求导换元破三角，必要探路亦可为

摘要：本文中分别从分类讨论、必要性探路、参变分离三个视角，七种思路对2023年全国甲卷理科第21题进行解法探究，给出了此题的几何背景以及变式探究与拓展，以期读者对含三角函数的导数问题有更深刻的理解与更丰富的处理策略.

关键词：必要性探路；参变分离；拓展变式

1 试题呈现

已知函数f（x）=ax－sin xcos3x，x∈0，π2.

（1）当a=8时，讨论函数f（x）的单调性；

（2）若f（x）lt;sin 2x，求a的取值范围.

2023年全国高考数学甲卷导数题目，以三角函数为背景，巧妙结合导数和三角函数，通过对导函数的分析，解决函数的单调性、不等式恒成立等问题，深入考查分类讨论、化归与转化思想，考查学生思维的条理性、严谨性.同时，突出素养和能力的考查，考查学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养，助力创新人才的选拔.下面从三个视角、七种思路对本试题进行解析.

2 解法探究

2.1 第（1）问的解法探究

f′（x）=a－1+2sin2xcos4x=－3cos4x+2cos2x+a.

（1）当a=8时，f′（x）=－3cos4x+2cos2x+8=（2cos2x－1）（4cos2x+3）cos4x.又因为x∈0，π2，所以

令f′（x）gt;0，得cos xgt;22，解得0lt;xlt;π4；令f′（x）lt;0，得0lt;cos xlt;22，解得π4lt;xlt;π2.故当a=8时，函数f（x）在0，π4上单调递增，在π4，π2上单调递减.

2.2 第（2）问的解法探究

视角一：直接分类讨论.

思路1：分类讨论.

令g（x）=sin xcos3x+sin 2x－ax，x∈0，π2，则原问题等价于x∈0，π2时，g（x）gt;0恒成立.

又g′（x）=4cos2x－2cos2x+3cos4x－2－a，令t=cos2x，则由x∈0，π2得t∈（0，1）.记S（t）=4t－2t+3t2－2－a，t∈（0，1），则S′（t）=4t3+2t－6t3.

再令h（x）=4x3+2x－6，x∈［0，1］，

则h（x）在［0，1］上单调递增，于是h（t）lt;h（1）=0，所以S′（t）lt;0，故S（t）在（0，1）上单调递减.又t→0+时，S（t）→+∞，所以S（t）∈（3－a，+∞）.

讨论如下：

（ⅰ）当a≤3时，g′（x）=S（t）gt;0恒成立，则g（x）在0，π2上单调递增，所以当x∈0，π2时，g（x）gt;g（0）=0，符合题意.

（ⅱ）当agt;3时，S（1）=3－alt;0，S1a=4a+3a（a－1）－2gt;0，则存在t0∈1a，1，使得S（t0）=0.由S（t）在（0，1）上单调递减，得t∈（t0，1）时，S（t）lt;0.又函数t=cos2x在0，π2上单调递减，所以存在x0∈0，π2，使得x∈（0，x0）时，t∈（t0，1），此时g′（x）=S（t）lt;0，即g（x）在（0，x0）上递减，则当x∈（0，x0）时，g（x）lt;g（0）=0，与条件矛盾，不合题意.

综上所述，实数a的取值范围是（-∞，3］.

评注：对函数g（x）求导后，为便于分析导函数的正负，通过适当的换元化归为函数S（t），再研究函数S（t）的单调性及取值范围，根据S（t）的取值范围，确定分类讨论的标准，分类讨论即可.此种解法中分类讨论标准的确定自然合理，学生易于理解操作.

视角二：先探必要性.

思路2：必要性探路一——端点效应.

令g（x）=sin xcos3x+sin 2x－ax，x∈0，π2，则原问题等价于x∈0，π2时，g（x）gt;0恒成立.

又g′（x）=4cos2x－2cos2x+3cos4x－2－a，且g（0）=0，所以g（x）gt;0要在0，π2上恒成立，需要满足g′（0）≥0，即a≤3.下证充分性，即对所有的a≤3都有axlt;sin xcos3x+sin 2x在0，π2上恒成立.只需证3xlt;sin xcos3x+sin 2x在0，π2上恒成立即可.令h（x）=sin xcos3x+sin 2x－3x，x∈0，π2，则h′（x）=（cos2x－1）2（4cos2x+3）cos4x≥0，所以h（x）在0，π2上单调递增，则h（x）gt;h（0）=0，充分性得证.综上，实数a的取值范围是（-∞，3］.

评注：此种方法是观察到g（0）=0，g（x）在原点右侧附近要恒成立，利用端点效应，则函数g（x）在x=0处的瞬时变化率即g′（0）要大于或等于零，得到问题成立的一个必要条件，这样可将实数a的取值范围限定在a≤3，再对充分性进行验证即可.

思路3：必要性探路二——不等式放缩.

（ⅰ）当a≤0时，显然成立.

（ⅱ）当agt;0时，易证x∈0，π2时，xgt;sin x，则sin xcos3x+sin 2xgt;axgt;asin x.

又x∈0，π2时，sin xgt;0，则alt;1cos3x+2cos x对任意x∈0，π2恒成立.令t=cos x∈（0，1），则S（t）=2t+1t3，t∈（0，1）.又S′（t）=2t4－3t4lt;0，则S（t）在（0，1）上单调递减，所以S（t）gt;S（1）=3.故实数a需要满足0lt;a≤3.然后验证充分性即可.

评注：本题利用不等式放缩很难直接求得参数取值范围，可以利用不等式x∈0，π2时，sin xlt;x成立，先研究原不等式恒成立的必要条件.此种方法巧在放缩后两边都含有sin x，约分后很容易实现参变分离，且分离后右端函数只含有cos x，其范围容易求得，从而可缩小参数a的取值范围，但需对充分性进行证明.

思路4：必要性探路三——重要极限.

由axlt;sin xcos3x+sin 2x，可得a·xsin xlt;1cos3x+2cos x在x∈0，π2上恒成立，故两边可取极限，即limx→0+a·xsin x≤limx→0+1cos3x+2cos x.由于y=cos x在0，π2上连续，其他涉及的函数在（0，+∞）上也连续，因此结合重要极限limx→0+xsin x=1，可化简得到原不等式恒成立的一个必要条件为a≤3，然后再验证充分性即可.

评注：此种方法仍然是从必要条件入手，由不等式恒成立，结合函数的连续性，两边

取极限，不等式从严格不等式变为不严格不等式.若直接取极限，两边均为0，所以可以两边同时除以x或sin x，再取极限，结合重要极限limx→0+xsin x=1或limx→0+sin xx=1，可得到原不等式恒成立的一个必要条件为a≤3，再验证充分性.

视角三：参变分离.

思路5：曲直分离——单调性结合凹凸性分析.

从axlt;sin xcos3x+sin 2x，x∈0，π2入手，分析h（x）=sin xcos3x+sin 2x在区间0，π2上的性质.由h′（x）=（2cos2x－1）（2cos4x－1）+2cos4xgt;0，得h（x）在0，π2上单调递增.又h″（x）=4t3+2t-6t2×（－sin x），其中t=cos2x∈（0，1），则h″（x）gt;0，

即h（x）的图象在区间0，π2上是下凸函数，

则考虑函数h（x）在x=0处的切

线y=3x，结合函数图象（图1）可知，实数a的取值范围是（-∞，3］.

评注：曲直分离后，通过分析函数h（x）的性质，数形结合，得出此题的一个几何背景.实际上，函数h（x）在0，π2上单调递增，且为下凸函数，函数y=ax的增长率是定值，而函数h（x）的增长率越来越大，并且函数h（x）与y=ax在x=0处的初始值都为0，所以当且仅当函数h（x）在x=0处的瞬时变化率即导数值大于等于y=ax在x=0处导数值即可.

思路6：参变分离之完全分离.

由axlt;sin xcos3x+sin 2x，x∈0，π2，得原问题等价于alt;h（x）x在0，π2上恒成立.观察到h（0）=0，则有h（x）x=h（x）－h（0）x－0.又由思路5知，h（x）在0，π2上单调递增，且为下凸函数，结合图2处理.

处理1：可以将直线OA平移至与曲线h（x）相切，即存在m∈0，π2，使得h′（m）=h（x）－h（0）x－0（拉格朗日中值定理）.又因为x在0，π2上具有任意性，则m在0，π2上也具有任意性，等价于alt;h′（m）在0，π2上恒成立.又h′（x）=4cos2x+3cos4x－2cos2x－2，令t=cos2x∈（0，1），记S（t）=4t+3t2－2t－2，t∈（0，1），则S′（t）=4t3+2t－6t2，t∈（0，1）.又t∈（0，1）时，4t3+2t－6lt;0，则S（t）在（0，1）上单调递减，有S（t）gt;S（1）=3，则a≤3.综上，实数a的取值范围是（-∞，3］.

处理2：令F（x）=h（x）x，如图3，设0lt;x1lt;x2lt;π2，则F（x1）=h（x1）x1=h（x1）－h（0）x1－0=kOA，F（x2）=h（x2）x2=h（x2）－h（0）x2－0=kOB.由思路6的探究知函数h（x）在0，π2上单调递增，且为下凸函数，结合图3可知，kOAlt;kOB，则有F（x1）lt;F（x2），所以函数F（x）在0，π2上单调递增.又limx→0+F（x）=limx→0+h（x）x=limx→0+h（x）－h（0）x－0=h′（0）=3，故实数a的取值范围是（-∞，3］.

评注：采用参变分离的方法，通过导数求最值，思路简单，但运算很复杂，导函数值的正负相当难判断，学生在有限的时间里，此路几乎行不通，这正是出题人在反套路、反机械刷题上下的功夫.事实上，在参变分离得到alt;h（x）x后，求y=h（x）x在0，π2上的取值范围至关重要.观察到h（0）=0，结合其特殊的结构h（x）x=h（x）－h（0）x－0，联系直线斜率的几何意义，

处理1是利用拉格朗日中值定理将h（x）－h（0）x－0转化为某点处的导数值h′（m），从而求得a的范围，而处理2则是利用函数单调性的定义，结合函数h（x）的图象特征得到函数y=h（x）x的单调性，进而求范围.

3 变式拓展

为了充分发挥高考真题在教考衔接中的导向作用，将真题的教学价值最大化，在教学过程中不应只停留在题目的解析上，而更应该对题目进行适当的变式.下面基于此题的结构特点，作一些变式探究与拓展.

观察到题目中给出的两个函数y=sin xcos3x+sin 2x与y=ax均是－π2，π2上的奇函数，于是可以将这两个函数通过叠加得到新的函数，新的函数也应该具有奇偶性，再探究新函数的单调性、零点、极值等问题，这样可以培养学生的化归转化意识与对称意识.这种结构在高考题和模拟试题中常常出现，比如，2023年全国新高考Ⅱ卷第22题、2023年成都三诊第21题均是这种结构.

变式1已知不等式sin x1+cos x－axgt;0，x∈（0，π）恒成立，求实数a的取值范围.（答案：a≤12.）

变式2函数h（x）=sin xcos3x+sin 2x－axx，若x=0是函数y=h（x）的极小值点，求实数a的取值范围.（答案：a≤3.）

4 结语

近年来，为了有助于创新人才的选拔，高考试题越来越注重对学生核心素养的考查，试题在反套路、反机械刷题上下足了功夫，因此想通过题海战术取得高分的时代已经一去不复返了，这提醒教师在平时的教学中需做好教考衔接.一方面，要关注高考真题，通过真题把握教学方向，充分发挥高考试题的教学价值.另一方面，要努力追求高效课堂，课堂上除了传授知识外，更要以学生为中心，以提高学生的核心素养为目的，培养学生深度思考、自主探究能力，为学生的可持续发展和终身学习奠定基础.