒介，本套试卷重点进行了考查，计算量较以往增加了不少，特别是选填题部分，给考生的时间分配提出了挑战.

第20题：已知直线x－2y+1=0与抛物线C：y2=2px（pgt;0）交于A，B两点，且|AB|=415.

（1）求p；

（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，FM·FN=0，求△MFN面积的最小值.

此题第（2）问条件简洁，图形简单，比较容易入手选择面较广，可以设直线MN的方程，也可以设点M，N的坐标，转化为不等式求最值问题，还可以考虑用抛物线焦半径公式或极坐标解题，转化为三角函数求最值问题，但具体操作时又会遇到不同的情况.

角度一：函数求最值.考虑到直线MN的斜率不能等于0，可设直线MN：x=my+n，由韦达定理及FM·FN=0，得到4m2=n2－6n+1≥0，进一步得到n≥3+22或n≤3－22，最终△MFN面积可表示为S=12×|MN|×d=12×|n－1|1+m2×21+m2×|n－1|=（n－1）2，求得最大值为12－82.

角度二：不等式求最值.设M（m2，2m），N（n2，2n），则问题转化为已知FM·FN=（m2－1）（n2－1）+4mn=0，求S△MNF=12|MF||NF|=12（m2+1）＼5（n2+1）的最小值.

角度三：三角函数求最值.Rt△MFN的两直角边均为抛物线的焦半径，故可考虑用焦半径公式.如图3所示，设∠MFH=θ，则有|MF|=p1－cos θ，|NF|=p1+sin θ，从而可得到S△MNF=12|MF||NF|=21+sin θ－cos θ－sin θcos θ，换元可求得最值.这与以点F为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系的求解异曲同工.

角度一是通法，由表达式特征得出n的范围容易被考生忽略，如果考生选择设MN：y=kx+b，或设MF：x=ty+1，NF：x=－1ty+1，则可能增加运算量甚至很难算出结果.角度二和角度三运算相对容易，但考场上学生不易想到，或即便想到了，大部分考生在高考考场上也不敢轻易使用通法以外的方法答题.角度二中最终能否正确使用均值不等式得到最值，角度三中最终能否顺利借助三角换元求得答案，都是不小的挑战.

反思与启示5：新课程标准指出，数学运算素养包括理解运算对象、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.因此，教学中除了训练数学运算的速度、熟练度外，还要培养合理选择运算方法和程序的能力.比如，从几何、代数、数形结合等不同角度思考问题；利用函数、向量、不等式、三角函数等不同的数学工具完成计算.

4 关注数据分析的过程

本套试卷对概率统计的考查，给出了列联表的生成过程，统计味十足.

如，第19题，难度不大，展现了一个简单的科学实验过程，如何将连续数据（体重增加量）转化为二元分类数据（是否小于中位数），再利用卡方检验回答“小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量是否有差异”的问题.“小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量是否有差异”是没有固定答案的，如果改变数据分类标准，如用下四分位数、上四分位数等代替中位数，可能得到不同的结果.

无独有偶，2023年新高考Ⅱ卷19题也是关于标准的选定，题目告诉考生：没有一个临界值能够做到不误诊、不漏诊，只能尽量满足少误诊、少漏诊.

反思与启示6：统计学的学科逻辑与其他高中数学内容不一样，推理方法上属于不完全归纳，统计推断有可能犯错，结论具有不确定性，统计对结论的判断标准有好与坏之分，而非对与错.教学中让学生准确理解统计思想，有助于考场上迅速理解题意.

5 抓基础促进综合能力

全卷落实“四翼”考查要求.以综合性的考查为例，第10题则综合了三角函数图象与直线方程，第21题则综合了导数、不等式和三角函数.但笔者认为，基础性、综合性、创新性与应用性的考查并不独立.

第21题：已知函数f（x）=ax－sin xcos3x，x∈0，π2.

（1）当a=8时，讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）lt;sin 2x恒成立，求a的取值范围.

此题第（2）问是典型的恒成立求参数范围问题，学生从高一学习函数内容开始，就知道此类问题可以含参讨论或分离参数，学习导数后还可以灵活选择切线等更多方法，这些都是高中数学解题的“童子功”，体现了基础性.同时，三角函数最具特点的性质有周期性、有界性等，抓住特点解题就不难，这是需要学生建立的基本观念.

含参讨论法：设g（x）=f（x）－sin 2x，则g′（x）=f′（x）－2cos 2x=a－3cos4x+2cos2x－4cos2x+2.设t=1cos2x，则t∈（1，+∞）.记h（t）=a－3t2+2t－4t+2，继续求导，讨论函数h（t）的性质，进而求解.

分离参数法：由f（x）-sin 2x＜0，可得a＜sin xx＼51cos3x+2cos x，然后求h（x）=sin xx1cos3x+2cos x的值域即可求解.而对函数h（x）的研究，则需要利用变形、洛必达法则、放缩等方法.

反思与启示7：本题的解答，切入点是高中数学同类问题的基本方法，利用三角函数的核心性质，解题时可以用到换元、数形结合、研究特殊点、放缩、洛必达法则等常用技巧.教学中，综合性难题的突破应该是建立在基础知识、基本技能之上的.这也是新课程提出的，让学生明确研究一个对象的基本套路，在一般观念下研究数学对象.

综上所述，2023年全国甲卷数学理科试题体现了新课程理念，为一线教师指明了教学方向，是一套精彩的好试卷.