相对论宏观系统中的热力学平衡态

摘 要 本文在广义相对论弯曲时空背景下，讨论了相对论流体力学、动理学和随机热力学对于热力学平衡态的定义以及它们之间的联系和区别。特别地，一阶相对论流体力学给出的平衡态定义有可能存在不稳定性，而动理学给出的定义总是稳定的。

关键词 广义相对论;弯曲时空;热力学平衡态

在热力学和统计物理中，平衡态有着特殊的地位。如果我们要研究各种非平衡状态的现象，首先需要对平衡态有准确的理解。在非相对论的热力学中，平衡态有着多种不同而互不等价的定义。文[1]对不同定义进行了分类梳理，并提出了适用于整个热力学演化过程的平衡态定义。然而，对于处于具有长程特征的引力场和电磁场作用下的相对论热力学系统，直接使用在非相对论系统中引入的平衡态定义会遇到许多问题，通常的热力学和统计物理教科书大都对此采取回避的态度。

具 体来说：在文[1]中被划分为第一、二类定义的平衡态的要点是将热力学平衡态定义为不随时间演化的状态，但对于相对论系统，不同的观测者有不同的计时标准，时间不再具有绝对性，因而也不存在绝对的“不随时间演化”的提法，至多只能谈论相对于某个特定观测者而言不发生时间演化的状态;文[1]中的第三类定义将热力学平衡态定义为由一系列平衡条件决定的状态，这些平衡条件要求描述平衡条件的热力学参量（即所谓的态平衡参量）的空间梯度为零。然而，在弯曲时空中，由于Tolman-Ehrenfest效应和Klein效应的存在，即便是在相对于某个特定观测者而言不发生时间演化的状态下，热力学系统内部的温度场和化学势场也不再是均匀的。一些观点甚至认为在长程力场下不允许存在热平衡态。文[1]中的第四类定义通过统计平均值或熵来定义平衡态，而通过统计平均值的定义要求宏观物理量有均匀性，同样无法应用于弯曲时空背景。利用最大熵原理定义的平衡态原则上可能适用于弯曲时空，但是这种定义仅适用于孤立系，并且正如本文第4节的讨论，一阶相对论流体力学理论中通常讨论的平衡态不一定满足最大熵原理。

幸运的是，基于相对论动理学的工作表明，弯曲时空中的非平衡输运效应并非由态平衡参量的空间梯度激发，而是由推广的热力学力激发。这使得我们有机会自然地延拓非相对论系统中关于平衡态的定义。在本文中，我们建议将弯曲时空中的平衡态定义为经过弛豫过程后达到的熵产生率为零的状态。本文第1节我们将从流体力学的层面证明，尽管耗散项和热力学力都依赖于观测者的选择，但依然存在对任意观测者而言所有的耗散项或所有的热力学力都为零的状态，因此平衡态也可以通过全部耗散项或全部热力学力为零来定义。目前相对论统计力学有两个主要分支，相对论动理学与相对论随机热力学。以熵产生率为零作为出发点，本文第2节中将检验在动理学框架下弯曲时空中平衡态的定义。另一方面，以热传导率为零作为出发点，本文第3节将检验在随机热力学的框架下平衡态的定义。在这些讨论中，可以看到我们建议的热力学平衡态的定义可以囊括相对论流体力学、相对论动理学和相对论随机热力学的定义惯例（尽管不同理论定义平衡态的方式不尽相同），同时我们也会指出存在弛豫过程是定义热力学平衡态的必要条件。

本文的符号约定如下：度规gμν 的号差采用（-，+，…，+），时空维数为d+1，其中d 表示空间维数，c 表示光速，张量指标：μ，ν，…，=0，1，…，d表示时空指标，i，j，…，=1，2，…，d 表示空间指标。

1 流体力学中的平衡态

1.1 热力学平衡态

粒子流Nμ 和能量动量张量Tμν 是相对论流体力学里的两个重要的张量。值得提前声明的是，在相对论语境下，观测者的选择会影响到观测到的现象。粒子流和能量动量张量本身是与观测者的选择无关的，但是通过粒子流和能量动量张量向着观测者的固有速度方向或正交于观测者的固有速度方向投影而得到的流体力学状态量是依赖于观测者的选择的。在本小节和下一小节中，我们将遵循相对论流体力学的习惯，仅引入与流体共动的观测者 -，而对于一般的观测者 的讨论将在1.2小节和1.3小节进行。

利用共动观测者 - 的固有速度Uμ 对粒子流和能量动量张量进行分解，所得结果为

其中，Δμν=gμν+1／c2UμUν 是与Uμ 正交的类空面上的诱导度规，jμ 、qμ 以及Πμν 满足正交关系jμUμ =qμUμ =0，ΠμνUμ =0，局部强度变量{n（0），ε（0），P }分别代表粒子数密度、能量密度的零阶背景值和热力学压强（零阶与高阶修正的区别将在后文解释）;耗散项{ ， ，Π，jμ ，qμ ，Πμν}分别代表相对于零阶背景而言粒子数密度、能量密度和压强的修正项以及粒子流的空间分量、能流的空间分量和剪切应力张量。压强的修正项又称为动力学压强。上述流体力学变量都是由与流体共动的观测者 -所测得的。

必须强调指出：热力学平衡态仅对于存在耗散的流体（也即存在黏性或热输运的流体）才能够定义。在相对论流体力学中，热力学平衡态（thermodynamicequilibrium）或整体平衡态（globalequilibrium）通常被定义为全部耗散项归零的状态（ =0， =0，Π=0，jμ =0，qμ =0，Πμν =0），此时粒子流和能量动量张量的形式与完美流体一致，粒子流和能量动量张量的本征方向（即粒子输运方向和能量输运方向）均与Uμ 重合，因此Uμ可以被合理地解释为平衡态流体的流速场。

除了上面的定义之外，还存在着另外两种等价的定义[2，3]：熵产生率为零的状态以及全部热力学力为零的状态。这两种定义的含义和等价性将在1.2节解释。

1.2 局部平衡和熵产生

对于近平衡流体，当宏观演化的特征时间尺度远大于微观过程的时间尺度而又远小于系统达到平衡的弛豫时间时，可以采用局部平衡（localequilibrium）假设描述系统，即近平衡系统的局部达到平衡，在系统位形空间的各个点处可以定义热力学变量，如温度T 、化学势μ 等，但系统中依然存在非零的耗散，因此整体上并未处于平衡态。

为了简便起见，本节仅讨论中性粒子构成的流体系统。局部平衡是系统完整描述的零阶近似。当考虑中性流体的一阶描述时，流体的熵流定义为[4]

Sμ =kB （βPUμ -βTμνUν +αNμ） （2）

基金项目： 国家自然科学基金面上项目资助，项目批准号：12275138。