经历探索过程提升思维品质

在高考中常常会遇到这样一类求最值的问题，它们的条件式和待求式隶属完全对称式，即对于含有n个变元的x1，x2，……，xn式子中，若将任意两个变元xi，xj（i，j=1，2，3，……，n，i≠j）交换位置，其结果保持不变.为了帮助学生理解并掌握解决此类问题的方法，教师在高三二轮复习时将此类问题整合成专题，以此通过专项训练帮助学生明晰问题的本质，掌握解决此类问题的巧解和通法，有效提高学生解决此类问题的能力.笔者将专题教学过程整理成文，供大家参考、借鉴，若有不足请指正.

1 教学过程

1.1 呈现课例，引出主题

师：请大家思考一下，以下两个问题该如何求解？

例1若agt;0，bgt;0，a+b=1，则1a+1b的最小值为.

例2若agt;0，bgt;0，a+b=1，则a+1ab+1b的最小值为.

问题给出后，先让学生独立思考，然后请两位学生板演解题过程.

生1：对于例1，因为agt;0，bgt;0，a+b=1，所以1=a+b≥2ab，则0lt;ab≤14，即1ab≥4，从而可得1a+1b≥21ab≥4.故1a+1b的最小值为4.

生2：对于例2，由生1的解答可知a＜0b≤14，则ab+1ab≥14+4=174，当且仅当ab=14且a=b时，等号成立.所以a+1ab+1b=ab+1ab+ba+ab≥174+2ba＼5ab=254，

当且仅当a=b=12时，等号成立.

故a+1ab+1b的最小值为254.

师：请大家仔细观察以上两位同学的解答过程，看看你有什么发现？

生1：我知道了，刚刚在求解的过程中忽视了等号成立的条件，即当且仅当a=b=12时，等号成立.

师：在应用均值不等式时，一定要注意它的适用条件，否则会引发错误.

师：生1在求解过程中运用了几次均值不等式？

生齐声答：两次.

师：应用两次均值不等式的问题，常常容易忽视取等条件而引发错误.对于例1，是否可以通过有效的转化，使其只应用一次均值不等式来解决呢？

生3：可运用“整1代入法”求解.因为agt;0，bgt;0，a+b=1，所以1a+1b=（a+b）1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4，当且仅当ba=ab，即a=b=12时，等号成立，所以其最小值为4.

师：不错，生3充分利用已知条件，利用“整1代入法”有效地避免了应用两次均值不等式.

设计意图：从学生熟悉的内容出发，复习并巩固了均值不等式的适用条件.在此过程中，教师引导学生观察分析，让学生尝试将应用两次均值不等式转化为应用一次，继而在问题的引导下诱发深度思考.这样通过再观察、再思考，优化了解题思路，有效避免了两次应用均值不等式易产生错解的风险.

1.2 问题探究，形成规律

师：对于以上两个例题，其等号成立的条件均为a=b，那么在解题时是否可以直接令a=b=12，然后将其代入式子求解呢？

生4：我认为可以，这就是取等的条件.

生5：我认为不可以，这应该是一个巧合.

师：是什么原因成就了“巧合”呢？这其中蕴含着什么奥秘呢？（预留时间让学生分析、交流.）

生6：这里涉及a，b两个量，若将其互换位置题目还是不变.

设计意图：从结果出发，让学生发现运用均值不等式与利用代入法所得到的最值相等，由此引出出现这一现象的奥秘，让学生深刻理解完全对称式，并知晓在解决完全对称式问题时，可以令两个量相等来巧妙地解决问题.这样，通过深入探究发现题目中的奥秘，不仅提升了解题效率，而且让学生感悟探索规律的重要性，有利于激发学生数学学习兴趣.

1.3 变式拓展，深化理解

师：现在大家请看例3该如何求解呢？

例3若xgt;0，ygt;0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为.

问题给出后，部分学生尝试利用“代入法”求解，但是发现两变量互换后，题目发生了变化，所以放弃了该方法，走上了“消元”的老路.

师：想一想，是否可以将题目转化成完全对称式呢？若将其中一个量变一变，你会发现什么呢？

生7：令2y=t，则有x+t+xt=8，求x+t的最小值.经过转化，已知等式和待求式中的两个量互换后，题目不变，可看作是关于x，t的完全对称式，此时令x=t，求得x=2，即当x=2，y=1时取最小值，所求的最小值为4.

生7的答案给出后，学生纷纷感叹该方法之妙.

师：该方法是很简单，但若该题是简答题，是否也可以用这种方法解决呢？

生齐声答：不能.

师：对的，该方法存在着先天的不足，所以对于常规方法，如消元法和均值不等式法还应重点把握.

接下来，教师预留时间让学生利用常规方法求解，学生分别应用消元法、均值不等式法和消元法、求导法解决了问题.

设计意图：教师先启发和指导学生将问题转化为完全对称式，巧妙顺利地解决问题.然后，引导学生将“巧解”与“常规方法”进行对比，既让学生感悟巧解的妙用，又让学生知道常规方法才是解决问题的通法.解题时，要多角度观察，根据不同的题型选择不同的解决方案，提升解题效率.

1.4 部分对称，知识升华

例4设正实数x，y，z满足x2－3xy+4y2－z=0，则当xyz取得最大值时，2x+1y－2z的最大值为.

例4中有3个变量，其难度显然有所提升，教师预留时间让学生通过小组合作的方式解决问题.

生8：该题是填空题，可以应用完全对称式.

师：如何变成完全对称式呢？

生8：将x2－3xy+4y2－z=0变形为x2－32x·（2y）+（2y）2－z=0，此式是关于x与2y的对称式，且xyz与2x+1y－2z也是关于x与2y的对称式，所以当且仅当x=2y，即z=2y2时，x·2yz取得最大值2，此时2x+1y－2z=22y+1y－22y2=2y－1y2=－1y－12+1≤1，当且仅当y=1时取等号.

设计意图：在原有认识的基础上继续拓展，进一步强化应用“完全对称式求最值”的策略方法，升华学生的认知.

这样由浅入深的逐层渗透，深化了对“完全对称式”的理解，学生的思维能力得到了稳步提升.

2 教学思考

2.1 专题训练要控制好数量和节奏

在专项训练中，要选择一些思维难度不大的问题作为切入点，以此调动学生参与的积极性，并让学生在积极参与中发现问题间的内在联系及蕴含其中的规律，找到解决问题的方法.同时，要控制好教学节奏，通过自主学习和小组学习相结合的方式，培养学生合作意识，让学生在互动交流中不断优化自己的认知体系.在以上教学过程中，问题给出后，都预留时间让学生思考，鼓励学生提出自己的见解，并通过生评与师评给予及时的评价，课堂氛围活跃，促进学生思维能力的发展.

2.2 处理好“巧解”和“通法”的关系

在数学教学中发现，学生在学习过程中有“重巧解，轻通法”的现象.学生认为巧解可以优化运算过程，提高解题效率.要知道，“巧解”虽好，但是并不通用，因此在解题时切勿忽视通性通法.在本课教学中，学生应用“巧解”完成例3后，教师鼓励学生应用常规方法解题，继而通过一题多解、一法多用，不断优化学生的认知结构，提高学生解决问题的能力.

纵观高考，其所考查的是基本知识和基本方法.因此，教学中要强调通性通法，淡化解题技巧，引导学生关注数学的本质，实现知识的融会贯通.

2.3 鼓励学生质疑、反思、归纳

数学是一门抽象且复杂的学科.面对抽象的问题时，学生难免会出现这样或那样的问题，因此在教学中要预留时间让学生思考、交流、归纳，以促进知识的深化.同时，要鼓励学生质疑，如在学习过程中，学生提出如下问题：应用“完全对称式求最值”是否通用呢？该方法严谨吗？是否存在特例呢？这样，通过多思考、多探究，培养思维的深刻性、严谨性;通过质疑、反思，对新方法形成客观的认识，以避免因盲目套用而引发错误.

总之，在教学过程中，教师要引导学生客观地对待巧解，鼓励学生质疑、反思、交流，让学生系统地、全面地理解和掌握相关知识，有效提高解题能力.