严谨性思维的培养措施

思维的严谨性属于思维品质的一种，主要指对待问题时要遵循逻辑规则，在概念清晰的状态下进行准确判断、有据推理，体现思维的缜密性.在教学中，教师常发现学生遇到一些跨度大的证明题就不知从何下手；有些需要分类讨论的问题，常常出现遗漏的现象.这些问题的发生，都是因为思维不够严谨而导致的.因此，在教学实践中，笔者特别对培养学生思维的严谨性作了一定的研究，与同行共勉.

1 问题诱导，准确表述

想要在数学学习中获得严谨的思维，必须准确无误地表述并理解数学概念、定理、公式、定义、法则等基础知识.尤其是概念中呈现的一些关键性词语，必须保证能用数学符号进行精确化的表达.为了达到这一目的，教师可设计一些具有引导性的问题，以激发学生探究的热情，让学生对抽象的知识产生良好的情感倾向.

问题的设置需要有一定的技巧.教师要尽可能地创设一些处于学生认知发展区内，具有一定挑战性且让学生踮起脚尖才能解决的问题，或需要学生通过合作交流才能获得结论的问题.从心理学的角度来讲，此类问题能真正激起学生的学习动机，从而产生探究行为，为形成严谨的数学思维奠定基础.

例1观察3，6，9，12，15……这组数据，说说它们之间存在怎样的关系.

这组数据对于学生而言并不陌生，在初中阶段即有接触.在学生给出答案后，教师又让学生说说2，4，6，8，10，12……这组数据之间存在的联系.这个问题同样简单，学生表述毫无障碍.接着，教师又提出一个新的问题：“这两组数据之间具有怎样的联系？”学生经观察后，认为：第一组数据相邻两个数的差为3；第二组数据相邻两数之差为2.此时，教师再次提问：这两组数据的第十个数分别是多少？

随着问题的逐渐深入，学生的思维也随着问题呈逐层上升趋势.通过对一个个问题的表述，学生很快就自主抽象出等差数列的概念，进而得到等差数列的通项公式：an=an+（n－1）d.

紧接着，教师又提出以下问题串，要求学生逐个表述：

（1）分别说说两组数据的前五项的和及计算方法.

（2）大家想想，有没有更简单的计算方法？

（3）怎么计算前n项的和呢？

针对第（1）问，大部分学生表示，直接将前面五项相加即可.当看到后面两问时，学生不由自主地讨论起来，在学生的合作学习与不断探索中，有学生发现了首项和末项之和的规律，从而推导出等差数列的前n项和公式为Sn=na1+n（n－1）2d（n∈N*）.

由浅入深的问题诱导，使得学生的思维跟着一个个问题拾级而上.从对最简单问题的表述到公式推理的形成，一环接一环，严谨而又周密，学生的思维也呈螺旋式上升.此过程除了以阶梯状的问题贯穿外，学生的表述也是重点，随着表述越来越完整，学生的思维也越来越严谨，久而久之，学生也对学习也充满了信心.

其实，这种诱导方式除了能锻炼学生的表达能力、严谨思维之外，在一定程度上还激发了学生的探究欲.学生在自我推导与合作学习中，对问题展开相应的研究与推断，这为培养学生的自主学习能力及核心素养奠定了基础.

2 适当引导，严密推理

教学时，一般是将一个个知识点分解到课堂中逐个讲解，这种教学方式体现了知识的独立性.但这种模式也导致了部分学生不会进行知识间的联系，出现思考问题方向单一、思维僵化、缺乏灵活性等现象，这些现象严重地削弱了学生思维的延伸性与系统性.我们知道，数学是一门系统性很强的学科，所有的知识点都不是孤立存在的，知识的前后有着紧密的联系，难度呈递进式上升，学科与学科之间也有着千丝万缕的关联.

因此，教师应有意识地引导学生感知、感悟知识间的这种递进关系，让学生从多层面或多维度去面对问题，实现解题.如此，可培养学生形成联想式的思考模式，在思考与探讨中获得严谨的数学思维.

例2已知实数c＞0，正数n∈N*，m＞1，同时数列{an}满足an+1=m－1man+cma1－mn，a1＞c1m，求证：an＞an+1＞c1m.

学生看到此题，首先考虑到数列，却不知从何处下手.

师：通过问题中的指数，大家能联想到什么？问题中有哪些量随着其他量的变化而发生变化？

顺着教师的提问，学生很快就联想到了指数函数.此时教师肯定了学生的想法，并鼓励学生以此为切入点进行思考.结合题意，部分学优生很快就得到项an+1随着项an的变化出现等式变化，因此将an理解为自变量x，将an+1理解为函数值f（x），由此得到关键的表达式f（x）=cmx1－m+m－1mx.

根据此表达式，学生自然而然地联想到求函数的单调性.在这一步，有不少学生忽视了函数的定义域.因此，教师可进行如下引导：此函数是由数列的项拓展而来的，自变量x需满足x≥a1，又题中有a1＞c1m，那么函数f（x）的定义域是什么？

学生顺着教师的思维，得出函数f（x）的自变量应满足x≥a1＞c1m，同时f′（x）=m－1m+cm（1－m）x－m，于是可得f（x）在［c1m，+∞）上单调递增，所以当x＞c1m时，f（x）＞f（c1m）=c1m.

不少学生做到此步，思维卡壳了.教师提醒学生再回过头来看看，待求证的是什么？

学生的解题思路随即豁然开朗：本题待证an＞an+1＞c1m，其中项an+1是函数f（x）的零散值，由f（x）＞f（c1m）=c1m，可知an+1＞c1m，因此我们只需要证明an＞an+1成立即可.

有什么办法能证明an＞an+1呢？教师提出：求证一个命题的真伪，一般可采取数学归纳法或反证法，本题该选择哪种方法呢？

学生一致选择了数学归纳法，并顺利解题（过程略）.

从本题的教学来看，不仅凸显了教师引导的重要性，还凸显了从多角度思考与分析问题的必要性.解题时，学生通过各个关卡的逐个突破，最后再将各个突破点联系到一起，不仅解决了本题，还有效地锻炼了思维，整个过程逻辑清晰、思路明朗、逐层递进，有效地促进了学生严谨性思维的形成与发展.

3 分类讨论，全面考虑

教学中，我们常发现学生在问题的探讨中，总存在不够全面、顾此失彼的现象，不少学生因为不能整体、全面地分析问题而导致丢分.为了巩固和提高学生的逻辑性，可有针对性地利用一些试题来训练学生的思维，让学生结合实际情况，从问题的多角度进行分析与探讨.教学中，笔者常用蕴含分类讨论思想的问题，来激发学生全面思考的能力，以帮助学生更好地形成周密性思维.

例3设函数f（x）=x2+ln（a+x），若f（x）有极值，求a的取值范围.

遇到含参数的函数的极值问题，大部分学生会自然而然地想到将函数求导，即f′（x）=2x2+2ax+1a+x（x＞-a）.此处想要求导函数的零点，由于导函数也含有参数a，且分子又为含参数的二次三项式，因此应进行分类讨论.同时，对于零点要分两个相等和不等两种情况，而对于两个不相等的零点，还要根据零点的大小进行分类.

方程2x2+2ax+1=0判别式Δ=4a2－8.

①当Δ＜0时，f（x）无极值.

②当Δ=0时，f（x）也无极值.

③当Δ＞0时，存在a＞2与a＜－2两种情况.当a＜－2时，f（x）无极值；当a＞2时，设方程2x2+2ax+1=0的两根为x1，x2，则f（x）在x=x1，x=x2时取得极值.

综上，a的取值范围是（2，+∞）.

本题充分体现了分类讨论思想的“化整为零”和“集零为整”的策略，揭示了分类对象需清晰、标准统一，杜绝重复、遗漏、越级等原则，将思维的严谨性充分展现出来.因此，分类讨论不仅能带动学生从问题的全面性去思考，还能帮助学生缜密思维，提高认识，提高数学核心素养.

总之，纸上谈兵终觉浅，只有真正地参与并亲历实践，才能不断地自我突破，实现优化、修正原有的固化思维.教学中，教师可充分发挥引导功能，引导学生从多角度出发，周密、严谨思考问题，培养学生形成良好探究习惯的同时，帮助学生养成能促进其终身可持续发展的思维品质.